高一数学期中试题.docx

高一数学上期月考试题
数 学

本试题卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分. 第一部分1至2页，第二部分3至8页. 全卷共150分，考试时间为120分钟.

第一部分（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，若，则实数等于（ ）
（A） （B）或 （C）或 （D）
2．若角的终边经过点，则
（A） （B） （C） （D）
3．下列函数f（x）与g（x）相等的一组是（）
A． f（x）=x﹣1，g（x）=﹣1 B． f（x）=x2，g（x）=（）4
C． f（x）=log2x2，g（x）=2log2x D． f（x）=tanx，g（x）=
4已知是第三象限的角，那么是( )象限的角
A、第二 B、第三 C、 第二或第三 D、第二或第四
5.设f（x）=1nx+2x﹣6，用二分法求方程lnx+2x﹣6=0在区间（2，3）内近似解的过程中，得f（2.5）＜0，f（3）＞0，f（2.75）＞0，f（2.625）＞0，则方程的根落在区间（）
A． （2.5，3） B． （2.5，2.75） C． （2.625，2.75） D． （2.5，2.625）

6．已知a=2，b=﹣4，c=（），则a，b，c大小关系正确的是（）
A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． a＞c＞b D． b＞c＞a

7、若函数在上既是奇函数又是增函数，则函数的图像是( C )

(A) (B) (C) (D)
8．已知函数，则下列等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
9. 设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数是偶函数，所以，即函数关于对称。所以，，当时，单调递减，所以由，所以，即，选A.

10．用表示三个中的最小值，设则的最大值为 （ ）
、4 、5 、6 、7
11.已知函数,,则（　）
A． B． C． D．

12. 设，是二次函数，若的值域是，则的值域是 （ ）
、 、 、 、

第二部分（非选择题 共90分）

题号[来源:学科网ZXXK]
二
三[来源:学科网ZXXK]
总分
总分人[来源:学科网]
17
18
19
20
21
22
得分

注意事项：
1．第二部分共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案直接填在题中横线上.
13.已知幂函数的图象过点，则__________．
14．半径为2cm，圆心角为的扇形面积为 .
15设若关于的方程有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是 _____________
16．若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域内的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域内的任意，当时，恒有，则称函数为“二维函数”．现给出下列四个函数：
①；②；③；④
其中能被称为“二维函数”的有_____________（写出所有满足条件的函数的序号）．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（本小题满分12分）⑴计算
解：⑴原式
(2) 化简
（2）
=
=﹣tanα

18．（本小题满分12分）已知，
（1）求：的值
（2）求：的值
【解析】：（1）
（2）...........

是否加（3）：或（2）换为求：5sin2α-3sinαcosα-2cos2α的值

19. 已知全集I=R，集合A={x∈R|≤}，集合B是不等式<4的解集，求A∩(IB)．
解：由A：≤，即 ≤0， ……………………2分
等价于
解得 -3<x≤1．
∴ A={x∈R| -3<x≤1}． ……………………4分
又因为由<4有<22，
∴ |x+1|<2． ……………………6分
∴ –2<x+1<2，即-3<x<1．
∴ B={x∈R| -3<x<1}． ……………………8分
∵ IB={x∈R| x≤-3，或x≥1}， ……………………9分
∴ A∩(IB)={1}． ……………………10分

20.为保护生态环境，我市某山区自2005年起开始实行退耕还林．已知2004年底该山区森林覆盖面积为a亩．
（1）设退耕还林后，森林覆盖面积的年自然增长率为0.2%，写出该山区的森林覆盖面积y（亩）与退耕还林年数x（年）之间的函数关系式，并求出2009年底时该山区的森林覆盖面积．
（2）如果要求到2014年底，该山区的森林覆盖面积至少是2004年底的2倍，就必须还要实行人工绿化工程．请问2014年底要达到要求，该山区森林覆盖面积的年平均增长率不能低于多少？
（参考数据：1.024=1.082，1.025=1.104，1.026=1.126，lg2=0.301，lg1.072=0.0301）

（1）所求函数式是 y=a(1+0.2%)x (x>0)． ……………………3分
∵ 到2002年底时，退耕还林已达5年，即x=5，
∴ y=a(1+0.2%)5=1.104a．
即到2002年底时该山区的森林覆盖为1.104a亩． ……………5分
（2）设年平均增长率为p．
则由题意有a(1+p)10≥2a， ……………………7分
两边取常用对数有lg(1+p)10≥lg2，
∴ 10lg(1+p)≥0.301．
∴ lg(1+p)≥0.0301，
即 lg(1+p)≥lg1.072．
∴ 1+p≥1.072．
∴ p≥0.072．
即森林覆盖面积的年平均增长率不能低于7.2%． ……………10分

SHANCHU19已知集合 ，函数的值域为，若，求的取值范围。
解：是的值域， 又
方程无正实数解。
①当时，显然有
②当时方程的解不满足；时方程的解满足
③当或时方程的解，这时不满足
综上：
20．（本小题满分12分）

销量t
1
4
6
利润Q
2
5
4.5
某种产品投放市场以来，通过市场调查，销量t（单位：吨）与利润Q（单位：万元）的变化关系如右表，现给出三种函数，，且，请你根据表中的数据，选取一个恰当的函数，使它能合理描述产品利润Q与销量t的变化，求所选取的函数的解析式，并求利润最大时的销量.
由单调性或代入验证可得，应选函数， 4分
由条件得
∴．（t>0） 8分
又．
∴当时，的最大值是． 10分
∴利润最大时的销量为4.5吨 12分

21．（本小题满分12分）

设函数其中.
（Ⅰ）证明：是上的减函数；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
20．（本小题满分12分）

设函数其中.
（Ⅰ）证明：是上的减函数；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
（Ⅰ）设
则
又
在上是减函数 6分
（Ⅱ） 8分
从而 10分
的取值范围是

22. （本小题满分14分）

设函数（为实常数）为奇函数，函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在上的最大值；
（Ⅲ）当时，对所有的及恒成立，求实数的取值范围．
选22．（14分）定义在R上的函数f（x）对任意的x都有f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2|x-m|+n，且f（2）=1
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+a），若对任意x1∈[1，e]，总存在x2∈R，使得g（x1）+2=f（x2）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数f（x）在区间[t，t+1]（0≤t≤2）上的最小值为h1（t），最大值为h2（t），令h（t）=h1（t）•h2（t），请写出h（t）关于t的解析式．
（Ⅰ）由题有f（4）=f（0），可求m，再由f（2）=1求n，
（Ⅱ）求出ln（1+a）+2≤g（x1）+2≤ln（e+a）+2，而x2∈R，f（x2）=2|x2﹣2|≥1，要使得g（x1）+2=f（x2）成立，则ln（1+a）+2≥1，解得a≥﹣1；
（Ⅲ）画函数f（x）的图象，结合图象求最值即可．
解答： 解：（Ⅰ）由题有f（4）=f（0），即2|4﹣m|+n=2|0﹣m|+n，得2|4﹣m|=2|0﹣m|，m=2，
又f（2）=1，即2|2﹣2|+n=1，
解得n=0．
）令g（x）=ln（x+a），若对任意x1∈[1，e]，总存在x2∈R，使得g（x1）+2=f（x2）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）∵x1∈[1，e]，∴ln（1+a）+2≤g（x1）+2≤ln（e+a）+2，
而x2∈R，f（x2）=2|x2﹣2|≥1，
要使得g（x1）+2=f（x2）成立，则ln（1+a）+2≥1，解得a≥﹣1；
（Ⅲ）（Ⅲ）记函数f（x）在区间[t，t+1]（0≤t≤2）上的最小值为h1（t），最大值为h2（t），令h（t）=h1（t）•h2（t），请写出h（t）关于t的解析式．
函数f（x）的图象：

当0≤t≤1时，1≤t+1≤2，f（x）在区间[t，t+1]上递减，故h1（t）=f（t+1）=2|t﹣1|=21﹣t，h2（t）=f（t）=2|t﹣2|=22﹣t，
∴h（t）=21﹣t×22﹣t=23﹣2t；
当1＜t≤2时，2＜t+1≤3，f（x）在区间[t，t+1]上先减后增，故h1（t）=f（2）=2|2﹣2|=1，
而对于f（t+1）=2|t﹣1|=2t﹣1与f（t）=2|t﹣2|=22﹣t，
在1＜t≤时，h2（t）=f（t）=2|t﹣2|=22﹣t，在＜t≤2时，h2（t）=f（t+1）=2|t﹣1|=2t﹣1，
∴h（t）=；
点评： 本题主要考查函数的综合应用，同时考查数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．

部分答案
13.6； 12．（5分）已知，则tanα=2．

考点： 三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．
专题： 计算题；三角函数的求值．[来源:学科网]
分析： 将已知等式去分母，化简整理得sinα=2cosα，再由同角三角函数的基本关系，可算出tanα的值．
解答： 解：∵，
∴去分母，得sinα+cosα=3（sinα﹣cosα）
解之得sinα=2cosα，可得tanα==2
故答案为：2
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．
18．
销量t
1
4
6
利润Q
2
5
4.5
利润Q
2
5
4.5
某种产品投放市场以来，通过市场调查，销量t（单位：吨）与利润Q（单位：万元）的变化关系如右表，现给出三种函数，，且，请你根据表中的数据，选取一个恰当的函数，使它能合理描述产品利润Q与销量t的变化，求所选取的函数的解析式，并求利润最大时的销量.
由单调性或代入验证可得，应选函数， 4分
由条件得
∴．（t>0） 8分
又．
∴当时，的最大值是． 10分
∴利润最大时的销量为4.5吨 12分
删20．（本小题满分12分）

设函数其中.
（Ⅰ）证明：是上的减函数；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
（Ⅰ）设
则
又
在上是减函数 6分
（Ⅱ） 8分
从而 10分
的取值范围是 12分
22. （本小题满分14分）

设函数（为实常数）为奇函数，函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在上的最大值；（Ⅰ）求的值，在上的最大值；

