初中几何辅助线大全及口诀.doc

初中几何作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”
托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）
五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。
如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。
有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。
九：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

三角形中作辅助线的常用方法举例
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，
在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）
在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法二：）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，
在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）
GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）
DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC
证法二：连接AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角
∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。
分析：要证BE＋CF＞EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。
证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，
在△DBE和△DNE中：
∵
∴△DBE≌△DNE （SAS）
∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF＝NF
在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE＋CF＞EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF
证明：延长ED至M，使DM=DE，连接
CM，MF。在△BDE和△CDM中，
∵
∴△BDE≌△CDM （SAS）
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知）
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）
∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°
∴∠FDM＝∠EDF ＝90°
在△EDF和△MDF中
∵
∴△EDF≌△MDF （SAS）
∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）
∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE＋CF＞EF
注：上题也可加倍FD，证法同上。
注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。
五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD
∵AD为△ABC的中线 （已知）
∴BD＝CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中

∴△ACD≌△EBD （SAS）
∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）
∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）
∴AB＋AC＞2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。

六、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。
分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。

证明：（截长法）
在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中
∵
∴△APN≌△APC （SAS）
∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）
∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边）
∴BP－PC＜AB－AC
证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，
在△ABP和△AMP中
∵
∴△ABP≌△AMP （SAS）
∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)
∴AB－AC＞PB－PC。

七、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC
分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）
∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）
在△DBE与△CAE中
∵
∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等）
∴ED－EA＝EC－EB
即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）

八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。
分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。
证明：连接AC（或BD）
∵AB∥CD AD∥BC （已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
在△ABC与△CDA中
∵
∴△ABC≌△CDA （ASA）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE
分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA，CE交于点F。
∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
∵
∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF （全等三角形对应边相等）
∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中

∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE

十、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。
证明：连接BC，在△ABC和△DCB中
∵
∴△ABC≌△DCB (SSS)
∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等)

十一、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵
∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
∵
∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。

巧求三角形中线段的比值
例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。
解：过点D作DG//AC，交BF于点G
所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4
即DG：FC＝1：4，FC＝4DG
因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3
所以DG：AF＝3：2
即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6

例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC
因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2
即EF：GC＝1：2，
因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD
所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC
因为FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝
小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！

例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。
解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。
所以DF：BG＝CD：CB
因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4
即DF：BG＝3：4，
因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3
所以AF：BG＝2：3 即
所以AF：DF＝

例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。
解：过点D作DG//CE，交AB于点G
所以EF：DG＝AF：AD
因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2 图4
即EF：DG＝1：2
因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4
即DG：CE＝1：4，CE＝4DG
因为FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7

练习：
1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。
2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

答案：1、1：10； 2. 9：1
初中几何辅助线
一 初中几何常见辅助线口诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC
分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。

例3． 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？
练习
1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC
2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE
3． 已知：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC
4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180 
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

例2． 如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求证：BC=AB+AD
分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3． 已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。
分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。

练习：
1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，
如果PC=4，则PD=（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。
3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，
AE=（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC
上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。
5． 已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。

例2． 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。
求证：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4． 已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC）
分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
练习：
1． 已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。
2． 已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC
（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

1
2
A
C
D
B
例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

例5 如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。
B
D
C
A

A
B
E
C
D
例6 如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。

练习：
1. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。

C
A
B

2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC
A
B
D
C
1
2

3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
A
E
B
D
C

4．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
A
B
C
D

三 由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1、 已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
证明：（法一）
将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，
在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）
在△BDM中，MB+MD>BD；（2）
在△CEN中，CN+NE>CE；（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
（法二：图1-2）
延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：
AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）
GF+FC>GE+CE（同上）（2）
DG+GE>DE（同上）（3）
由（1）+（2）+（3）得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC。
二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。
分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；
证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC
证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的
外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+
∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。
分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，
∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，
在△DBE和△NDE中：
DN=DB（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
ED=ED（公共边）
∴△DBE≌△NDE（SAS）
∴BE=NE（全等三角形对应边相等）
同理可得：CF=NF
在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）
∴BE+CF>EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
四、 截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点
求证：AB-AC>PB-PC。
分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，
即：AB-AC>PB-PC。
证明：（截长法）
在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中
AN=AC（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共边）
∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等）
∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）
∴BP-PC<AB-AC
证明：（补短法）
延长AC至M，使AM=AB，连接PM，
在△ABP和△AMP中
AB=AM（辅助线作法）
∠1=∠2（已知）
AP=AP（公共边）
∴△ABP≌△AMP（SAS）
∴PB=PM（全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)
∴AB-AC>PB-PC。
D
A
E
C
B
例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º

例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。
D
C
B
A
求证：BC=AB+DC。

M
B
D
C
A
例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD=DB。

1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
E
D
C
B
A

2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，
BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE

四 由中点想到的辅助线
口诀：
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。
解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，
因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。
∴ΔCDF的面积为。
（二）、由中点应想到利用三角形的中位线
例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，
∵ME是ΔBCD的中位线，
∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，
∵MF是ΔABD的中位线，
∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，
∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，
从而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线
例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中，
∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，
从而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，
∴BD===，故BC=2BD=2。
例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
（四）、直角三角形斜边中线的性质
例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。
证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
∵AB//DC，
∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，
∴∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此A