1、第一讲:极限与连续一.数列函数:1.类型:数列:*a*lim/(x)(含x f o o);x-oo/();*3+1=3)(2)初等函数:(3)分段函数:*R(x)=IN)X XX0.5 0*(/(X)*E(x)=aX W X 0*5X=X。(4)复合(含/)函数:y=/(w),u=(p(x)(5)隐式(方程):F(x,y)=0,f X=x(/)(6)参式(数一,二):y=f (x)极限性质:1类型:*lim an;f 00*lim/(x)(含 x f 士)234无穷小与无穷大(注:无穷量):未定型:一,1”,008,0-00,0 ,00 0 00性质:*有界性,*保号性,*归并性常用结论:_f
2、l,(a_l_ nc T m a x 4 b,-(a 0)-0n!b+X1 i m-=,1一(x 0)o c,xlim x=1,XT 0+In x lim-=0,V-4-00 xX-0X 1 i mx f nr=,XT o+0000+00X-1四.必备公式:1.等价无穷小:当(x)f 0时,1s i XII 4工.、;t a n(x)口一;1-c o 谣 M 口.;2e()-1 口;ln(l+(x)口.z;(1+u(x J)-口一.;a r c s i/n x P 7.a r c t a/n x P z.2.泰勒公式:(1)e=l+x+x2+o(x2);2!1 2 2(2)ln(l+x)=x-
3、x+o(x);2、.3/4、j)s in x=x-x+o(x);3!/a 1 I 2 I 4/5、(4)c o s x=I-x+x+o(x),2!4!“a(a-?9(5)(1+x)=l+a x+-x+o(x).2!五.常规方法:前提:(1)准确判断(其它如:8 一8,0.8,0。,8。);(2)变量代换(如:L=f)0 o o x1.抓大弃小(一),002.无穷小与有界量乘积(a-M)(注s in 00):1 1(1)(x-0);(2)e(xfo o);e*(x-0;(3)分段函数:|x|,x,ma x/(x)X5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则(1)先“处理“
4、,后法顺2最后方法);(注意对比:lim与lim 土叱)0 Xf 1 1-X。1-X1 1 1 1 1(2)基指型处理:“(x)心)=e C(如:e777-6=/(e777二一 1)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小8.极限函数:/(x)=lim E(x,“)(今分段函数)2六.非常手段1.收敛准则:(l)a“=f(n)=lim f(x)XT+8(2)双边夹:*6 ,?*|a|0?2.导数定义(洛必达?):Ji=f11 2 i3.积分和:lim-/r+)/-(+,-;.,=)/x,t0 n n n n 04.中值定理:lim f(x+a)-f(
5、x)=a lim/)XT+00 XT+005.级数和(数一三):00 C t CO2 n!Z an 收敛n lim a =o,(如 lim)(2)lim(ax+a2+,一8/?-00 m W-COn=1 =100(3)a J 与 Z 同敛散n=1七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):/(%).,、一 0)?*(1)/(0)=f(0)=J(0)=0,/(,)(0)=a f(x)=-x+a(x)口-n!n!(2)1/(t)df 口 J。”2.渐近线(含斜):f(x)n(1)(7=lim-,h-im f(x)-ax=/(x).-.ax 00 X x co1、(2)f(x)=ax+b+a,(0)x
6、3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,广(x)连续性)八.a,6上连续函数性质1.连通性:f(a,b)=m,M(注:V O A 1 平均”值:九/(a)+(1-2)/(6)=/(x0)2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:f(a)f(b)(J f(x)dx),=0.3第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1*7 匕巳 JUfr j-IZ、,.17(X+口 j v./(X)-/(x。)1.差商与导数:/(x)=lim-;f(%.)=lim-D-。x-x0fix)-/(0)、/(x)一.(1)/(0)=lim-:-(汪:lim*-=/
