行星滚柱丝杠小转角运动的动力学分析.pdf

2 0 1 5 年第2 期 2 0 1 5年 4月 航空兵器 AER0 W EAPONRY 2 01 5 No 2 Ap r 201 5 行星滚柱丝杠小转角运动的动力学分析 王 乐，李海泓，张玲(中国空空导弹研究院，河南 洛 阳4 7 1 0 0 9)摘要：根据实际应用 中的小转角运动建立 了行 星滚柱丝杠的数 学模型：把行 星滚柱丝杠的 轴向位移分解为啮合接触弹性变形量和传动轴 向位移，用 He r t z 接 触理论求解了不同载荷下啮合 接触弹性变形量，并推导了行星滚柱丝杠传动 关系；在此基础上建立 了行星滚柱丝杠 的有限元模 型，通过有限元仿真获得 了行星滚柱丝杠 的动力学响应，最终获得行星滚柱丝杠小转 角下运动特 性 和动 力 学特 性。关键词：行星滚柱丝杠；数 学模型；有限元模型；动力学响应 中图分类号：T H1 3 2 1 文献标识码：A 文章编号：1 6 7 3 5 0 4 8(2 0 1 5)0 2 0 0 5 8 0 7 Dy na mi c An a l y s i s f o r S ma l l An g u l a r M o v e me n t o f t h e Pl a n e t a r y Ro l l e r S c r e w W a n g Le，L i Ha i h o n g，Z ha n g L i n g (C h i n a A i r b o r n e Mi s s i l e A c a d e m y，L u o y a n g 4 7 1 0 0 9，C h i n a)Ab s t r a c t：De p e n d i n g o n t h e s ma l l a n g u l a r mo v e me n t i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s，a ma t h e ma t i c a l mo de l o f t h e p l a n e t a r y r o l l e r s c r e w i s e s t a b l i s h e d T h e a x i a l d i s p l a c e me n t o f t h e p l a n e t a ry r o l l e r s c r e w i s ma d e u p o f t h e e l a s t i c d e f o r ma t i o n a n d d i s p l a c e me n t o f t r a ns mi s s i o n，t h e He r t z c o n t a c t t h e o ry i s us e d t o s o l v e t h e e-l a s t i c d e f o r ma t i o n，a n d a t r a n s mi s s i o n r e l a t i o n s h i p o f t h e p l a n e t a ry r o l l e r s c r e w i s g o t；On t h e b a s i s o f a bo v e，a fin i t e e l e me n t mo d e l o f p l a n e t a r y r o l l e r s c r e w i s e s t a b l i s h e d，a n d t h e n，t h e dy n a mi c r e s po n s e o f t h e p l a n e t a ry r o l l e r s c r e w i s o b t a i n e d