八年级数学全章复习华东师大版知识精讲.doc

初二数学全章复习华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
全章复习

［教学目标］
1. 了解数的平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用其概念进行计算。
2. 了解最简二次根式、同类二次根式的概念。
3. 掌握二次根式的性质并能用其对二次根式进行变形。
4. 掌握二次根式乘除和加减的运算方法。

［重点、难点］
1. 学习重点：
（1）二次根式的化简。
（2）如何将分母中的根号去掉。
2. 学习难点：
（1）二次根式的变形。
（2）如何找到有理化因式。

［教学过程］
（一）平方根与立方根
1. 知识要点：
（1）平方根与算术平方根的联系与区别：
①正数a的平方根有两个，它们互为相反数，记为。而它的算术平方根只有一个，记为。
②0的平方根与算术平方根均为0。
③负数没有平方根与算术平方根。
（2）算术平方根具有双重非负性：
；
（3）平方根与立方根的区别：
①正数有两个平方根，并且只有一个立方根。
②负数没有平方根，但有立方根。
③中a的取值是非负数，中a的取值是一切实数。

2. 典型例题：
例1. 如果某个数的平方根是a+3及2a－15，那么这个数等于（ ）
A. 49 B.441 C. 7或21 D. 49或441
解：∵某数的平方根是a+3及2a－15，
∴a+3与2a－15互为相反数，即（a+3）+（2a－15）＝0
∴a＝4，a+3＝7，2a－15＝－7
∵（±7）2＝49
∴这个数是49，故选A.

例2. 求下式中的x
4（3x+1）2＝1
解：∵（±）2＝
∴3x+1＝±
当3x+1＝时，x＝－
当3x+1＝－时，x＝－
∴x＝－或－

（二）二次根式
1. 知识要点：

（2）
可以正、逆向使用，正向表示先求算术平方根再求积，逆向表示先求积再求算术平方根。
（3）
可以正向逆向使用，正向表示先求算术平方根再求商，逆向表示先求商，再求算术平方根。
（4）最简二次根式：
①被开方数的因数是整数或整式；
②被开方数中不会有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式。
（5）分母有理化：将分母中的根号去掉
方法：
（6）在混合运算中，按四则运算的顺序进行。
（7）关于最简二次根式：
①被开方数的因数是整数或整式。
②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
这样的二次根式叫最简二次根式。
（8）关于同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这个二次根式叫同类二次根式。
（9）二次根式的加减法实质就是合并同类二次根式。

2. 典型例题：
例1.
分析：

解：

例2. 化简及计算：
1.
解：

2. （1）

解：（1）原式＝

例3.
分析：此题直接将x的值代入计算较为麻烦，应先将二次根式化简，再代入进行计算。
解：

例4.
解：

例5.
解：

故应分四种情况讨论：

例6.
分析：多项式a2－ab+b2可转化为用a+b与ab表示的式子，因此可根据条件中a、b的值，求得a+b与ab的值，计算中先把a、b的式子有理化分母，可使计算简便。
解：

小结：此例是代数式求值，一般注意两点：
（1）如果已知条件为含二次根式的式子，先把它化简；
（2）如果代数式是含二次根式的式子，应先把代数式化简，
再求值。
例7.
有理数，求m2＋n2的值。
解：因为

且

（三）实数
1. 知识要点：
（1）理解实数的意义。
（2）理解实数与数轴上的点一一对应，体会数形结合的思想。
（3）能估计无理数的大小，提高自己的数感和估算能力。

2. 典型例题：
例1. 已知a、b为数轴上的点（如图所示），化简：

解：

例2. 已知5+的小数部分为a，5－的小数部分为b，求：（1）a+b的值； （2）a－b的值。
解：（1）1 （2） 2－7

例3. 将下列各式在实数范围内进行因式分解
（1） （2）
解：（1）原式 ＝
＝
（2）原式 ＝
＝

本课小结：
（1）初步掌握用类比的方法探索新规律，会从特殊的现象中得到一般规律。
（2）掌握二次根式的加减乘除运算。
（3）理解找有理化因式的方法。
（4）逐渐理解将二次根式变形的规律，找到完成变形的方法。

【模拟试题】
一、选择题
1. 在实数0.3,0, , ,0.123456…中，其中无理数的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 化简的结果是（ ）
A. －4 B. 4 C. ±4 D. 无意义
3. 下列各式中，无意义的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如果+有意义，那么代数式|x－1|+的值为（ ）
A. ±8 B. 8 C. 与x的值无关 D. 无法确定
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°,c为斜边，a、b为直角边，则化简－2|c－a－b|的结果为（ ）
A. 3a+b－c B. －a－3b+3c C. a+3b－3c D. 2a
6. 4、、15三个数的大小关系是（ ）
A. 4<15< B. <15<4
C. 4<<15 D. <4<15
7. 下列各式中，正确的是（ ）
A. ＝±5 B. ＝
C. ＝4 D. 6÷＝
8. 下列计算中，正确的是（ ）
A. 2+3＝5
B. （+）·＝·＝10
C. （3+2）（3－2）＝－3
D. （）（）＝2a+b

二、填空题
9. 的算术平方根是______.
10. 如果＝2,那么（x+3）2＝______.
11. 的相反数是______，－的倒数是______.
12. 若xy＝－,x－y＝5－1,则（x+1）（y－1）＝______.
13. 若与|b+2|互为相反数，则（a－b）2＝______.
14. 若＝，那么的值是______.
15. （－）2002·（+）2003＝______.
16. 当a<－2时，|1－|＝______.

三、解答题
17. 计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
18. 若，求的值。
19. 已知，求的值。
20. 化简：
（1）
（2）
21. 求证：a是大于－1的实数，n是正整数，求证：

【试题答案】
一、1. B 2. B 3. A 4. B 5. B 6. A 7. D 8. C
二、9. 10. 16 11. － 12. －6
13. 9 14. 15. 16. －a－2
三、17. （1）

（2）

（3）

（4）因为
故
18. ，故而
得：

19.

而

20.
（1）

（2）

当时，原式
当时，原式
21. 证明：因为
因此，原等式左边