7、(/连续)n/(0)=0,广(0)=/)x-0%x T 0(2)左右导:/_(x0),/+(x0);(3)可导与连续;(在x=o处,卜|连续不可导;xm可导)2.微分与导数:口,、一,、一/口一.一、口,、x)dx(1)可微O可导;(2)比较/,4/与0的大小比较(图示);二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:(|/(x)|),)d x 12.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数一=一 dy y三.各类求导(方法步骤):1.定义导:广与广(x)|;(2)分段函数左右导;lim W)二二 X=a hTO 卜Fix 工工工八(注 x)=,求:广(x。),广(x)及广(x)的连
8、续性)a X=2.初等导(公式加法则):(1)“=g(x),求:。0)(图形题);x x b b(2)尸(x)=f/)必,求:(x)(注(f(f(f f(t)dt),)*a*a*a*a(f(X X(3)y=”,。,求(x。),/:(x。)及广(x。)(待定系数)/(x)X N X。2”小3 a dy dy3.隐式(/(x,y)=0)导:dx dx(1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):1),求:y=y(/)dx dx45.高阶导/”(x)公式:(a-bx),1+ln 71-a cos(qx+x)2尸)(0)n a=-a-bx(s in a
9、x)=a s in(a x+-x n);(c o s2(w v)=u v 4-C nu v+C“v+注:/(,)(0)与泰勒展式:f(x)=aQ+axx+a2x2+)四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:y=/(X)上点。和过点“。的切线)2.物理:(相对)变化率-速度;3.曲率(数一二):p=(曲率半径,曲率中心,曲率圆)(J1+广()34.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点(%)=0):(1)/(x)0=/(x)D;广(x)0n/(x)口;(2)分段函数的单调性(3)广(x)0n零点唯一;/(x)0=驻点唯一(必为极值,最值)
10、.2.极值点:f Y Y1 f 7 X)f u(X)(1)表格(广(x)变号);(由 lim-一手 0,lim o,lim-0=x=0 的特点)XT%X XTX。X XTX。(2)二阶导(/,(x0)=0)注(1)./与/:/的匹配(.广图形中包含的信息);(2)实例:由 fx)+2(x)/(x)=g(x)确定点“x=x0”的特点.(3田域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明(/(x)2 0)(1)区别:*单变量与双变量?*x e a与x a,+8),x g(-oo,+o o)?(2)类型:*/0,/()0;*/05*/Y O,f(a),f(b)0;*/(%)0/(x
11、0)=O,/(xo)0(3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:/(x)M=/max(%)=M)4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.表格;(/(x0)=0)2.应用:泰勒估计;广单调;(3)凹凸.七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点)1.结论:F(b)=尸(a)n F()=/(J)=02.辅助函数构造实例:X(1)/(力=F(x)=J/(f)(2)广出)g(g)+f(Qg a)=0 n F(x)=f(x)g(x)f(x)(3)/(J)g(。)-/4)g 4)=0 n R(x)=-g(x)f A(x)/x(4)/)+X(J)/(J)=0n F(x)=e f(x);
12、3.尸)=0=/(x)有+1个零点=/(z)(x)有2个零点4.特例:证明/()(4)=a的常规方法:令尸(x)=/(x)-P“(x)有+1个零点(P“(x)待定)5.注:含小2时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理):/(x)在。,6可导,V c e 广(a),广(6),e,6,使:广(J)=c八.拉格朗日中值定理1.结论:/的)一/(a)=方一 a);(。(。)0)2.估计:口,,、n,口-九.泰勒公式(连接厂,之间的桥梁)L 结论:/(X)=/(Xo)+/(x0)(x-Xo)+一/(Xo)(x-x0)2+f()(x-x0)3;2!3!2.应用:在已知/(a)或/)值时进行积分估计十.积分