（Ⅲ）（Ⅱ）当时，对所有的及恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅰ）由得 ，
∴． 2分
（Ⅱ）∵ 3分
①当，即时，在上为增函数，
最大值为． 5分
②当，即时，
∴在上为减函数，
∴最大值为． 7分
∴ 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得在上的最大值为，
∴即在上恒成立 10分
令，

即
所以． 14分

21．（14分）定义在R上的函数f（x）对任意的x都有f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2|x-m|+n，且f（2）=1
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+a），若对任意x1∈[1，e]，总存在x2∈R，使得g（x1）+2=f（x2）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数f（x）在区间[t，t+1]（0≤t≤2）上的最小值为h1（t），最大值为h2（t），令h（t）=h1（t）•h2（t），请写出h（t）关于t的解析式．

解：（1） 设 ,则，
a=2, ，　　　　　　　　　　
（2）由（1）知：，
因为是奇函数，所以=0，即 , 　
∴， 又，
； 　　　　　　
（3）由（2）知，
易知在R上为减函数. 又因是奇函数，从而不等式：

等价于=，　　　　　
因为减函数，由上式得：,……
即对一切有：，
从而判别式

21．（14分）定义在R上的函数f（x）对任意的x都有f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2|x-m|+n，且f（2）=1
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+a），若对任意x1∈[1，e]，总存在x2∈R，使得g（x1）+2=f（x2）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数f（x）在区间[t，t+1]（0≤t≤2）上的最小值为h1（t），最大值为h2（t），令h（t）=h1（t）•h2（t），请写出h（t）关于t的解析式．
（Ⅰ）由题有f（4）=f（0），可求m，再由f（2）=1求n，
（Ⅱ）求出ln（1+a）+2≤g（x1）+2≤ln（e+a）+2，而x2∈R，f（x2）=2|x2﹣2|≥1，要使得g（x1）+2=f（x2）成立，则ln（1+a）+2≥1，解得a≥﹣1；
（Ⅲ）画函数f（x）的图象，结合图象求最值即可．
解答： 解：（Ⅰ）由题有f（4）=f（0），即2|4﹣m|+n=2|0﹣m|+n，得2|4﹣m|=2|0﹣m|，m=2，
又f（2）=1，即2|2﹣2|+n=1，
解得n=0．
）令g（x）=ln（x+a），若对任意x1∈[1，e]，总存在x2∈R，使得g（x1）+2=f（x2）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）∵x1∈[1，e]，∴ln（1+a）+2≤g（x1）+2≤ln（e+a）+2，
而x2∈R，f（x2）=2|x2﹣2|≥1，
要使得g（x1）+2=f（x2）成立，则ln（1+a）+2≥1，解得a≥﹣1；
（Ⅲ）（Ⅲ）记函数f（x）在区间[t，t+1]（0≤t≤2）上的最小值为h1（t），最大值为h2（t），令h（t）=h1（t）•h2（t），请写出h（t）关于t的解析式．
函数f（x）的图象：

当0≤t≤1时，1≤t+1≤2，f（x）在区间[t，t+1]上递减，故h1（t）=f（t+1）=2|t﹣1|=21﹣t，h2（t）=f（t）=2|t﹣2|=22﹣t，
∴h（t）=21﹣t×22﹣t=23﹣2t；
当1＜t≤2时，2＜t+1≤3，f（x）在区间[t，t+1]上先减后增，故h1（t）=f（2）=2|2﹣2|=1，
而对于f（t+1）=2|t﹣1|=2t﹣1与f（t）=2|t﹣2|=22﹣t，
在1＜t≤时，h2（t）=f（t）=2|t﹣2|=22﹣t，在＜t≤2时，h2（t）=f（t+1）=2|t﹣1|=2t﹣1，
∴h（t）=；
点评： 本题主要考查函数的综合应用，同时考查数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．

25．已知函数（a＞0，a≠1）
（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】综合题；分类讨论；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由真数可以取到不等于1的所有正实数得函数的值域，分析出真数的单调性，由复合函数的单调性得到原函数的单调期间；[来源:学&科&网]
（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]，可得0＜a＜1，问题转化为m，n是f（x）=1+logax的两根，进一步整理得到ax2+（a﹣1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，然后利用三个二次结合得到关于a的不等式组，求解不等式组得答案．
【解答】解：（1）∵≠1，∴，
则的值域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）；
由，解得x＜﹣1或x＞1，且1﹣在（﹣∞，0）、（0，+∞）上为增函数，
∴当a＞1时，f（x）的增区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）的减区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；
（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]，
由m＜n，及1+logan＜1+logam，得0＜a＜1，
∴f（m）=1+logam，f（n）=1+logan，
∴m，n是f（x）=1+logax的两根，
∴，化简得ax2+（a﹣1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，
设G（x）=ax2+（a﹣1）x+1，则，解得．[来源:Z。xx。k.Com]
∴存在实数a∈（0，3﹣），使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]．
【点评】本题考查函数的定义域、值域及其求法，考查了复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．