资源描述
实数
一、考点回顾
1、实数的分类
2、实数的运算
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用； （2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行．
3、实数大小的比较
（1）正数大于零，负数小于零，两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小．
（2）作差法比较大小
设a，b是任意两个实数． 若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b．
4、数轴：数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数一一对应．
5、相反数、倒数、绝对值
①实数a、b互为相反数a＋b＝0； ②实数a、b互为倒数ab＝1；
③
6、近似数、有效数字 ： 对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始到最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字．
7、数的平方与开方
①正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根；
②若b3＝a，则b叫a的立方根；
③
二、考点精讲精练
例1、①光的速度大约是300 000 000米/秒，把300 000 000用科学记数法表示为__________；②某细小颗粒物的直径为0.000 0025m，用科学记数法表示为__________． 答案：①3×108；②2.5×10－6
变式练习1：用科学记数法表示下列各数：1、567 000；2、0.000 0205 答案：1、5.67×105；2、2.05×10－5
例2、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001）
变式练习2：用四舍五入法把0.00205取近似值，结果保留两个有效数字为__________．答案：0.0021
例3、计算． 答案：．
变式练习3：
计算：①； ②．
答案：①原式＝＝3－1－4＋3＝1； ②原式＝＝3＋1－2－1＝1．
例4、①的平方根为__________； ②－（－3）的相反数为__________． 答案：①；②－3
变式练习4： ①的平方根为__________． ②的倒数的相反数为__________．
答案：①，的平方根为； ②2
例5、实数a、b在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为________．
解：
变式练习5： ①写出一个比－3大的负无理数__________；
②已知m，n是两个连续的整数，且，则m＋n＝__________；
③在1，－3，，0，π中，最小的数为__________．
答案：①；②11；③－3
例6、已知α为锐角，且，计算的值．
答案：
， ∴α＋15°＝60°，∴α＝45°， ．
变式练习6：
已知α为锐角，且，求的值．
答案：
，，
∵α为锐角，∴α＝30°，.
代数式
一、考点回顾
1、用字母可以表示任意一个数．
2、用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，如0，，－x等．
3、一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫代数式的值．
4、体会字母表示数的意义及用代数式表示规律．
二、考点精讲精练
例1、一列数a1，a2，a3，…，其中，（n为不小于2的整数），则a4的值为（ ）
A． B． C． D．
变式练习1：
（1）给定一列按规律排列的数：1，，，，，…，它的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
（2）按一定规律排列的一列数依次为，，，，，，…，按此规律，第7个数为___1/50_______
3、已知，记b1＝2（1－a1），b2＝2（1－a1）（1－a2），…，bn＝2（1－a1）（1－a2）·…·（1－an），则通过计算推测出bn的表达式为bn＝__________（用含n的代数式表示）．
答案：
，，
例2、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答：
（1）表中第8行的最后一个数是__________，它是自然数__________的平方，第8行共有__________个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是__________，最后一个数是__________，第n行共有__________个数；
（3）求第n行各数之和．
答案：（1）64，8，15；（2）n2－2n＋2，n2，2n－1；
（3）
变式练习2：
1、观察下列等式：．
（1）猜想并写出第n个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．
答案：（1）猜想：；（2）证明：，即．
2、观察下列各式：，，根据观察计算：（n为正整数）．
答案：
例3、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3、…按如图放置，其中点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3、…在直线y＝－x＋2上，依次类推，则点An的坐标为__________．
答案：设B1（y1，y1），代入y＝－x＋2得y1＝1，∴B1（1，1），A1（1，0），设B2（y2＋1，y2），代入y＝－x＋2可得，，．同样可求，．
变式练习3：
如图所示，直线y＝x＋1与y轴交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，然后延长C1B1与直线y＝x＋1交于点A2，得到第一个梯形A1OC1A2；再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，同样延长C2B2与直线y＝x＋1交于点A3得到第二个梯形A2C1C2A3；再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，延长C3B3，得到第三个梯形；…；则第二个梯形A2C1C2A3的面积是__________；第n（n是正整数）个梯形的面积是__________（用含n的式子表示）．
答案：6，
解析：依题意OA1＝1，C1A2＝2，…，Cn－1An＝2n－1，∴第二个梯形A2C1C2A3的面积为6，第n个梯形的面积为.
例4、如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，……，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒__________根（用含有n的代数式表示）．
答案：图（1）四根，图（2）4×3－2根，图（3）4×5－4根，图（4）4×7－6根，…图（n）4×（2n－1）－2（n－1）根，故填6n－2．
变式练习4：如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是__________．
答案：n＋2
例5、已知，则的值为__________．
解： 由得a－b＝－4ab， ．
变式练习5：
已知a－2b＝3，则6－2a＋4b的值为__________． 答案：6－2a＋4b＝6－2（a－2b）＝6－2×3＝0．
整式
一、考点回顾
1、代数式的分类
2、同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，合并同类项时，只把系数相加，所含字母和字母的指数不变．
3、整式的运算
（1）整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项．
（2）整式的乘除
①幂的运算性质：am·an＝am＋n（m，n为整数，a≠0）； （am）n＝amn（m，n为整数，a≠0）；
（ab）n＝anbn（n为整数，a≠0，b≠0）； am÷an＝am－n（m，n均为整数，且a≠0）；
②a0＝1（a≠0）；；
③单项式乘单项式，单项式乘多项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式．
④乘法公式：平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2； 完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2．
（3）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫多项式的因式分解．
因式分解的基本方法：①提公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法．
因式分解常用公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）a2±2ab＋b2＝（a±b）2
二、考点精讲精练
例1、若单项式与－2x3ya＋b是同类项，则这两个单项式的积为_______．
解：
依题意 解得 ．
变式练习1：
若－2amb2m＋3n与的和仍为一个单项式，则m与n的值分别为（ ）
A．1，2 B．2，1 C．1，1 D．1，3
解：
依题意，－2amb2m＋3n与是同类项， ∴ m＝2n－3且 2m＋3n＝8, 得 m＝1，n＝2 选A．
例2、下列计算正确的是（ ）
A．（－p2q）3＝－p5q3 B．（12a2b3c）÷（6ab2）＝2ab
C．3m2÷（3m－1）＝m－3m2 D．（x2－4x）·x－1＝x－4 答案：D
变式练习2：
（1）下列计算正确的是（ ）
A．a＋a＝a2 B．（2a）3＝6a3 C．（a－1）2＝a2－1 D．a3÷a＝a2
（2）下列计算中正确的是（ ）
A．（a＋b）2＝a2＋b2 B．a3＋a2＝2a5 C．（－2x3）2＝4x6 D．（－1）－1＝1 答案：（1）D （2）C
例3、已知实数a、b满足（a＋b）2＝1和（a－b）2＝25，求a2＋b2＋ab的值．
解：由（a＋b）2＝1得，① 由（a－b）2＝25得，②
①＋②得． ①－②得 ab＝－6, ∴a2＋b2＋ab＝13－6＝7．
变式练习3：若x＝a2＋b2＋5a＋1，y＝10a2＋b2－7a＋6，则x，y的大小关系为（ ）
A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定
解：
∴ x＜y． 答案：B
例4、已知x2＋3x＝10，求代数式（x－2）2＋x（x＋10）－5的值．
解：（x－2）2＋x（x＋10）－5＝x2－4x＋4＋x2＋10x－5＝2x2＋6x－1＝2(x2＋3x)－1＝2×10－1＝19
变式练习4：
已知整式的值为6，则2x2－5x＋6的值为__________．
解：
＝6， ． ∴2x2－5x＋6＝12＋6＝18．
例5、若a，b，c是三角形三边的长，则代数式a2＋b2－c2－2ab的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．大于或等于0 D．小于或等于0
解：a2＋b2－c2－2ab＝（a－b）2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)
若a，b，c是三角形三边的长,
则a－b＋c＞0，a－b－c＜0， ∴(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即a2＋b2－c2－2ab＜0． 选B．
变式练习5：（1）多项式ac－bc＋a2－b2分解因式的结果为（ ）
A．（a－b）（a＋b＋c） B．（a－b）（a＋b－c） C．（a＋b）（a＋b－c） D．（a＋b）（a－b＋c）
（2）分解因式①2x2－4xy＋2y2 ②（2x＋1）2－x2 ③（a＋b）（a－b）＋4（b－1) ④x2－y2－3x－3y
答案：（1）ac－bc＋a2－b2＝c(a－b)＋(a＋b)(a－b) ＝(a－b)(a＋b＋c), 选A．
（2）①2x2－4xy＋2y2＝2（x2－2xy＋y2）＝2（x－y）2
②（2x＋1）2－x2＝(3x＋1)(x＋1)
③（a＋b）（a－b）＋4（b－1）＝a2－b2＋4b－4＝a2－(b2－4b＋4)＝a2－(b－2)2＝(a＋b－2)(a－b＋2)
④x2－y2－3x－3y＝(x＋y)(x－y)－3(x＋y)＝(x＋y)(x－y－3)
分式
一、考点回顾
1、分式
若A、B是整式，将A÷B写成的形式，如果B中含有字母，式子叫分式．分式的分母B≠0，若分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零．
2、分式的基本性质：，（其中M为非零整式）
3、分式的运算
（1）分式的加减： （2）分式的乘除：
（3）分式的乘方：； （4）符号法则：．
4、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫约分．
5、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫通分．
二、考点精讲精练
例1、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．答案：A