13、中值定理(附:广义):注:有定积分(不含变限)条件时使用6第三讲:一元积分学一.基本概念:1.原函数尸(X):(l)F(x)=/(x);(2)/(x)Jx=dF(x);(3)j f(x)dx=F(x)+c注E(x)=J(连续不一定可导);(2)(x/(x)(x)连续)2.不定积分性质:(1)(j f(x)dx)=/(x);d(|f(x)dx)=f(x)dx(2)J 广(x)dx=/(x)+c;|t/(x)=/(同二.不定积分常规方法1.熟悉基本积分公式2.基本方法:拆(线性性)J(勺/(X*4 g(x)乐x J A P 附 J k(3.凑微法(基础):要求巧,简,活(1=s id x+c o
14、s2 x),1 1 2 dx dx r如:dx=-d(a x+b),xdx=-dx,-=J In x,j=2d yjxa 2 x 7 xz-d x=+x,(1+InxX 井 d(x IV iZx74.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):x=s in t,Jax+b=t,=t,Je+=t X(2)作用与弓|伸(化简):V x2l-X=t5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如In x,a rc t a n x,j f(t)dt);(2)“反对惠三指:j xe dx,J x In xdx,(3)特别:J xf(x)dx(*已知/(x)的原函数为尸(x);*已知广(x)=F
15、(x)6.特例:(1)f sE CS Xdx;(2)j p(x)e1 dx,J p(x)s in axdx 快速法;(3)J dxa s in x+6 c o s x u(x)7三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*f J ax-x?dxa 0)=a 2Jo 8b a+b*f(x-)dx=0ia 2b(3)附:j f(x)dx 连续,f连续n可导(2)(1/(/皿”=/(X);(3)由函数尸(x)=/(/)办参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题J ab3.N-L 公式:J/(x)dx=少(6)-尸(
16、a)(E(x)在a,b上必须连续!)注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性(2)有理式,三角式,根式 b(3)含J 的方程.b P4.变量代换:f f x n,(;*a*a(1)J f(x)dx=J f(a-x)dx(x=a-t)9(2)f f(x)dx=f f(-x)dx(x=-/)=f J a*a J(巴 1/(X)+/(-X)dx(如-dx)1+s in x4TC=Jj s inn-xdx=-1n_2,n7C(4)J 2 f(s in x)dx=J 2/(c o s x)dx;n-f(s in x)dx=2 f 2/(s in x)dx,0 J 0=(x-)/(x)J an 71n(
17、5)f xf(s in x)dx=f f(s in x)dx,J o 2105.分部积分(1)准备时“凑常数”x b(2)已知广(x)或/(x)=f 时,求 f f(x)dxJ a J a86.附:三角函数系的正交性:2 k 2 n 2 ns invxd 井 f c o s/7 x xf s inxc o sm=xo J 0 J 0 2”2 ns in nx s in m xdx=c o s nx c o s mxdxn*m)=02.?dx)+(dy)0 J 02 Ttf s in 2 nxdx=fJ o J o四.反常积分:2 n2 COSnxdx-7t1.类型:(1)J f(x)dx,a
18、4-ooJ f(x)dx,Jf(x)dx(x)连续)b(2)J f(x)dx:(/(x)在 x=a,x-b,x-c(a c b)处为无穷间断)2.敛散;3.计算:积分法N-L公式极限(可换元与分部)4.特例:+00 1dx;五.应用:(柱体侧面积除外)1.面积,b(l)*=(x)-g(x)dx;J a(2)S=J f(y)dy;1 p,(3)s=-f r2 Ja2.体积:(4)侧面积:S=/2%/(x)Jl+广 2(x)dxh(1)KX=7T I-g(x)dx;d b(2)Vv=n f/dy=f xf(x)dx J c J a3.弧长:ds(l)y=/(x),X e 47,6/c、f X=xQ
