三角形三边关系练习题.doc

三角形边角不等式关系练习题

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一、边的不等关系证明

1、如图，在△ABC的边AB上截取AD=AC，连结CD，
（1）说明2AD＞CD的理由（填空）；
解：∵AD+AC＞CD（ ）
又∵AD=AC（ ）
∴AD+AD＞CD（ ）
∴2AD＞CD
（2）说明BD＜BC的理由。
解：∵_______＜BC（ ）
又∵AD=AC（ ）
∴AB–AD＜BC（ ）
而AB–AD=BD
∴BD＜BC（ ）
（3）如图，△ABC中，AB=BC，D是AB延长线上的点，说明AD＞DC的理由。

2、如图，已知P是△ABC内任意一点，则有AB+AC＞PB+PC.

3. 如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD>AC+BC成立吗？说明你的理由．

4.如图，已知△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD－BC＜AD－AB．

5．如图，△ABC中，D是AB上一点．求证：（1）AB＋BC＋CA＞2CD；（2）AB＋2CD＞AC＋BC．

6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证：AB+AE+BC>AD+AC
证明：∵AD⊥BC( )∴AB＞AD( )
在△AEC中，AE+EC>AC( )又∵AE为中线( )∴EC=BC( )
即AE+BC>AC( ) ∴AB+AE+BC＞AD+AC
7.已知如图：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

二、角的不等关系证明
1.如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.
C
B
D
A

2.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AB边上的点， AD平分∠EDC，试说明∠BED＞∠B的道理。

3.如图（1），在△ABC中，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，且交BC的延长线于D，你能比较∠ACB与∠ABC的大小吗？
如图（2），在△ABC中，AF是△ABC外角∠EAC的平分线，AF的反向延长线交CB的延长线于D，你能比较∠ACB与∠ABC的大小吗？

参考答案
2.解：延长BP交AC于E，在△PEC中，PE+EC＞PC ∴BP+EP+EC＞BP+PC
即BE+EC＞BP+PC.
在△ABE中，AE+AB＞BE∴AE+EC+AB＞BE+EC， 即AC+AB＞BE+EC，∴AB+AC＞PB+PC

4.AD－AB＝AC＋CD－AB＝CD，∵ BD－BC＜CD，∴ BD－BC＜AD－AB．

5.（1）AC＋AD＞CD，BC＋BD＞CD，两式相加：AB＋BC＋CA＞2CD．
（2）AD＋CD＞AC，BD＋CD＞BC，两式相加：AB＋2CD＞AC＋BC．
7.（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，
在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）
在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）
在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）
由（1）＋（2）＋（3）得：
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC