高三数学专题复习：数学开放性问题.doc

高三数学专题复习：数学开放性问题

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.
【例1】 设等比数列的公比为 ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请 明理由.
解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数， 使数列 成等比数列.

(i) 当 时， 代入上式得
即=0
但, 于是不存在常数 ，使成等比数列.
(ii) 当 时，， 代 入 上 式 得
.
综 上 可 知 , 存 在 常 数 ，使成等比数列.
注意：等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形,可不要忽视
【例2】 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
解：（1）
=.
（2）解不等式 ＞0,
得 ＜x＜.
∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.
故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i) ∵　≤40
当且仅当时，即x=7时，等号成立.
∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii)　　y=－2x2+40x－98= －2（x－10）2 +102，
当x=10时，ymax=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.
【例3】 已知函数f(x)= (x<－2)
(1)求f(x)的反函数f－1(x);
(2)设a1=1,=－f－1(an)(n∈N),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由.
解：(1) y=,
∵x<－2，∴x= －,
即y=f－1(x)= － (x>0).
(2) ∵ , ∴=4.
∴是公差为4的等差数列.
∵a1=1, ∴=+4(n－1)=4n－3.
∵an>0 , ∴an=.
(3) bn=Sn+1－Sn=an+12=, 由bn<,得 m>对于n∈N成立.
∵≤5 ,
∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有bn<成立.
【例4】 已知数列在直线x－y+1=0上.
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2）若函数
求函数f(n)的最小值；
(3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
解 ：（1）

（2） ,
,
.

故最小值是
（3）,

.

故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.
事实上, 数列{an}是等差数列, 你知道吗？
【例5】 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
解：设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

证人所说的颜色（正确率80%）
真
实
颜
色

蓝色
红色
合计
蓝色（85%）
680
170
850
红色（15%）
30
120
150
合计
710
290
1000
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为，而它是蓝色的概率为. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然是不公平的.
本题的情景清新, 涉及到新教材中概率的知识, 上述解法中的列表技术显示了一定的独特性, 在数学的应试复课中似乎是很少见的.

【例6】 甲、乙两人对地的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：

（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;
（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）第二年的养鸡场的个数及该地出产鸡的总只数各是多少？
（2）哪一年的规模最大？为什么？
解 （1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，
由图（B）可知, =30，且点在一直线上，
从而
由图（A）可知, 且点在一直线上，
于是
=（万只），（万只）
第二年的养鸡场的个数是26个，该地出产鸡的总只数是31.2万只；
（2）由（万只），
第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.
有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.
【例7】 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式 .
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求数列{un}的前n项的和Sn.
解：（1）在中,令得
.
在中,令得
，有 .
（2）是奇函数,这需要我们进一步探索. 事实上

故为奇函数.
（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想.
由
,
………………………………
猜测 .
于是我们很易想到用数学归纳法证明.
1° 当n=1时，，公式成立；
2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，
，公式仍然成立.
综上可知，对任意成立.
从而 .

，.
故
【例8】 若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
解：(1)采用反证法. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、,
.
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.
【例9】 如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：．
（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；
（2） 延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值；
（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围．

解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋，｜PB| = r + ，
∴ |PA| －｜PB| = 2．
∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 （x ≥1）．若 , 则l的方程为双曲线的右准线,
∴点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.
(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得
由　 ，　解得＞3．　
∴ ｜PQ｜＝．　
当直线的斜率存在时，，得，｜PQ|＝6．
∴　｜PQ|的最小值为6．　
（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△.
∴ R到直线l的距离｜RC|＝ ①
又　∵ 　点P、Q都在双曲线上，
∴　　．
∴　　，即　　．
∴　　　②　
将②代入①得　，｜PQ｜＝２－４a≥6．
故有a≤－１．
“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.

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