立体几何题.docx

【2018年全国Ⅰ卷 理18】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.

分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为PF∩EF=F，利用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又BF⊂平面ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平面PEF⊥平面ABFD.
(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，利用线面角的定义，可以求得sinθ=|HP⋅DP|HP|⋅|DP||=343=34，得到结果.
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF=F，所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得PH=32,EH=32.
则H(0,0,0),P(0,0,32),D(-1,-32,0),DP=(1,32,32), HP=(0,0,32)为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ=|HP⋅DP|HP|⋅|DP||=343=34.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.
通过微课的形式，展示解题步骤的规范性.对学生起到示范引领作用.