资源描述
第一讲 函数与方程思想、数形结合思想
1.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )
A.18 B.24
C.60 D.90
2.若a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是( )
A.(1,) B.(,)
C.[,] D.(,)
3.(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知f(x)=x2+sin(+x),f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是( )
4.(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧q
C.p∧¬q D.¬p∧¬q
5.若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1、x2满足-1≤x1<0<x2<2,则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是________.
7.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是________.
8.长度都为2的向量,的夹角为,点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上,=m+n,则m+n的最大值是________.
9.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R但k≠-1)有四个根,试确定k的范围.
10.(2013·高考北京卷)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.
(1)求L的方程;
(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.
11.已知椭圆+=1(a>b>0),点P在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.
答案:
1.【解析】选C.设数列{an}的公差为d.
则
∴
解得:a1=-3,d=2,
∴S10=10×(-3)+×2=60.
2.【解析】选B.e2=()2==1+(1+)2,因为是减函数,所以当a>1时,0<<1,所以2<e2<5,即<e<.
3.【解析】选A.由f′(x)=x+cos(+x)=x-sin x是奇函数,可排除B,D,而当0<x<时,(x-sin x)′=-cos x<0,即f′(x)在(0,)上是减函数,从而排除C,故选A.
4.【解析】选B.
当x=0时,有2x=3x,不满足2x<3x,
∴p:∀x∈R,2x<3x是假命题.
如图,函数y=x3与y=1-x2有交点,即方程x3=1-x2有解,
∴q:∃x∈R,x3=1-x2是真命题.
∴p∧q为假命题,排除A.
∵綈p为真命题,∴綈p∧q是真命题.故选B.
5.【解析】选B.构造函数f(x)=x2+2kx-1,∵关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1、x2满足-1≤x1<0<x2<2,
∴即
∴-<k≤0.
6.【解析】
如图所示,M为图中阴影部分区域上的一个动点,由于点到直线的距离最短,所以|OM|的最小值==.
【答案】
7.【解析】在同一坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图可知,x的取值范围是(-1,0).
【答案】(-1,0)
8.【解析】建立平面直角坐标系,设向量=(2,0),向量=(1,).设向量=(2cos α,2sin α),0≤α≤.由=m+n,得(2cos α,2sin α)=(2m+n,n),
即2cos α=2m+n,2sin α=n,解得m=cos α-sin α,n= sin α.故m+n=cos α+sin α=sin (α+)≤.
【答案】
9.【解】由于y=kx+k+1过定点A(-1,1),结合y=f(x)的图象可知,当kAB<k<kAC时,方程f(x)=kx+k+1(k∈R,但k≠-1)有四个根,因为B(2,0),C(1,1),于是,得-<k<0.
10.【解】(1)设f(x)=,则f′(x)=.
所以f′(1)=1,所以L的方程为y=x-1.
(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).
g(x)满足g(1)=0,且
g′(x)=1-f′(x)=.
当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g′(x)<0,
故g(x)单调递减;
当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g′(x)>0,
故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
11.【解】(1)因为点P在椭圆上,
故+=1,可得=.
于是e2==1-=,所以椭圆的离心率e=.
(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,
设点Q的坐标为(x0,y0).
由条件得
消去y0并整理得x=.①
由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得
(x0+a)2+k2x=a2,
整理得(1+k2)x+2ax0=0.
而x0≠0,故x0=.
代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4.
由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,
即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.
所以直线OQ的斜率k=±.
展开阅读全文