F i n a l l y，t h e mo t i o n c h a r a c t e r i s t i c s a n d d y n a mi c c h a r a c t e r i s t i c s f o r s ma l l a n g u l a r mo v e me n t o f t h e p l a n e t a ry r o l l e r s c r e w a r e g o t Ke y wo r d s：p l a n e t a ry r o l l e r s c r e w；ma t h e ma t i c a l mo d e l；fin i t e e l e me n t mo d e l；d y n a mi c r e s p o ns 0 引 言 滚柱 丝 杠 按 其 用 途 可 分 为 行 星 滚 柱 丝 杠(R S M)、差动式滚柱丝杠及循环式滚柱丝杠，其中 行星滚柱丝杠具有很高 的承载能力，能适应极高 的速度加速度，且具有很高的稳定性 J，因此在传 动进给系统中得到广泛 的应用。行星滚柱丝杠主 要 由五部分组成：丝杠、滚柱、螺母、持环及齿轮，如 图 1 所示。收稿 日期：2 0 1 4一l 1 一O 5 作 者简 介：王 乐(1 9 8 8一)，男，陕西成 阳人，硕士，研 究方向 是伺服 系统结构设计。行星滚柱丝杠是把转动运动形式转化为轴向 运动形式的机构，其与行 星滚珠 丝杠(B S M)结构 相似，区别在 于行星滚柱丝杠 的载荷传 递元件 为 螺纹滚柱，而非滚珠，相比于行星滚珠丝杠，行 星 滚柱丝杠的基础表 面具有更大 的曲率半径，而且 接触表面 的数量也较多，这决定 了行星滚柱丝杠 拥有高寿命、大载荷及高速度运行能力。图 1 行星滚柱丝杠结构示意图 壬乐等：行星滚柱丝杠小转角运动的动力学分析 5 9 行星滚柱丝杠一般应用在关键 的、高精度机 械里，如 医疗 器 械E 2-4 1、航 空航 天工 业 l 5-6 1、光 学装置 j、机器人及高精 密度机 床 j。国内外 对行星滚柱丝杠 的研究 日趋成 熟，能够得到广泛 的工业应用是建立在对行星滚 柱丝杠效率、失效 形式 以及动态载荷试 验 的深入研 究 的基础之 上；V e l i n s k y l O 对行星滚 柱丝 杠 的运 动进 行 了研究，并给 出了其效 率 随螺纹 螺旋 角 及接 触 角变 化规 律。现有的研究 主要集 中在滚柱丝杠 大转角运动 特性 卜 J，对小转 角运 动 中的动力 学及 受力 特 性研究还是一片空 白。本文首先通过理论分析建 立行星滚柱丝杠 的数学模型，从 弹性变 形及传动 关系研究行 星滚柱丝杠 运行过程；其 次建立 行星 滚柱丝杠 的有限元模 型，通过有 限元显式算 法对 行星滚柱丝杠进行动力学仿真，研究行 星滚 柱丝 杠动力学 响应。最终获 得行星滚柱丝杠 的运 动特 性和动力学特性，为其 工业应用提供了依据。1 行星滚柱 丝杠 数学模型 行星滚柱丝杠在运行时，尤其 是在小信 号 的 丝杠转动过程 中，其轴 向位移可 以分为啮合接触 弹性变形量和传动轴向位移两部分。1 1 啮合接触弹性变形量 1 1 1 行星滚柱丝杠 的赫兹理论模型 1 8 9 6年，H e r t z 在经典赫兹弹性接触理论基础 上，进一 步提 出了关于两弹性体点接触的局部应 力 和变形的经典解 引，经典赫兹理论建 立在如下 假设条件上：a 两个接触表面光滑，只能够产生弹性变形，且服从胡克定律。对于行星滚柱丝杠，可以假设各 部件 的加工表 面是光 滑的，在额定载荷 工作 条件 下，接触点处产生 的塑性变形量不超过各转 动体 当量半径 的千分之一，这样可 以认为行 星滚柱丝 杠工作在弹性与塑性 的临界点处。b 等效接触面的尺寸远小于接触的转动体 的 表面曲率半径。