1、2013年华约自主招生数学试题解析1.设，且中元素满足：任意一个元素的各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9；（1）求中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）若从小到大排列中元素，求第1081个元素.解析：（配对法）将0，1，9这10个数字按照和为9进行配对:（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）.中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.（1）两位数有个；三位数有个；（2）存在五位数，只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数；不存在六位数，由抽屉原理易知，若存在，则至少要从一个数对中取出两个数
2、，则该两个数字之和为9，与中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数.（3）四位数共有个，因此第1081个元素是四位数，且是第577个四位数，我们考虑千位，千位1，2，3的四位数有个，因此第1081个元素是4012.2.已知，求.解析：由，平方相加得，另一方面由得，由得，除以得，因此.3.点在上，点在上，其中，且在轴同侧.（1）求中点的轨迹；（2）曲线与抛物线相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程.解析：（1）设，则，由得，即，又，于是的轨迹方程为，于是中点的轨迹的焦点为，实轴长为2的双曲线.（2）将与联立得，曲线与抛物线相切，故，又因为，所以，且，因此两切
3、点分别在定直线上，两切点为，于是在处的切线方程分别为，即，在处的切线方程分别为，即.4.7个红球，8个黑球，一次取出4个.（1）求恰有一个红球的概率；（2）取出黑球的个数为，求的分布列和期望；（3）取出4个球同色，求全为黑色的概率.解析：（1）恰有一个红球的概率为；（2）的所有可能取值为0，1，2，3，4，即的分别列为01234所以.（事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为，无需繁杂计算）（3）取出4个球色，全为黑色的概率为.5.数列各项均为正数，且对任意满足.（1）求证：对任意正数，存在，当时有；（2）设是前项和，求证：对任意，存在，当时有.（1）证明：因为对任意满足，所以，又因为，所
4、以，所以，故对任意正数，存在，当时有.（2）由得所以，所以，。由（1）有得 。由得。所以对任意，存在，当时有.6.已知是互不相等的正整数，求.解析：本题等价于求使为整数的正整数，由于是互不相等的正整数，因此，不失一般性不妨设，则于是，结合为正整数，从而.当时，即于是，所以，但另一方面，是正整数且，矛盾，不合题意.当，此时，所以，即，所以，。代入得，又，经检验仅有符合题意.因此所求为。7.已知；（1）求证：当时；（2）数列满足，求证：数列递减且.证明：（1）当时在递减，所以.（2）由，因为，所以即，所以数列递减，下列证明，用数学归纳法证明，设，则，由（1）知当时，所以，所以在递增，由归纳假设得，要证明只需证明，即，故只需证明，考虑函数，因为当时，所以，所以在递增，因为，所以，即，由归纳法知，对任意正整数成立.
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