高考数学难点突破训练-圆锥曲线.pdf

学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 2010届高考数学140分难点突破训练圆锥曲线1.已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=X 2的焦点，离心率为 42a/5O5(1)求椭圆C的方程；(2)设A、B为椭圆上的两个动点，K一,过原点0作直线AB的垂线0D,垂足为D,求点D的轨迹方程.2.设直线/：y=欧+1与双曲线C:3Y=1相交于a,b两点，0为坐标原点.(I)。为何值时，以AB为直径的圆过原点.(H)是否存在实数使网 西且03+砺=4(2,1),若存在，求。的值，若不存 在，说明理由.3.(理)设双曲线G j4=1(a0,b0)的离心率为e,若准线，与两条渐近线 a b相交于只0两点，尸为右焦点，月也为等边三角形.(1)求双曲线。的离心率e的值；b2e2(2)若双曲线。被直线尸ax+6截得的弦长为求双曲线。的方程.a(文)在a?中，力点的坐标为(3,0),方C边长为2,且a1在y轴上的区间-3,3 上滑动.(1)求力比1外心的轨迹方程；(2)设直线J：y=3x+6与(1)的轨迹交于反尸两点，原点到直线/的距离为d,I pp求一的最大值.并求出此时6的值.d23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 4.已知点力(1,2),过点4的直线交双曲线1=1于力、少两点，且而=(况+加)(1)求直线的方程；(2)若过n的直线/交双曲线于。、两点，且丽刀=o,那么从b、a 四点是 否共圆？为什么？X 1 X5.设/(%)=-(ac为常数)，若/(2)=,且/(%)二 0只有唯一实数根hx+c 2 2(1)求/(%)的解析式(2)令%=1,%=/(*_1)求数列的通项公式。6.已知点C(-3,0),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 CP-M=0,PM=MQ(1)当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)是否存在一个点H,使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终 过原点。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。7.设 e 为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)J,B=k+(y-2),且同+忖=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(2)过点(0,3)作直线/与曲线C的交于A、B两点，设丽二次+方，是否存在这样的 直线/,使得四边形0APB为矩形？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 8.已知倾斜角为45的直线/过点/(1,2)和点8,点8在第一象限，|力刈=30。(1)求点8的坐标；2(2)若直线/与双曲线。：a-丁=1(。0)相交于瓦少两点，且线段E F的中点坐标为(4,1),求 a的值；(3)对于平面上任一点尸，当点0在线段AB上运动时，称|尸。|的最小值为尸与线段48的距离。已知。在了轴上运动，写出点P/0)到线段43的距离关于的函数关系式。9.如图，已知定点尸(1,0),动点P在y轴上运动，过点P作尸M J尸尸交x轴于点M,延长MP至！J N,使卢叫=求动点N的轨迹C的方程；设直线/与动点N的轨迹C交于A,B两点，若万砺=T.若线段AB的长度满足:4指引/卸(4回，求直线/的斜率的取值范围。10.在AQ48中，|041=|081=4,点P分线段所成的比为3,以。4、08所在的直线为渐近线且离心率为2的双曲线M恰好经过点P.求双曲线河的标准方程；若直线y=左+根(相左wO)与双曲线“交于不同的两点E、尸，且、尸两点都在以点。(0,3)为圆心的同一圆上,求实数阳的取值范围.23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 11.经过抛物线y 2=4%的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.(1)若线段AB的斜率为k,试求中点M的轨迹方程；(2)若直线的斜率k2,且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为试确定m的取值范围。12.一束光线从点片(1,0)出发，经直线/:2%-歹+3=0上一点P反射后，恰好穿过 点4(1,0).