行星滚柱丝杠的啮合运动 中，丝杠 与滚柱的接触、滚柱与螺母 的接触都属于点接触，充分接触之后相 当于小面接触，接触面相 比接触 体 曲率半径相当小，满足假设。C 考虑接触表 面间的法 向压力载荷，不考虑 接触表面之间 的切 向摩擦力。行星滚柱丝杠属高 精度传动装置，可以忽略各传动部件之间的摩擦 力，把啮合传动过程简化为正压力接触传动。用赫兹接触理论方法求解 点接触，可以采用 查表法获得各参数数值，也可 以根据接触模型计 算 出的主曲率 F(p)的值，经过迭代或插值积分得 到系数 m ，m ，K(e)，L(e)的值，再代入应力应 变表达式 中求 出接触 问题 的解。本文为 了获得较 精确的赫兹接触理论解，将结合数值积分、数值迭 代两种方法对赫兹理论的偏心方程进行 求解，得 到等效接触椭 圆的偏 心率，进 而得 到接触椭 圆长 短半轴，再代人到应力应变公 式中得 到赫兹理论 解。计算时，输入 的参数有三个：行 星滚柱丝杠基 本结构参数、材料属性及点接触法相压力载荷。对于行星滚柱丝 杠，简化 的赫兹 点接触模 型 如图 2所示。在载荷 Q的作用下，螺纹啮合接触点 将扩展成为一个接触面。丝杠 一滚柱 啮合点接触 及滚柱 一螺母 啮合点 接触部分可 以简化为一个椭 圆，椭圆长轴为 2 口，短轴为 2 6。图 2 行星滚柱丝杠赫兹点接触模 型 长半轴 a及短半轴 b的表达式如下：m。浮，m 接触椭 圆的长短半轴系数分别为 3 5 匝 m (2)式 中：k为椭 圆率，k=b a；K(e)为第一类完全椭圆 积分；三(e)为第二类完全椭 圆积分。后(e)，L(e)可 分别由下式求 出：J0)(e)=f 1 一 e 2 s i n d (4)根据赫兹理论，得到：(5)m 一 丢(+)式中：Q为法 向压力；6为接触弹性趋近量；E 为当 量弹性模 量；E。，E：为两 接触物体 的弹性模 量；，为两接触物体的泊松比；P为两物体在 接触点处的主曲率 的和；椭 圆偏心率 e与椭 圆率 的关系为e：、。主曲率函数 F(p)由下式计算得到：6 0 航空兵器2 0 1 5年第 2期 F(p (7)也可 以表 示为=祭(8)若 已知接 触物体在 接触 点处 的各个 主 曲率，则可以由式(7)或式(8)得 到主曲率函数，然后进 行数值迭代得 到偏心率 e，再得到长短半轴 系数 m。，m ，最后得到弹性趋近量 6。1 1 2 啮合接触面 曲率计算 行星滚柱丝杠副 中丝杠 与滚柱接触 时，其第 一、二主曲率分别为 Pl l=1 R 2c o s A c 0 s p 。T(9)P2 1=0 2c o s A c o s P2 Z dins-d mrcOSO t 行星滚柱丝杠副中滚柱与螺母接触 时，其第 一、二主曲率分别为 PI 1=1 R 2 c o s A c o s P2 J=0 1 2 c o s A c o s 。一 dm n+d m rcOS Ot 行星滚柱丝杠结构基本参数如表 1 所示。表 1 行星滚柱丝杠基本结构参数(1 0)由公 式(9)得 丝杠 一滚柱接 触 主 曲率 P =0 3 5 7 1，P 1 2=0 2 4 6 6，P 2 1：0，P 2 2=0 1 0 8 9，进而 可得丝杠 一滚柱的主曲率函数如下：F(P)：0 _ 0 O 2 2 P (1 1)由公式(1 0)得滚柱 一螺母接触 主曲率 P =0 3 5 7 1，P 1 2=0 2 4 6 6，P 2 1=0，P 2 2=0 0 4 2 9，进 而 可得滚柱 一 螺母的主曲率函数如下：=O1 5 3 4 (1 2)1 1 3 弹性变形量计算 行星滚柱丝杠材料选用 4 2 C r Mo 4，其材料性能 参数：9 3时，弹性模量 2 1 0 G P a，密度 7 8 0 0 k g m ，泊松比 0 2 9。