19、)(2)V(如伯努利方程)3.建立方程(应用题)的能力二.一阶方程:1.形式:(l)y=/(x,y);(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0;(3)y(a)=b2.变量分离型:y=/(x)g(y)(1)解法::=f(x)dx=G(y)=F(x)+C J g(y)(2)“偏”微分方程:=f(x,y);dx3.一阶线性(重点):尸+p(x)y=q(x)f p(x)dx 1 x(1)解法(积分因子法):M(x)=e=y=-f M(x)q(x)dx+几M(x)J。(2)变化:x+p(y)x=q(y);(3)推广:伯努利(数一)y+p(x)y=q(x)ya4.齐次方程:y,=(巴)x一、r y“d
20、u dx(1)解法:u=w+xw*=O(w),f-=f-x(2)特例:也=.痴+|dx a2x+b2y c2人八,八、一r w,SN dM5.全微分方程(数一):M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 且-=-dx dyd U=M d 夫 N d=y 均 0 y cd X6.一阶差分方程(数三):匕+叽=x n:,x y=D(D-)y,xy -Dy五.应用(注意初始条件):1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);注:切线和法线的截距2.积分等式变方程(含变限积分);可设/(x)dx=R(x)/(a)=0 J a3.导数定义立方程:含双变量条件/(x+#=的方程4.变化率(速度)dv d2
21、 x5.F=m a=-=-dt dt26.路径无关得方程(数一):二义=-dx dy7.级数与方程:(1)幕级数求和;(2)方程的基级数解法:y=%+a/+4工2+,-0,(0),%=尸(0)8.弹性问题(数三)11第五讲:多元微分与二重积分一.二元微分学概念1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),=fix 口 口 口x O 7 Q/八 x J)一0,7 0 7,yJ-/一0,*/0,/(2)hm A/,fx=hm-;,fv=hm-Ax by了,口-一。口-/(判别可微性)一口.、口“注:(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:/(八0)-0,0)X人(0,
22、0)=lim-0/(0,)-/(0,0)y2.特例:xyI-丰(0,0)(l)/(x,y)=/+/:(o,o)点处可导不连续;0,=(0,0)xyI)丰(0,0)(2)f(x,y)=ylx2+y2:(0,0)点处连续可导不可微;0,=(0,0)二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:Z=f(x,y)注X型;(2)Z I;(3)含变限积分X 1(%,To)2.复合函数的一,二阶偏导(重点):z=v(x,y)熟练掌握记号/1;,小;的准确使用3.隐函数(由方程或方程组确定):t f F(x,y,z)=O._,、(1)形式:*F(x,j,z)=0;*(存在定理)G(x,y,z)=。(2)微
23、分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):F dx+Fydy+F dz=0(要求:二阶导)(3)注:。,人)与z0的及时代入(4)会变换方程.12三.二元极值(定义?);1.二元极值(显式或隐式):(1)必要条件(驻点);(2)充分条件(判别)2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)(1)目标函数与约束条件:z=/(x,y)e(x,y)=o,(或 多条件)(2)求解步骤:L(x,y,A)=f(x,y)+A(p(x,y),求驻点即可.3.有界闭域上最值(重点).(l)z=/(x,y)M e D=(x,y)(p(x,y)0(2)实例:距离问题四.二重积分计算:1.概念与性质(“积”前工作):心,D(
24、2)对称性(熟练掌握):域轴对称;*/奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;(3)“分块”积分:*Q=qU-;*/(x,y)分片定义;*/(x,y)奇偶2.计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换):以为主;(2)交换积分次序(熟练掌握).3.极坐标使用(转换):/(1+/)2 2附:D:(x-a)2+(y-b2 R2;D:-+:7 1;a b双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)D:|x|+|y|0 n 52n+|-s=s”t s;二.正项级数1.正项级数:(1)定义:0;(2)特征:S,口;2.标准级数:(1)Z(2)工也?,n n3.审敛方法:(注:2a b a2+b2
