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椭圆及其标准方程
一、教学目标:
知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.
过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.
情感、态度与价值观目标: 通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.
二、教学重点、难点：
重点是椭圆的定义及标准方程,难点是推导椭圆的标准方程.
三、教学过程：
教学
环节
教学内容和形式
设计意图
复习
提问

（1） 圆的定义是什么?圆的标准方程的形式怎样？
（2） 如何推导圆的标准方程呢？

激活学生已有的认知结构,为本课推导椭圆标准方程提供了方法与策略.

讲授新课

一、授新
1. 椭圆的定义: （略）
活动过程:
操作-----交流-----归纳-----多媒体演示-----联系生活
形成概念:
操作：
<1>固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上你得到了怎样的图形?
<2>如果调整、的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?

[来源:学科网ZXXK]

在动手过程中,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.

在变化的过程中发现圆与椭圆的联系;建立起用联系与发展的观点看问题;为下一节深入研究方程系数的几何意义埋下伏笔.

教学
环节
深化概念:
注：1、平面内.
2、若，则点P的轨迹为椭圆.
若，则点P的轨迹为线段.
若, 则点P的轨迹不存在.
联系生活：
情境1.生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?
情境2.让学生观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界线，并从中抽象出数学模型. (教师用多媒体演示)
情境3.观看天体运行的轨道图片.

教学内容和形式

准确理解椭圆的定义.

渗透数学源于生活,圆锥曲线在生产和技术中有着广泛的应用.

设计意图

2.椭圆的标准方程：
例:已知点、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的任意一点，且，，其中，求椭圆的方程

活动过程: 点拨----- 板演 ----- 点评

一般步骤:
(1) 建系设点 (2) 写出点的集合(3) 写出代数方程
(4) 化简方程 (5)证明

(4) 化简方程：
<1>请一位基础较好，书写规范的同学板演
<2>教师在巡视过程中及时发现问题给予点拨

（5）证明：讨论推导的等价性

掌握椭圆标准方程及推导方法.

培养学生战胜困难的意志品质并感受数学的简洁美、对称美.

养成学生扎实严谨的科学态度.

[来源:学科网ZXXK]

应用
举例

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

教学
环节
二、应用
例1．(1)椭圆 的焦点坐标为：
(2)椭圆 的焦距为4, 则 m 的值为：

活动过程：思考 ----- 解答 ----- 点评

例2．已知椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程

活动过程：思考 ----- 解答 ----- 点评

变式<1>已知椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0),且经过点, 求椭圆的标准方程

活动过程：思考 ----- 板演 (对比) ----- 点评

教学内容和形式

明确椭圆两种形式的标准方程.

运用椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程.

运用椭圆的定义或待定系数法求椭圆的标准方程.

设计意图

变式<2>已知椭圆经过点、,
求椭圆的标准方程

活动过程：思考 ----- 解答 ----- 点评

认清椭圆两种标准方程形式上的特征.

课堂小结
提问：本节课学习的主要知识是什么?你学会了哪些数学思想与方法?
活动过程:教师提问 ----- 学生小结 ----- 师生补充完善
让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力.

作业布置

作业:教材第95页,练习2、4,第96页习题8-1,1、2、3、

探索:平面内到两个定点的距离差、积、商为定值的点的轨迹是否存在?若存在轨迹是什么?

分层次布置作业,帮助学生巩固所学知识;为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.