《等比数列》测试卷（A卷）.doc

《等比数列》测试卷
A卷
（原创稿，有备用题，所有题目均有详细解答，根据需要，敬请修改）
湖南省衡阳市祁东县育贤中学 高明生 （421600）

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答. 全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共36分)

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个
分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个
2.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对于任意自然数n，都有an+1＞an”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3设{an}为等比数列，Sn=a1+…an,则在数列{Sn} 中（ ）
（A）任何一项均不为零 （B）必有一项为零
（C）至多有一项为零 （D）或有一项为零，或有无穷多项为零
4．在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2,则a100的值为（ ）
（A）2100-2 （B）2101-2 （C）2101 （D）215
5.已知数列{an}满足an+2=－an（n∈N*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为
A.0 B.－3 C.3 D.1
6．设，则等于（D）
（A） （B）
（C） （D）
7.（备用题）设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a3·a6·a9·…·a30等于
A.210 B.220 C.216 D.215
8. （备用题）银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于
A. B.［（1+r）3－1］
C.（1+r）3－1 D.r
第Ⅱ卷(非选择题 共64分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题线上部　对应题号的横线上.
9．设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q=_____.
10.定义一种运算“*”对于任意非零自然数n满足以下运算性质：
（1）1*1=1；
（2）（n+1）*1=3（n*1）.
则n*1关于n的代数式为_____.
11．若数列{an}为等比数列，其中a3,a9是方程3x2+kx+7=0的两根，且(a3+a9)2=3a5a7+2,则实数k=
12．已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，则an=_____.
13．（备用题）设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12－nan2+an+1an=0（n∈N*），则它的通项公式an=___________________.
14．（备用题）在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式 成立.
三．解答题：本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后一题14分，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数
16． 数列{an}中，a1=1，an=an－1+1（n≥2），求通项公式an.
17．已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
18．设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前项中数值最大的项为54，求此数列
19．（备用题） 在和之间插入n个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积；
20．（备用题）已知数列是等比数列，是其前n项的和，求证,－,－成等比数列.
《等比数列》测试卷（A卷）
（参考答案）
一．选择题：
1．答案：B；
解：由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为2的等比数列，所以a10＝a1q9=29=512.
2．答案：D；
解：当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.
3．答案：D；
解：若q=1,Sn=na10 若q=-1,Sn=当n为偶数时，Sn=0
4．答案：B；
解：an+1+2=2(an+1) , ∴
∴{an+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴ an+2=4·2n-1=2n+1 ∴an=2n+1-2
5．答案：C；
解：由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=－a1=－1，a4=－a2=－2，a5=－a3=1，a6=
－a4=2，…，a2001=－a1999=1，a2002=－a2000=2，a1+a2+a3+a4=0.
∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.
6．答案：D；
解：依题意，为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D
7．答案：B；
解：由等比数列的定义，a1·a2·a3=（）3，故a1·a2·a3·…·a30=（）3.又q=2，故a3·a6·a9·…·a30=220.
8．答案：B；
解：由题意得（1+r）3＜1+3q，故q＞［（1+r）3－1］.
二．填空题：
9.答案：1；
解：方法一：∵Sn－Sn－1＝an，又∵Sn为等差数列，∴an为定值．
∴an为常数列，q＝＝1
方法二：an为等比数列，设an＝a1qn－1，且Sn为等差数列，
∴2S2＝S1＋S3，2a1q＋2a1＝2a1＋a1＋a1q＋a1q2，q2－q＝0，q＝0（舍）q=1.
10．答案：n*1=3n－1；
解：“n*1”是一个整体，联想数列通项形式，设n*1=an，则a1=1，an+1=3an，
得an=3n－1，即n*1=3n－1.
11．答案：9；
解： a3+a9=-a3a9=a5a7=-∴ (-)2=3×+2 k=9
12．答案：an=2n－1或an=23－n；
解：设{an}的公比为q，由题意知

解得或∴an=2n－1或an=23－n.
13．答案：；
解：分解因式可得［（n+1）an+1－nan］·［an+1+an］=0，又an＞0，则（n+1）an+1－nan=0，即=.又a1=1，由累积法可得an=.
14.答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；
解：在等差数列｛an｝中，由a10＝0，得
a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n．
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n．
相应地等比数列｛bn｝中，则可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）
三．解答题：
15． 解：设四个数依次为a, b, 12－b, 16－a, 则, 解得或, ∴ 这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.
16．解：由an=an－1+1，得an－2=（an－1－2）.
令bn=an－2，则bn－1=an－1－2，
∴有bn=bn－1.
∴bn=bn－1=·bn－2
=··bn－3
=…=b1=（）n－1·b1.
∵a1=1，∴b1=a1－2=－1.
∴bn=－（）n－1.∴an=2－.
17．证：（1）（常数）∴该数列成等比数列
（2），即：
（3），∵，∴
∴且，
∴，（第项）
18． 解：由题意
代入（1）， ，得：，从而，
∴递增，∴前项中数值最大的项应为第项
∴
∴，
∴，
∴此数列为
19。解法1：设插入的n个数为，且公比为q
则
解法2：设插入的n个数为，

20．解：（1）①当q=1时，=7,=14,
－=14－7=7,－=21－14a1=7
∴,－,－为以7为首项，1为公比的等比数列.
②当q≠1时，=

∴=
∴,－,－成等比数列.
［这一过程也可如下证明：
－=－
===
同理，－==
∴,－,－为等比数列.

作者:湖南省衡阳市祁东县育贤中学  高明生老师
PC：        421600
E-mail:     hunanqidonggms@
Tel:        [phone]
Cellphone:  13187168216
QQ: 296315069
中国邮政储蓄账号:605546021200041399  
中国邮政储蓄卡号:6221885540002039510
中国农业银行金穗通宝卡卡号:6228480800107411517