25、9anb=bna)(3)收敛。S“00n三.交错级数(含一般项):Z(-1)匕(。“0)1.“审”前考察:(1)。“0?-0?;(3)绝对(条件)收敛?*注:若lim=/?1,则Z 发散 n oo 口 n2.标准级数:(1)2(-1广;(2)Z(-(3)Z(T)”一一3.莱布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提:ZLI发散;条件:口,.0;(3)结论:Z(T)”条件收敛4.补充方法:(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2)$2.-s,f 0=$2“+1 f s n sf s.5.注意事项:对比Z 小 Z(-1)Z.;ZLI;Z之间的敛散关系14四.四级数:1.常见形式:(1)E a,Z,,(x x
26、。),Z j(x x。)?2.阿贝尔定理:(1)结论:x=x 敛 n 7?|x-x01;x=x 散 n 7?S(x)的微分方程应用:Z a“=Z ax=S(x)n Z a=S.6.方程的辱级数解法7.经济应用(数三):复利:A(+p)n;(2)现值:A(1+p)n五.傅里叶级数(数一):(T=2万)001.傅氏级数(三角级数):s(x)=+y an c o s wx+bn s in nx 2 2.入e f充分条件(收敛定理):由/(x)n S(x)(和函数)(2)S(x)=-/(%-)+/(%+)21”an-f/(x)c o s nxdx1 n TT J 一 开3.系数公式:t z0=一f f
27、(x)dx,”=1,2,3,兀 J I 1 nb“=F f(x)s in nxdx4.题型:(注:f(x)=S(x),x e?)(1)7=27t 且/(x)=、7,乃(分段表示)(2)x e(一万,乃或xe 0,27(3)x e 0,万正弦或余弦*(4)x e 0,(7=)*5.T=21006.附产品:/(X)=S(x)=2-+V a cos nx+b s in nx2 土a 0 00 1nS(x0)=+工,c o/79r o+b 而四产+/(Xo+)16第七讲:向量,偏导应用与方向导(数一)一.向量基本运算1.ka+k2h;(平行=b=Aa)2.|;(单位向量(方向余弦),c/i)s/c)3
28、.a b;(投影:(6)-一 厂 ;垂直:a-L b o a-h=0 夹角:口、一 i 广 i)H HH4.a x b(法向:=a x 6 _ L a,6;面积:SD-x/)|)二.平面与直线1.平面n(1)特征(基本量):M o(Xo,孔,z 0)n=(A,B,C)(2)方程(点法式):7i:A(x-擀)+B(y oy)+C(0 z)=0=A*G-z(3)其它:*截距式上+二+三=1;*三点式 a b c2.直线L(1)特征(基本量):M()(XO,y0,Zo)s=(?,p)(2)方程(点向式):匚l=二=三二 m n p人 y t f A.x+B,y+C,z+2=0(3)一般方程(交面式)
29、:1 1A2x+B2y+C2z+4=0fx=a1+(a2-aJ)Z(4)其它:*二点式;*参数式;(附:线段25的参数表示:1 y=4+(%-Z=J+-Cjt3.实用方法:(1)平面束方程:71:Ax+By+C+D1+A(A2x+B2y+C2z+D2)=0(2)距离公式:如点Mo(x。,几)到平面的距离d=I。:“。+。二。+。1-J A2+B2+C2(3)对称问题;(4)投影问题.17三.曲面与空间曲线(准备)1.曲面(1)形式 Z:E(x,y,z)=0 或 z=/(x,y);(注柱面/(x,y)=0)(2)法向=(Fx,Fy,F:)=(c o s a,c o s c o s/)(或=(一
30、z,-z,1)2.曲线 x-x(Z)八、s t t f F(x,y,z)=0(1)形式:y=y(t),或;G(x,y,z)=0z=z(/)(2)切向:S=x f),V(f),Z n=(fx,fy-1)(2)切平面与法线:2.曲线(1)切向:x=x(t),y=y(t),z=z(Z)s=(x z)(2)切线与法平面f F=0-3.综合:r:=/k y,2G=gradz=/fy,;(b)u=/(x,y,8 g r a=d w(y,u z(2)结论(6)取/=G为最大变化率方向;(c),(河0)1为最大方向导数值.19第八讲:三重积分与线面积分(数一)一.三重积分)1.Q域的特征(不涉及复杂空间域):