对第一、第二类完全椭 圆积分 K(e)，(e)，采用龙贝格(R o m b e r g)积分法进行数值积分，积分 表达式如下：，。=鱼。【)+厂(6)】=+2 i-1 。+2j-1)】，i=1，2，3，=，m=1，2，i；=i m(1 3)式中：。=0；6=r r 2；T m 为 2 m一2阶牛顿 一科特斯(N e w t o nC o t e s)公式计算结果；对于第一类完全椭 圆积分 八 )=,1一e 2 s i n ；对于第二类完全椭圆 积分)=1,1一e 2 s i n 。式中 F(p)由式(1 1)(1 2)计算得到，式(8)为关于椭圆偏心率 e 的方程，编制数值积分及数值 迭代的 Ma t l a b程序求解得到 e 值，将得到的 e 值代 人到式(5)中，可得最大弹性变形量。a 丝杠 一滚柱点接触理论求解 不同载荷轴向 Q作用下，丝杠 一滚柱 接触椭 圆面的长、短轴随载荷 的变化曲线如图 3所示，接 触点弹性趋近量随载荷的变化曲线如图 4所示。b 滚柱 一螺母点接触理论求解 不同载荷轴 向 Q作用下，滚 柱 一螺母 接触椭 圆面的长、短轴随载荷的变化曲线如图 5所示，接 触点弹性趋近量随载荷 的变化曲线如图6所示。0 3 0 2 5 l 0 2 0 1 5 0 1 005 O Q，N 图 3 长、短轴变化 曲线 王乐等：行星滚柱丝杠小转 角运 动的动力 学分 析 6 1 00 2 OOl 5 吕 童 o 0 1 O 0 O 5 O Q N 弹性变形 量变化 曲线 0 1 o o 2 o o3 0 04 0O5 0 06 0 07 0 0 Q，N 图 6 弹性变形量变化 曲线 1 2 传动轴 向位移 行星滚柱丝杠三个转动部件 的节 圆半径影响 相对转速的大小，各部件 的螺纹导程及螺纹旋 向 决定 螺母 的轴 向进给量。丝杠与滚柱之间存在轴 向位 移差，但 由于螺母与滚柱螺纹节距匹配及螺 母持环的约束，滚柱相对于螺母无相对轴 向位移，只做平面转动。1 2 1 行星滚柱丝杠无滑移传动 行星滚柱丝杠副无滑移传动形式如 图 7所示，丝杠与滚柱运动过程中相切于节 圆切点，滚柱与 螺母相切于节圆切点。图7 行星滚柱丝杠无滑移传动 由于螺母无周 向速度，故 A点周 向速度为零；由于丝杠有 自转角速度，故滚柱 日点 的轴 向速 度如下式：B=s r s (1 4)由运动关系可得，滚柱的圆心速度：V o：s ir s (1 5)口 L l 3 假设丝杠转过 0 角度，其节 圆上 日点转过 的 弧长为=r S 0 ，由圆心速度方程可知，滚柱 中心 0转过弧长为 s D=s 日=r s 0 s (1 6)约束点 相应的转角如下式：=(1 7 式中：a为丝杠与滚柱的中心距。故行星滚柱丝杠的传动关系为 f=(警)(18)式中：z 为轴向传动位移；p。为丝杠导程；p 为滚柱 导程；当丝杠与滚柱螺纹旋 向相同时取正号，当丝 杠与滚柱螺纹旋向相反时取负号。行星滚柱丝杠 的结构参数代入式(1 8)，且本 文采用的行星滚 柱丝杠 副丝杠 与滚柱螺纹旋 向相 反，取负号得 f=0 3 0 2 3 9 4 0 s (1 9)1 2 2 行星滚柱丝杠有滑移传动 当考虑行星滚柱丝杠 副运动过程 中丝杠与滚 柱接触 啮合 滑 动时，丝杠 相 对传 动 螺母 转 角 为 0 ，如 图 8所示。图 8 行 星滚柱丝杠有滑移传动 丝杠转动 2 盯角度时，丝杠、滚柱、螺母转角 的关系满足下式：0 R+0 s c=0 s (2 0)式中：0 为滚柱 转角；0 为丝杠相 对 于螺母转 角；0 为丝杠转角。丝杠实际转过角度与丝杠滑动转角之 间的关 系如下式：0 s+0 li d =0 s (2 1)结合式(2 0)(2 1)有：0 R+0 s c+0 l id。