求解数列通项公式的常用方法.doc

求解数列通项公式的常用方法。
一． 观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…
（2）
（3）
（4）
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……
∴通项公式为：
（2） （3） （4）.
观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。
二、定义法
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。
三、      叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。
解 易知
∵

……

各式相加得∴
一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。
四、叠乘法
例4：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。
解：由(n+1)·=n·得，
=··…= 所以
一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。
五、公式法
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式
求解。
例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。
（1）。 （2）
解： （1）
===3
此时，。∴=3为所求数列的通项公式。
（2），当时

由于不适合于此等式 。 ∴
注意要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
例6. 设数列的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系

求证：数列是等比数列。
解析：因为
所以

所以，数列是等比数列。
六、阶差法
例7.已知数列的前项和与的关系是
，其中b是与n无关的常数，且。
求出用n和b表示的an的关系式。
解析：首先由公式：得：

利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即
其和为。
七、待定系数法
例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
解：设

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。
八、 辅助数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。
例9.在数列中，，，，求。
解析：在两边减去，得
∴ 是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，由累加法得
=
=…==
=
例10.设为常数，且（），
证明：对任意n≥1，

证明：设，
用代入可得
∴ 是公比为，首项为的等比数列，
∴ （），
即：
型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.
(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。
例11：已知数的递推关系为，且求通项。
解：∵ ∴
令
则辅助数列是公比为2的等比数列
∴即 ∴
例12： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。
解：∵
∴ ， 设，则
故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列
∴ ∴
例13.设数列的首项．
（1）求的通项公式；
解：（1）由
整理得 ．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成
则{}成等比数列，实际上，这里的是特征方程x=px+q的根。
(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得，令bn=，可转化为bn+1=pbn+q的形式。
例14.已知数列{an}中，a1=， an+1=an+（）n+1，求an的通项公式。
解：an+1=an+（）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1=bn+1
易得 bn= 即 2nan=
∴ an=
(3) f(n)为等差数列
例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。
解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2
因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an=。
注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。
(4) f(n)为非等差数列，非等比数列
例16.在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
解：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。
九、归纳、猜想
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
例17.已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…
（1） 写出与之间的关系式（）。
（2） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。
（3） 略
解析：（1）∵ 是线段的中点， ∴
（2），
=，
=，
猜想，下面用数学归纳法证明
当n=1时，显然成立；
假设n=k时命题成立，即
则n=k+1时，=
=
∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意都成立。

例18：在数列｛｝中，，则的表达式为 。
分析：因为，所以得：，
猜想：。
十、倒数法
数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出
例19．设数列满足求
解：原条件变形为两边同乘以得.
∵
∴
１　已知数列{an}的通项公式为an=9n()n，则此数列的前4项分别为6，8，8，
２ 已知数列｛an｝的通项公式an＝ (n∈N*)，那么是这个数列的第_10_项.　　
３　数列0，1，0，2，0，3，……的一个通项公式是an＝·n
４　数列……的一个通项公式是an
５　已知数列中，且，则此数列的通项公式为
６　数列的前项和为，则通项an=
７ 数列中，，时， ，则
８ 在数列中，， ，则
9数列中，，则．
10　 已知整数对排列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),
(2,4)……则第60个整数对是(5,7)
〖解析〗观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的n－1个，于是，借助估算，取n=10，则第55个整数对为，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为
11　设数列{}的前n项和.已知首项a1=3,且+=2,试求:
（１）此数列的通项公式及前n项和；（２）的值.
　　解：a1=3, ∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6. 由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1) Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)
(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1
即 an+2=3an+1
此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=
此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n – 1=3＋＝3n.
（２） 可知是首项为６，公比为９，项数为n的等比数列，
∴ =
12在平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上.
（1）试用与n来表示；
（2）设，且12，求数中的最小值的项
.解：（1）∵点都在斜率为6的同一条直线上，

于是数列是等差数列，故……………………3分
共线，

当n=1时，上式也成立.
所以………………8分
（2）把代入上式，
得
，
∴当n=4时，取最小值，最小值为………………13分
13、已知数列的前n项为的前n项和满足
（I）求数列的通项公式；
（II）将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列的通项公式；
解：（I），
∴
(II)由,即
,故的通项公式为
设数列中的第项与数列中的第n项相同，则有
由此 ∴必有n为奇数2k+1，故的通项公式为
说明：本题主要复习了通过前n项和求数列的通项,并学会通过观察两个不同数列,找出公共项通过化归写出新数列的通项。