(I)求点/关于直线/的对称点杆的坐标；(II)求以尸、尸2为焦点且过点月的椭圆。的方程；(III)设直线/与椭圆C的两条准线分别交于/、8两点，点0为线段48上的动点，求 点0到尸2的距离与到椭圆。右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点。的坐标.X V13.已知椭圆E：石+%=1,点P(x,y)是椭圆上一点。(1)求好+产的最值。(2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形面积 的最大值。14.已知椭圆的一个焦点片(0,-2后)，对应的准线方程为且离心率e满足g,4e,成等比数列.3(1)求椭圆的方程；(2)试问是否存在直线/，使/与椭圆交于不同的两点、N,且线段恰被直线1 二-,2平分？若存在，求出/的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 15.已知向量a=(x,yJ3y),b=(1,0),且(a+，35)(治-，3母.(I)求点。(%/)的轨迹C的方程；(II)设曲线C与直线 =区+旭相交于不同的两点M、N,又点/(0,1),当|押|时，求实数冽的取值范围。16.设直线/：=左(+1)与椭圆2+3j?=。2伍0)相交于/、夕两个不同的点，与X轴相交于点C,记。为坐标原点.,3k2(I)证明：a2-71+3公(II)若就=2CB,求AO/B的面积取得最大值时的椭圆方程.17.如图,已知。O，：(+2)2+/=8及点A(2,0),在 QO,上任取一点V,连AA并作AA的中垂线1,设1与直线OA 交于点P,若点A取遍。O上的点.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若过点O,的直线加与曲线C交于、N两点，且 m=,则当4w6,+8)时，求直线加的斜率左的取值范围.18.如图，已知。O：x2+y+-m2|=4加2(加 0)及点回0,tm,在O0上任取一点四，连M M,并作的中垂线1,设1与O交于点P,若点取 遍。O上的点.(I)求点P的轨迹c的方程；23学而思教育-学习改变命运思考成就未来!高考网 (2)设直线l-.y=k(x+1)(左W0)与轨迹C相交于力、占两个不同的点，与x轴相交于点D.若静=2例，求AO4B的面积取得最大 值时的椭圆方程.19点A、B分别是以双曲线匕=1的焦点为顶点，顶点为焦16 20点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方,PAPF=0(1)求椭圆C的的方程；(2)求点P的坐标；(3)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到M的 距离d的最小值。20.已知正方形的外接圆方程为一+/24%+。=。，4B、C,按逆时针方向排列，正方形一边所在直线的方向向量为(3,1).(1)求正方形对角线力。与物所在直线的方程；(2)若顶点在原点，焦点在1轴上的抛物线月经过正方形在x轴上方的两个顶点4B,求 抛物线后的方程.答案:2 21.(1)设椭圆c的方程为+4=1(。60).a br 2由题意可得：b=13-，a y5,/.-Fy2=ia 5 5(2)(1)当直线AB的斜率左存在时,23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 设直线 AB 的方程为=Ax+m,cA（x1,j p1）,5（x2,j p2）K 2=y+j；一,/.（52+l）x2+10t ec+5m2-5=0 y=kx+m0kmm+%?=-z-1 2 5k1+：.yxy2=（AX +m）（kx2+m）=k2xxx2+kmxx+x2）+m2,/.%2+%先=0即（左之+kmxl+x2+m2（储+1）（5 加 25）10k2m25兴+1+m2=0=0,5尸+16m2-5-5=0 又又丁点 Z)(x,y)在直线 AB 上，：.y=kx+m:.m=y-kx=y-（3）,J,22、,2把代入得61yH-5-5=0,/2,2三6（/+2）_5=0yXy，点D的轨迹方程为一+y2=(y W 0)6(2)当直线AB的斜率不存在时，D-,0,I 6)点D的轨迹方程为2+/=962.解(I)设4(再,必),5(%2/2)满足犬+y 2=96由y=ax+13x2-y2I=（3-/）x2-2ax-2=023学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 =4/+8(3-吟03 /，0又以AB为直径的圆过原点.既+必=0=(/+1)西+。(%1+%2)+1=a=1)二。OA+OB=2(2,1)=(匹+,必+%)=4(2,1)n*也=-081n x2+乂2=+%2 n(%+%2).。