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专题八第一讲函数与方程思想、数形结合思想.doc

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资源描述
第一讲 函数与方程思想、数形结合思想 1.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于(  ) A.18           B.24 C.60 D.90 2.若a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是(  ) A.(1,)       B.(,) C.[,] D.(,) 3.(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知f(x)=x2+sin(+x),f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是(  ) 4.(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(  ) A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 5.若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1、x2满足-1≤x1<0<x2<2,则k的取值范围是(  ) A.  B. C. D. 6.(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是________. 7.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是________. 8.长度都为2的向量,的夹角为,点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上,=m+n,则m+n的最大值是________. 9.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R但k≠-1)有四个根,试确定k的范围. 10.(2013·高考北京卷)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线. (1)求L的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 11.已知椭圆+=1(a>b>0),点P在椭圆上. (1)求椭圆的离心率; (2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值. 答案: 1.【解析】选C.设数列{an}的公差为d. 则 ∴ 解得:a1=-3,d=2, ∴S10=10×(-3)+×2=60. 2.【解析】选B.e2=()2==1+(1+)2,因为是减函数,所以当a>1时,0<<1,所以2<e2<5,即<e<. 3.【解析】选A.由f′(x)=x+cos(+x)=x-sin x是奇函数,可排除B,D,而当0<x<时,(x-sin x)′=-cos x<0,即f′(x)在(0,)上是减函数,从而排除C,故选A. 4.【解析】选B. 当x=0时,有2x=3x,不满足2x<3x, ∴p:∀x∈R,2x<3x是假命题. 如图,函数y=x3与y=1-x2有交点,即方程x3=1-x2有解, ∴q:∃x∈R,x3=1-x2是真命题. ∴p∧q为假命题,排除A. ∵綈p为真命题,∴綈p∧q是真命题.故选B. 5.【解析】选B.构造函数f(x)=x2+2kx-1,∵关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1、x2满足-1≤x1<0<x2<2, ∴即 ∴-<k≤0. 6.【解析】 如图所示,M为图中阴影部分区域上的一个动点,由于点到直线的距离最短,所以|OM|的最小值==. 【答案】 7.【解析】在同一坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图可知,x的取值范围是(-1,0). 【答案】(-1,0) 8.【解析】建立平面直角坐标系,设向量=(2,0),向量=(1,).设向量=(2cos α,2sin α),0≤α≤.由=m+n,得(2cos α,2sin α)=(2m+n,n), 即2cos α=2m+n,2sin α=n,解得m=cos α-sin α,n= sin α.故m+n=cos α+sin α=sin (α+)≤. 【答案】 9.【解】由于y=kx+k+1过定点A(-1,1),结合y=f(x)的图象可知,当kAB<k<kAC时,方程f(x)=kx+k+1(k∈R,但k≠-1)有四个根,因为B(2,0),C(1,1),于是,得-<k<0. 10.【解】(1)设f(x)=,则f′(x)=. 所以f′(1)=1,所以L的方程为y=x-1. (2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1). g(x)满足g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x)=. 当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g′(x)<0, 故g(x)单调递减; 当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g′(x)>0, 故g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 11.【解】(1)因为点P在椭圆上, 故+=1,可得=. 于是e2==1-=,所以椭圆的离心率e=. (2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx, 设点Q的坐标为(x0,y0). 由条件得 消去y0并整理得x=.① 由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得 (x0+a)2+k2x=a2, 整理得(1+k2)x+2ax0=0. 而x0≠0,故x0=. 代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4. 由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4, 即5k4-22k2-15=0,可得k2=5. 所以直线OQ的斜率k=±.
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