31、(1)对称性(重点):含:关于坐标面;关于变量;关于重心(2)投影法:D xy=(x,y)|x2+y2 火)z,(x,j)z z2(x,y)(3)截面法:D(z)=(x,)|x2+j;2 rXz)a W z b(4)其它:长方体,四面体,椭球2.7的特征:单变量/(Z),(2)/(,+/),(3)/(x2+/+Z?),(4)f=ax+by+cz+d3.选择最适合方法:(1)“积前:*JJJ dv;*利用对称性(重点)nb(2)截面法(旋转体):I=J dz JJ/X办(细腰或中空,Z),/(/+/)D(z)(3)投影法(直柱体):I=ff dxdy fdz J J J Z(x,y)o”2n a
32、 R(4)球坐标(球或锥体):I=f d 0 f s in(pd(p f f()P d P,J 0 Jo J 0重心法(/=ax+by+cz+d):I=ax+hy+cz+d)%4.应用问题:(1)同第一类积分:质量,质心,转动惯量,引力2G auss 公式二.第一类线积分(Js)L1.“积”前准备:(1)J ds=L;对称性;(3)代入“表达式Lfx=x(r)b I;2.计算公式:f fds=f f x 1U=;ia3.补充说明:(1)重心法:j ax+by+c)ds=(a x+h y+c)L;L(2)与第二类互换:A-rds=fA rL204.应用范围(1)第一类积分(2)柱体侧面积Jz(x
33、,y)dsL三.第一类面积分(JJ/S)1.“积”前工作(重点):(l)JJdS=S;(代入:E(x,y,z)=0)(2)对称性(如:字母轮换,重心)(3)分片2.计算公式:(l)z =z(x,y),(x,y)e Dxy=I=|J/(x,y,z(x,y)Jl+z j+z dxdy d,,(2)与第二类互换:JJZ.dS=JJZSS四:第二类曲线积分(1):j P(x,y)dx+0(x,y)打(其中L有向)L.-I 3 1X=x(t),21.直接计算:/2n/=f Px(t)+Qyt)dtU=y(t)J,1常见(1)水平线与垂直线;(2)2+y 2=12.Gre e n 公式:口 ff-)dxd
34、y;1 O ex dy.dP dQ mg/丁 3P dQ hl”P(2)f:-=-=换路径;-w-=围路径*(3)口(0”P,但。内有奇点)口 口(变形)W J JL L L*3.推广(路径无关性):=dy dy(l)Pdx+Qdy=du(微分方程)=J=u(道路变形原理)B)(2)J P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关(f待定):微分方程.L4.应用功(环流量):/=F-d r(T 有向 t,尸=(P,Q,R),dr=tds=(dx,dy,dz)r21dz内无奇点dx+Rdxdy=JJJ div Advc;*封闭曲面变形口 (含奇点)五.第二类曲面积分:1.定乂:Pdydz+Qdz
35、dx 4-Rdxdy,或 JJ 7?(x,y,z)dxdy(其中 E 含侧)S 2.计算:(1)定向投影(单项):Jj 7?(x,y,z)dxdy,其中E:z=z(x,y)(特别:水平面);z注:垂直侧面,双层分隔(2)合一投影(多项,单层):n=(zx-zy,1=JJ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ p(-zx Q(zr+)R dxV y(3)化第一类(Z 不投影):n=(c o s a,c o s/7,c o s/)n P d y d-z Q d 去 d x y c o a 铲 c 中 c o 长E E3.Gauss公式及其应用:(1)散度计算:div A-+-+-dx dy(2
36、)6 auss 公式:S封闭外侧,Q E(3)注:*补充“盖”平面:JJ+JJ Z。4.通量与积分:二。4/5(2有向,4=(尸,,尺)5=45=(dydz,dzdx,dxdy)z六:第二类曲线积分(2):J P(x9 y9 z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y9 z)dz r1.参数式曲空r:直接计算(代入)注(1)当=0时一,可任选路径;(2)功(环流量)r2.St o ke s公式:(要求:为交面式(有向),所张曲面E含侧)/、虫 打、石一 u a e(1)旋度计算:R=又 A=(,)x(P,Q,R)dx dy dzf F=0-(2)交面式(一般含平面)封闭曲线:=同侧法向=匕,尸,,,尸,或G,G,G_;G=0(3)St o ke s 公式(选择):x A)-ndSr E(a)化为 JJ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy;(b)化为 JJ R(x9 y,zydxdy;(c)化为 j j fdS Z Eg22