-%2)+(乂+%)(K-8)=0右准线/的方程为：X=,两条渐近线方程为：y=-x.c a.H-H n/ab、a?ab、两父点坐标为 P(，)、0(，-).C C C C”为等边三角形，则有|MF|=-尸01(如图).a V 3,ab ab、a c2-a2 V J abc-(+),即-=-.c 2 c c c c解得b=43a,c=2a.e=2.由得双曲线。的方程为把餐-七=1.把夕=ax+4a 代入得面-3)x2+2a2x+6a2=0.依题意4二12优24(/_3)。2 0/6且力。3,为+%2 2/3 w 0,a2 一而也l=-=12a.a是:7.144/=(1+*.72a2-12/(力-3)2整理得 13aJ77+102=0.2或。2二.132 2*,双曲线。的方程为：-=1或2 613/13/1-=1.51 153（文）（1）设4点的坐标为（0,盟），则。点坐标为（0，为+2）（-3W为W1）,则死边的垂直平分线为 尸为+1由消去%,得_/=6%8.:-3 j 0 1,一2=%+12.故所求的/比外心的轨迹方程为：/=6x-8（-2j 2）.(2)将y=3x+6代入y2=6x 8得9，+63 1)%+8=0.9 4由尸=6%-8 及-2y2,Wy x2.4所以方程在区间，2有两个实根.设/（%）=9%2+6（6 1）%+8,则方程在,2上有两个不等实根的充要条件23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 二63 1)249(+8)0,/(g)=9(g)2+6S 1)：+/+8之0,0,4 6(/)-1)士-、Z.13 2-9之得4 b 4=_3,V o=6CD=4而，MC=MD=y|CZ)|=2710MA=MB=2/lO,即/、B、C、到距离相等A.B、a 四点共圆12分23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 5.(1)直线/方程为y=x c代入+弃=1(。力0)得a1+b2)x2 2a2ex+a2c2 ab2=0,A(x1,y),B(x2,y2)贝ij2 2椭圆方程为-F一=1100 602a2 c 2b2 c”.匹+x=-，+y2=-OC=OA+OB a2+b2 a2+b2二.C点的坐标为（2a2c 2b2 ca2+b2 a+b2.C在椭圆上4a4c2 464c2(a2+b2)2+(a2+b2)24c2=1 即 F7 a+b4c2=a-+b-5c2=2/Vwr)=1c 2a 2 c二|力目147|+忸/(a e%)+(a ex2)=2a。(匹+%2)=2a-不(2)a a+b,2ac2=2a-7 a+b3-Q23已知一a=15 2.a=10,e=,a=b2=6052 122.(1)/(2)=-二2b+c 2一见又小）-；二喻等x令/(%)_ j=o得(2_。_灰)=02-c当6 W0时得方程的实数根x=0和1=上上于是。=2力=1 b当6=0时c=4方程有唯一实数根x=0/(%)=x 或/(X)二x2+xY n I(2)当/(%)=时，=一，令a=一，则a=2一+1,2+x an_x+2 an2+1=2(矶+1)/.b.=2n-l a.=-2n-123学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 当/（%）=;时，为等比数列，%=）1 3=71 或%=46.(1)设 M(x,y),P(0,t),Q(s,0)则无=(3,。,四=(s,/)由 CP PQ=0得 3s12=0.-1-,1又由尸M=得(/7)二万(5%,一y)X=(5-X)1=3%2 1，”3.y-t=-(-y)2y、乙把代入得9%(1)2=0,即y、4x,又xWO4 4则直线AB的方程为：y一弘二1（工一二）%4即（%+%）一乂2-%=4%-y；把乂力=一16代入，化简得（4%16）（必+歹）y=0令y=0代入得x=4,.动直线AB过定点（4,0）答,存在点H（4,0）,满足题意。7.(1),/a=(x,y+2),b=(X/2),且同+问=823学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 即点M(x,y)到两个定点R(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为8,.点M(x,y)的轨迹C为以F10,-2)、F2(0,2)为焦点的椭圆,其方程为16+121.(2)由题意可设直线/方程为歹=丘+3,力区,y,),B(x2,y2),y=kx+3由 0 恒成立，且 J 4+3%21I 1 2 4+31由而二次+无知：四边形0APB为平行四边形.假设存在直线/,使得四边形0APB为矩形，则而，砺，即52-布=0.因为。