立体几何题经典例题.doc

15.如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角得正弦值为 、

6.已知正三棱柱得棱长为2,底面边长为1,就是得中点、
(1)在直线上求一点,使;
(2)当时,求点到平面得距离、
(3)求出与侧面所成得角得正弦值.
7、 如图所示,、分别就是得直径.与两圆所在得平面均垂直,.就是得直径,.
(1)求二面角得大小;
(2)求直线与所成角得余弦值.
8.如图,正方形、得边长都就是1,而且平面、互相垂直.点在上移动,点在上移动,若.
(1)求得长;
(2)当为何值时,得长最小;
(3)当长最小时,求面与面所成得二面角得余弦值.
14.如图,四棱锥得底面就是边长为1得正方形,垂直于底面,.
(1)求证:;
(2)求面与面所成二面角得大小;
(3)设棱得中点为,求异面直线与所成角得大小.
第18题图
18、(本小题满分12分)
已知矩形与正三角形所在得平面
互相垂直, 、分别为棱、得中点,
,,
(1)证明:直线平面;
(2)求二面角得大小.
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面就是直角梯形, ,且,侧面 底面,就是等边三角形.
(1)求证:;
(2)求二面角得大小.
15、(北京市东城区2008年高三综合练习一)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线B1C与平面ABC成30°角、
(I)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(II)求直线A1C与平面B1AC所成角得正弦值;
(III)求二面角B—B1C—A得大小、
52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,BD∥AE,且AC＝AB＝BC＝BD＝2,AE＝1,F为CD中点.
(1)求证:EF⊥面BCD;
(2)求面CDE与面ABDE所成得二面角得余弦值.

54、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知斜三棱柱得各棱长均为2, 侧棱与底面所成角为,
A
B
C
A1
B1
C1
O
且侧面底面、
(1)证明:点在平面上得射影为得中点;
(2)求二面角得大小 ;
(3)求点到平面得距离、
(1)证明:过B1点作B1O⊥BA。∵侧面ABB1A1⊥底面ABC
∴A1O⊥面ABC ∴∠B1BA就是侧面BB1与底面ABC倾斜角
∴∠B1BO= 在Rt△B1OB中,BB1=2,∴BO=BB1=1
又∵BB1=AB,∴BO=AB ∴O就是AB得中点。
即点B1在平面ABC上得射影O为AB得中点 …………4分
(2)连接AB1过点O作OM⊥AB1,连线CM,OC,
∵OC⊥AB,平面ABC⊥平面AA1BB1 ∴OC⊥平面AABB。
∴OM就是斜线CM在平面AA1B1B得射影 ∵OM⊥AB1
∴AB1⊥CM ∴∠OMC就是二面角C—AB1—B得平面角
在Rt△OCM中,OC=,OM=
∴∠OMC=cosC+sin2
∴二面角C—AB1—B得大小为 …………8分
(3)过点O作ON⊥CM,∵AB1⊥平面OCM,∴AB1⊥ON
∴ON⊥平面AB1C。∴ON就是O点到平面AB1C得距离

连接BC1与B1C相交于点H,则H就是BC1得中点
∴B与C1到平面ACB1得相导。
又∵O就是AB得中点 ∴B到平面AB1C得距离
就是O到平面AB1C距离得2倍
就是G到平面AB1C距离为 …………12分
56、(湖北省八校高2008第二次联考)S
Q
D
A
B
P
C
如图,已知四棱锥中,就是边长为得正三角形,平面平面,四边形为菱形,,为得中点,为得中点、
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角得大小.
解:(1)证明取SC得中点R,连QR, DR、
由题意知:PD∥BC且PD=BC;
QR∥BC且QP=BC,
QR∥PD且QR=PD、
PQ∥DR, 又PQ面SCD,
PQ∥面SCD、 …………(6分)
(2)法一:连接SP,
、