=0 s (2 2)行星滚柱丝杠运动过程中，考虑啮合滑动，滚 柱转角应小于没有 啮合滑动条件下 的转角，丝杠 滑动转 角小 于没有 啮合滑动条件下 的转角，用下 面条件表示：5 3 5 2 5 1 5 O 4 m m m 习O O O O 口、Q 王乐等：行星滚柱丝杠小转角运动的动力学分析 6 3 从行 星滚柱丝杠应力分布云 图可 以看 出，行 星滚柱丝杠副运动过程 中螺纹啮合处接触 比较充 分，各部件的应力分布比较均匀。从表 2中各部件 表 2 行星滚柱 丝杠最大应 力分布 0 最大米塞斯应力可知，丝杠与滚柱 比螺母 的最大 应力大，这是因为丝杠与滚柱丝杠侧的接触螺纹 的 曲率较大，接触更趋近于点接触，0 0 0 0 3 1 3 6 S 时 刻滚柱丝杠侧及 0 0 0 0 7 0 4 S 时刻丝杠与滚柱最大应 力超过了材料屈服应力，材料局部进入塑性屈服。在 0 0 0 0 2 S 之后，丝杠在扭矩作用下开始转 动，图 1 4(a)(c)所示分别为丝杠角位移 曲线、滚柱角位移 曲线及螺母角位移 曲线。滚柱的 自转 方 向与丝杠转动方 向相反，螺母与丝杠 的转动方 向相反。图 1 4(d)(e)分别为滚柱轴向位移 曲线、螺 母轴向位移 曲线。0 0 0 0 2 S 时刻，螺母参考点受到(a)丝杠角位移曲线(b)滚柱角位移曲线 蠢 墓 一 一 一 图 1 4 行星滚柱丝杠 动力学 响应 曲线 的轴向拉力为 1 0 0 N，平均分布在每个螺纹接触 点 了行星滚柱丝杠 的数学模 型，把行 星滚柱丝杠 的 处的拉力为 2 0 N，从图中数据可得 0 0 0 0 2 S 时刻 轴向位移分解为啮合接触 弹性 变形量 和传动轴 向 滚柱轴 向位移为 0 0 0 1 6 4 0 4 2 m m，与赫兹理论分 位移，用 H e r t z 接触理论求解 了不同载荷下啮合接 析得到 的弹性变形量 0 0 0 1 6 mm相比，相对误 差 触弹性变形量，并推导 了行 星滚柱丝杠传动关 系；为 2 5。0 0 0 0 2 s 时刻之后，滚柱及螺母最大正 在此基础上建 立 了行 星滚柱丝杠 的有 限元模型，向轴向位移 在 0 0 0 0 2 8 4 8 S时刻达 到，分 别 为 通过有限元仿真获得了行 星滚柱丝杠 的动力学 响 0 0 0 l 7 6 7 5 9 m m，0 0 0 3 4 0 2 0 9 mm。在实际进 给 应。主要研究结论如下：传动 系统 中，在预 紧力作用下 的螺母 的正 向轴 向 a 在一定预紧力下，行星滚柱丝杠 螺纹 啮合 位移需作为补偿 引入到运动模型中。处发生弹性 变形，在行 星滚柱丝杠精确控制 系统 图 1 4(f)为螺母轴向位移在 0 0 0 0 2 s 之后随 的实际应用中应对这部分弹性变形量进行补偿。丝杠角位移变化 曲线，即行星滚柱丝杠传动关 系 b 通过有限元方法获得了行 星滚柱丝杠螺纹 曲线。从图中得到曲线斜率 为 0 3 0 0 0 1 0，与理论 啮合点接触的应力分布及各部件的动力 学响应 曲 分析得到的有滑移条件下 的螺母轴 向位移 随丝杠 线，结合理论推导的传动 比，为行星滚柱丝杠在进 角位移变化率 0 3 0 0 8 8 2 4符合很好，误差只有 给系统的实际应用提供了依据。0 2 9。参考文献：3 结 论 本文首先根据实际应用 中的小转角运动建立 1 L e m o r P C T h e R o l l e r S c r e w，a n E ffic i e n t a n d R e l i a b l e Me c h a ni c a l Co mpo ne n t o f El e ct r o Me c ha ni c a l Ac t u a t o r s C E n e r g y C o n v e r s i o n E n g i n e e r i n g C o n f e r e n c e，蛊、疽露瑚 髂