4=(再,%),0心=(%2，、2)，所以再2+外y2=0，而必为=(kx、+3)-(kx2+3)=kxxx2+3左(+x2)+9,故（1+1）（一_）+34（一-曳，）+9=0,即左2=9,得左=.4+3/，4+3Q 18 475所以存在直线/：k彳+3,使得四边形APB为矩形.8.（1）设 3（x,y）,%0/0P+2-=1V X 1V 2-|x-1|=3a/2%=4尸1.5（4,1）（2）设（须,凹）,尸（%2，、2）%一 一3=0由 0a g(0,1)U6a2-；=X,:.a=2 a2-I(3)设线段45上任意一点。(x,x3)K%K4pQ-Jx)2+(%3)2 ,2(%之 I.当 时，即1KY 5时，当x=9时，|尸|.二91；2 2 1 lmin 2当上34时，即，5时，当=4时，|尸Q|.二-8%+17；2 I jmm当上31时，即，1时，当=1时，|尸。|.=而2%+5。2 I Qlmin-21+5,/-1:.h(t)=殍L-lr 59.(1)设动点N6y),尸(0,6),则左/=一6,.左.=L直线尸N的方程为y b=0-1 b b令歹=0得x=_Z2,即”(-b2,0)。.尸是MN的中点，.26),故卜=，消去6得Ny=26的轨迹C的方程为/=4x.(2)直线/的方程为y=b+b,直线/与抛物线/=4x的交点坐标分别为_.2 24(x”为)(%2，%)，由 OA-OB=-4 得+%歹2=-4,即 J?=4,则=-8，161 口2 4x 4 4b又由)|=2%+1,(0,1),%=0力1=1,二.an=n 1,bn=277 1.(2)当 2 时，Pn(n-l,2n-1),|PxPn|=V 5(-1),.c 二一=1 _ 1_1n|PxPn|n(n 1)n n二.lim(c2+c3+-+cj=lim(l-i)+(|-1)+-+(-)=1.-8 2 2 3 n-1 nn _ J(n-2k-D(3)f(n)=)(左e N+),假设存在符合条件的使命题成立,则2n-l,(n=2k)当人为偶数时，上+11为奇数，则f(k+ir)=k+l0,f(k)=2k-l,山 f(k+11)=2/(外得人+10=2(24 1)n 人=4 e N+.当左为奇数时,左+11是偶数,则/(+)=2(4+11)-1,f(k=k-l,由/(A+11)=2fo 得 2/+11)1=2/1)=23=0,矛盾.综合以上知,存在左=4 e N+使得fk+11)=2fg.2 220.解：(1)因为双曲线用离心率为2,所以可设双曲线M的标准方程 j-J=1由此可得渐近线的斜率k=土6=/BOx=60,从而5(2,273),(2-2V 3)，又因为点P分线段48所成的比为3,所以尸(2,J?),将点P的坐标代入双曲线方程的/=3,2 2所以双曲线A/的方程为-匕二1.3 9设区ylF(x2,%)，线段所的中点为N(x。，为).y=kx+m由 3左2“777 3/77由韦达定理的%=%二，%=%二，由题意知N。J _尸，23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 .7 Va+3 3ttz 9+3k2 1/八所以 kNO=-=-=n 3k之=4m+9.NQ xo-O-km k9由、得m4或 0.411.设人(天,必),8(%2，乃),直线AB的方程为y=k(xT)(kWO),代入/=4%,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0设 M(x,y).则x,+x?x=-2户乂十%2k2+2422kK?_i_ 2 2.点M的坐标为(一,工)消去k可得M的轨迹方程为2=2%2(%A 0).(2)由 d-5 5得 H=il 3 m,k1 k即 得OV 1 3-777 ,215、19即-m -2 或-m-4,2 219故的取值范围为(-,-2)2n 1 m 1 n12.(I)设片的坐标为(也)，则-=且2-+3=0.m+1 2 2 29 2 9 2解得加,n=-,因此，点 厚的坐标为 5 5 1 5 5(II)卢姆|=卢国，根据椭圆定义,得 2q=|PF；+PF2|=|片户2 I=J(g-1)?+(|0)2=2及，23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 a=5/2,b=J 2 1=1.X r二.所求椭圆方程为+丁2=1.2(IID.=2,椭圆的准线方程为x=2.设点Q的坐标为。，2%+3)(-2/2),%表示点Q到F2的距离，d2表示点Q到椭 圆的右准线的距离.则d=1)2+(2/+3)2=j 5/+l(k+10,d2=|?-2|.d,y/st2+10/+10 L t2+2t+2d?|z-2|(-2)2令/J+2；2(一2%2),则”2)2、(2/+2).(/-2)2-(Z2+2/+2)-2(/-2)-(6/+8)2=-二，4 4 4.当2/5,/0,-/0,t=-,/=0.4/在/=-时取得最小值.因此，虫最小值=)5/(：)=变,此时点。