研修任务高中数学教学设计作业.doc

教学设计
基本信息
名称
正弦定理
执教者
刘爱
课时
1
所属教材目录
必修5第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理
教材分析
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角知识之后，对三角知识的深入应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对解直角三角形内容的直接延伸。
根据自己的实际教学，正弦定理这部分内容共分为三个步骤；第一步：教师通过引导学生对实际问题的探索，大胆提出猜想；第二步：由猜想入手，带着疑问，联系特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三步：利用正弦定理解决引例，并进行简单的应用。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考及勇于求真的精神。
学情分析
对于高中二年级的学生来说，已经学过平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，具备了一定的观察问题、分析问题、解决问题的能力，但是把前后知识联系起来，加以理解并合理应用还有一定难度，而且思维灵活性受到制约。
根据以上特点，自己（教师）恰当引导，提高学生的学习主动性，加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝应用成果的喜悦。

教学目标
知识与能力目标
让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、实验、猜想、验证和证明；
由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法目标
通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题以及解决问题的能力；增强学生协作能力和交流能力；发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
情感态度与价值观目标
通过学生间的自主探索及合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于观察、不畏艰辛的创新理念，增强学习的成功意识，激发对学习数学的兴趣。
培养学生探索数学规律的思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量等知识间的联系,来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重难点
重点
正弦定理的发现与证明、正弦定理的简单应用
难点
正弦定理的猜想提出过程
教学策略与 设计说明
教学策略：授课时采用探究式课堂教学模式：即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和师生合作交流为前提，以问题为导向来设计教学情境；以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、提出质疑、进行探究、加强讨论问题的机会，让学生通过个人或集体来尝试多种解难释疑的活动；在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力
设计说明：首先学生在不知正弦定理的内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法，发现并证明定理。让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
教学过程
教学环节（注明每个环节预设的时间）
教师活动
学生活动
设计
意图

一、 结合实例，激发动机:
1 教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？

2教师：若已知测得，

图1
，要计算A、B两地距离，你 有办法解决吗？

3 老师：对，很好，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？

4教师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

5教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若，，能否用、、表示呢？
并引导学生再观察刚才解题过程。

6教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？

7教师：引导
， ，，
我们习惯写成对称形式:
，
因此我们可以发现：

是否任意三角形都有这种边角关系呢？

二、 数学实验，验证猜想
1教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验：
是否成立，举出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。（学生回答它们相等）
（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：，对应角的正弦值分别为，，1；
（学生回答它们相等）
（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：：2，对应角的正弦值分别为，，1。
（学生回答它们相等）（图3）

图3
教师问对于呢？

2教师：那么任意三角形是否有呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算）

3教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、、值仍然保持相等。
我们猜想：==

三、 证明猜想，得出定理

1教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）

2教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

还有其它证明方法吗？

3教师:边分析边引导学生，同时板书证明过程。
在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高

三角形的面积：，
能否得到新面积公式
4教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、、
都等于同一个比值，那么它们也相等，这个到底有没有什么特殊几何意义呢？

5教师：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？
对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。

6教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。

四、 利用定理，解决引例

1教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

五、 了解解三角形概念

教师：一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
六、运用定理，解决例题
1教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

2师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流
注：用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

1学生：思考提出测量角A，C

2学生：思考交流，画一个三角形，使得为6cm，，
， 量得距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为490m。

3 师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
4学生：思考，交流，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：过作于

（图2）
,在中，
，
在中，

A

图2

5学生：
发现，

6学生：
发现即然有，
那么也有，。

1学生：思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
则有，，又,
则
B
a
A
C
c
b

从而在直角三角形ABC中，

图4

2学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。

1学生：思考得出
①在中，成立，如前面检验。
②在锐角三角形中，如图5设，，
作：，垂足为
在中，
在中

同理，在中

图5
③在钝角三角形中，如图6设为钝角，
，，
作交的延长线于
在中，
在中，

同锐角三角形证明可知

图6

2学生：
思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：
而由图中可以看出：

等式
中均除以后可得
即

A
B
C
D
E
F
b
a
c
（图7）

图7
3学生：
得到三角形面积公式：

4学生:在前面的检验中，中,
c恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。图8
证明：连续并延长交圆于，

在中，

即
同理可证：
，

图8
5学生：思考（联系作高的思想）得出：
在锐角三角形中，，作单位向量垂直于，

即

同理：

1学生：马上得出
在中，

1学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。
2学生：反馈练习（教科书第6页的练习）
一、设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。

二、设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。

三、设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

四、设计意图：利用正弦定理，解决引例。

五、设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性。
六、设计意图：1)利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。2）自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。

课堂小结
2分钟
小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素； ②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。

布置作业
1分钟
作业：第11页[习题1.2]B组第1、2题。
思考题：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。

板书设计
板书设计：
1、结合实例，激发动机
数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等
活动中，逐步形成创新意识。
2、数学实验，验证猜想
通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳
和演绎推理的两个侧面。
3、证明猜想，得出定理
引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开
思维，培养推理的意识。
4、 利用定理，解决引例
合理利用正弦定理，重新解决引例，体会用新的知识，新的定理，使得解决问题更方便、更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

5、 了解解三角形概念
6、 运用定理，解决例题
提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变要我学为我要学，我要研究的主动学习。
7、 尝试小结
通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
8、作业

教学反思
本节定理教学课，我把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。
首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。
在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用以前学过的相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了 “在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。
定理证明的方法一、方法二，参透了分类 、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。如果让我重新上这节课，我会完善这些不足，做的更好。
总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。