、 ,
…………(12分)
(2)法二:以P为坐标原点,PA为x轴,PB为y轴,PS为z轴建立空间直角坐标系,
则S(),B(),C(),Q()、
面PBC得法向量为(),设为面PQC得一个法向量,
由,
cos,
63、A
B
C
D
P
(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥得底面就是边长为得菱形,,平面,
、
(Ⅰ)求直线PB与平面PDC所成得角得正切值;
(Ⅱ)求二面角A－PB－D得大小、
解:(Ⅰ)取DC得中点E、
∵ABCD就是边长为得菱形,,∴BE⊥CD、
∵平面, BE平面,∴ BE、
∴BE⊥平面PDC、∠BPE为求直线PB与平面PDC所成得角、 ……………………3分
∵BE=,PE=,∴==、 ……………………………6分
(Ⅱ)连接AC、BD交于点O,因为ABCD就是菱形,所以AO⊥BD、
∵平面, AO平面,
∴ PD、 ∴AO⊥平面PDB、
作OF⊥PB于F,连接AF,则AF⊥PB、
故∠AFO就就是二面角A－PB－D得平面角、 ……………………………9分
∵AO=,OF=,∴=、
∴=、 ……………………………12分
64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD就是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别就是AB、PD得中点.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角得大小;
(Ⅲ)求二面角P一EC一D得大小.
解:(Ⅰ)取PC得中点O,连结OF、
OE.∴FO∥DC,且FO=DC
∴FO∥AE ……………………2分
又E就是AB得中点.且AB=DC.∴FO=AE.
∴四边形AEOF就是平行四边形.∴AF∥OE
又OE平面PEC,AF平面PEC
∴AF∥平面PEC
(Ⅱ)连结AC
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是直线PC与平
面ABCD所成得角……………………6分
在Rt△PAC中,
即直线PC与平面ABCD所成得角大小为 ……………………9分
(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE得延长线于M.连结PM,由三垂线定理.得PM⊥CE
∴∠PMA就是二面角P—EC—D得平面角. ……………………11分
由△AME∽△CBE,可得,∴
∴二面角P一EC一D得大小为 ……………………13分
解法二:以A为原点,如图建立直角坐标系,
则A(0.0,0),B(2,0,0),C(2,l,0),
D(0,1,0),F(0,,),E(1,0,0),
P(0,0,1)
(Ⅰ)取PC得中点O,连结OE,则O(1,,),
∴ ……………………5分
又OE平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC ………………… 6分
(Ⅱ)由题意可得,平面ABCD得法向量
即直线PC与平面ABCD所成得角大小为 …………9分
(Ⅲ)设平面PEC得法向量为
则,可得,令,则 ……11分
由(2)可得平面ABCD得法向量就是
∴二面角P一EC一D得大小为 ……………………13分
69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=,
AC=BC=2,∠C=90°,点D就是A1C1得中点、
(1)求证:BC1//平面AB1D;
(2)求二面角A1—B1D—A得正切值、

(1)证明:连结A1B交AB1于点O,连结OD
∵点D就是A1C1得中点,点O就是A1B得中点,∴OD∥BC1 …………………………2分
又∵OD平面A1B1C1,BC1平面A1B1C1
∴BC1∥平面AB1D ………………………………………………………………5分
(2)过点A1作A1E垂直B1D交B1D延长于点E,连结AE
∵ABC—A1B1C1就是直三棱柱 ∴A1A⊥平面A1B1C1
又∵A1E⊥B1D ∴AE⊥B1D ∴∠AEA1就是二面角A—B1D—A1得平面角 ………9分

…………………………………………………………12分
解法二:利用空间向量法(略)
70、
(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图,正三棱柱中,就是得中点,
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求二面角得大小。
解法一:(Ⅰ)证明:连接

∥。 ……………………3分
∥平面 …………………………5分
(Ⅱ)解:在平面

—— ……………………8分
设。
在
所以,二面角——得大小为。 ………………12分
解法二:建立空间直角坐标系—,如图,
(Ⅰ)证明:连接连接。设

则
∥。 …………………………3分
∥平面…………5分
(Ⅱ)解:
设
故
同理,可求得平面。………………9分
设二面角——得大小为
得大小为。……………………12分