的坐标为d2 V 3 2 3 3注：/的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.4 1 d说明：求得的点。（-一,一）即为切点尸，的最小值即为椭圆的离心率.3 3 d213.(1)由二+匕=1 得/=16(1 二)，则 25 16 25X2x2+y 2=x2+16(1 _/%-5,5贝|J 16+V V 25所以/十歹2的最大值为25,最小值为16。23学而思教育-学习改变命运思考成就未来!高考网 (2)如图，由/=5及椭圆方程得A(5,0)o同理C(0,4),设B(5cos&4sine)为椭圆上任一点，又AC方程为尹广1,即4x 5歹20=0。所以B到AC的距离为120cos9+20sine-20|_ 20&sm(e+R-20 20日_20-屈 一 屈 V 41同理得D到直线AC的距离&0即机2 _k-90 一Dkm设两个交点“、N的坐标分别为(届，弘)(2，%).毛+、2=k+9线段”N恰被直线,平分=土土三即一学乙二-12 2 2 左2+9左2+9 左2+9.左WO：.m=-把代入得(-)2(1+9)0-13 解得左 石或攵一方2 刁7 1 1将代入得2加m2,解得0相0,解得用，3 2故所求的加取值范围是（g,2）（2）当儿=0时，根23左2十,角吊得1相1.当先=0时，阳的取值范围是（1,2）2当k=0时，制的取值范围是（一1,1）。16.依题意，直线/显然不平行于坐标轴，故y=x+l）可化为=Ly-l.4k/.直线/的倾斜角范围为（至今）U弓，至）15.由题意得：“+表否=0+/，3月，a-4石=（x-出,出y）,.V（3+5）（5-75 5）,二G+/WG用1）=o.即G+踮）（彳庭+岛岛=o.化简得1+/=1.。点的轨迹洲方程为1+/=1.2分盼5分（id由y=kx+m%2 得(3左2+I),+6mkx+3(m 2-1)=o,+V2=113/由于直线与椭圆有两个不同的交点，.即根2一 1代入，+3/=/，消去,得 k1?(+3)y2y+-a2=0.k k由直线，与椭圆相交于两个不同的点，得4 1 1A=-4(-3)(1-2)0,整理得+3)/3,即/3k21+3P(H)解：设/区，必),8(%2，%)由，得必+歹2=二一T7T 1+34-2k因为/C=2C5,得以=2%，代入上式，得 is/.1 3于是，小夕的面积 S=OC-y-y2|=-|y2|3k 3k V 3-0 由1-k4k 2k2%=肛，乂+力=17，2=J T，1-k 1-k2消去劣,为，得一=91少_=；1+1+2.26,函数g(/l)=/l+L+2在6,内)上 k A X单调递增.A6+-+2=,Z:21,所以 一1人一1 或1(左-1.k将 =_Ly l 代入 3%2+y2=加2 消去%,得(3+1)2+3 /=o.k k k由直线,与椭圆相交于两个不同的点，得A=-J-4(+l)(3-m2)0,整理得(乒+1)疗 3,即加2.6k设 41，/),3(%2/2).由，得乂+8=T7T-J I K：而点)(一1,0),.(一1 一再，一切)=2(9+1,%)，所以必=一2%,6k代入上式，得为=_?，.3+k2于是，如夕的面积 S=-OD-y-y2=-y2=-l 1=-.21 5 8 221 3+储 2百|左I 2其中，上式取等号的条件是左2=3,即左=J J.由8=.6：子可得2=73.J I K1将k=G,%=及左=芯,%=6这两组值分别代入，均可解出/=15.如夕的面积取得最大值的椭圆方程是3/+/=15.19.(1)已知双曲线实半轴&=4,虚半轴方=2行，半焦距a=J 16+20=6,23学而思教育学习改变命运思考成就未来!高考网 ，椭圆的长半轴a=ci=6,椭圆的半焦距q=&=4,椭圆的短半轴平=，62-4n=V 20,2 2.所求的椭圆方程为一+匕=1 36 20(2)由已知/(6,0),尸(4,0),设点P的坐标为(/),则弱=(%+6,y),而=(%4/),由已知得(2 2%y 1 i2=03则2%2+9%18=0,解之得x=或=6,2由于y0,所以只能取=|,于是歹=所以点P的坐标为(,1百)9分r m+6|(3)直线/尸：l +6=0,设点M是(冽,0),则点M到直线AP的距离是m+6|,于是加一6|,又.点M在椭圆的长轴上，即-6m*2则 AB=(15-),=(1,左)且 cos(AB,MA=-y,解得上xc=2，bd=-5 二.所求 劭方程为2y-12=0,47方程为2才一_/-24=0.(2)设/瞅例的倾斜角分别为6 1,0 2,则t an。i=2,t an6 2=1,设圆半径为r,则/(12+如心25/)，B m-r,r),5 5 5 5再设抛物线方程为(00),由于4方两点在抛物线上,(r)2=24(12 5吗)275 2(-r)2=2夕(1245r)5/.片大后，夕=2.得抛物线方程为/=4x o23