变式练习1：
下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．答案：C
例2、若分式无意义，则x＝_____；若分式的值为0，则x的值为___．答案：3或－2；2
变式练习2：若分式有意义，则x的取值范围是__________；若的值为0，则x的值为______.答案：x≠3；－2
例3、化简． 解：原式
变式练习3：
化简． 解：原式＝
例4、先化简，再求值：，其中．
解：原式＝
∵， ∴ ． ∴原式＝．
变式练习4：
有这样一道题：计算的值，其中x＝2013．某同学把“x＝2013”错抄成“x＝2031”，但它的结果也正确，请你说说这是怎么回事．
解：∵
∴ 结果与x无关．故把“x＝2013”错抄成“x＝2031”，不影响它的结果．
变式练习5：
1、若，则__________． 2、已知实数x满足，则的值为__________．
答案：
1、法1：由得，
法2：由得
2、由得， ．
整式方程
一、考点回顾
1、等式的基本性质．
2、一元一次方程的解法：
①解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及将未知数的系数化为1；
②最简方程ax＝b的解有以下三种情况：
当a≠0时，方程有且仅有一个解；当a＝0，b≠0时，方程无解；当a＝0，b＝0时，方程有无数个解．
3、一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其解法主要有：直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法．
4、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式为
（b2－2ac≥0）
5、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2－4ac．
△＞0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△＜0方程没有实数根．
二、考点精讲精练
例1、方程2x（x－3）＝5（x－3）的解为（ ）
A． B．x＝3 C．x1＝3， D．
解析：
2x（x－3）＝5（x－3） 2x（x－3）－5（x－3）＝0 （x－3）（2x－5）＝0
∴x1＝3，． 答案：C
变式练习1： 若代数式2x2－x与4x－2的值相等，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2，或 D．1
解：2x2－x＝4x－2 x(2x－1)－2(2x－1)＝0 (2x－1)(x－2)＝0 ∴2x－1＝0 或x－2＝0
∴ 答案：C
例2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一根为1，且满足，则c＝__________．
解：依题意a＋b＋c＝0． ∵，, ∴a－2＝0，b－3＝0
∴a＝2，b＝3 ∴2＋3＋c＝0，c＝－5． 答案：－5
变式练习2：
已知α是方程x2＋x－1＝0的根，则代数式的值为__________．
解： 依题意α2＋α－1＝0，α2＋α＝1．
． 答案：14
例3、关于x的方程k2x2＋（2k－1）x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解： 当k＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1＝0, x＝1，有实根.
若k≠0时，原方程为一元二次方程，，得 k≤． ∴．
综合得，故选A．
变式练习3：
关于x的方程2kx2＋（8k＋1）x＝－9k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：依题意，2k≠0, k≠0． 2kx2＋（8k＋1）x＋9k＝0 △＝(8k＋1)2－4×2k×9k＞0,
∴k＞ ∴ 答案：D
例4、某纪念品原价为168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（ ）
A．168（1＋a%）2＝128 B．168（1－a%）2＝128 C．168（1－2a%）＝128 D．168（1－a2%）＝128
变式练习4：
甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客在哪家超市购买这种商品更合算（ ）
A． 甲 B．乙 C．丙 D．都一样
解：设这种商品原价为a元． 甲超市； 乙超市；
丙超市． ∵ 0.64a＞0.63a＞0.6a, ∴在乙超市购买这种商品更合算．
例5、某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件．批发商为了增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表（不需要化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
答案：（1）80－x；200＋10x；800－200－（200＋10x）；
（2）依题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800＝9000．
∴x2－20x＋100＝0，解此方程得x1＝x2＝10， 且x＝10时，80－x＝70＞50． 故第二个月的单价为70元．
变式练习5：
某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元，当同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？
答案：设每盆至多植x株， 依题意（3＋x）（4－0.5x）＝14， x1＝1，x2＝4，
因要尽可能地减少成本，∴x＝4舍去． ∴取x＝1，x＋3＝4． 即每盆植4株时，每盆的盈利为14元．
分式方程
一、考点回顾
1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．
2、解分式方程的基本思想方法：分式方程整式方程．
3、解分式方程要验根．
二、考点精讲精练
例1、若分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．以上都不对
答：去分母x－3＝m， 把x＝2代入得m＝－1，故选C．
变式练习：
若分式方程有增根，则它的增根为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1和－1
解：两边同乘（x＋1）（x－1）， 得x2＋m（x＋1）－7＝0，
当x＝1时，m＝3；当x＝－1时，m不存在， ∴x＝1是增根，故选B．
例2、解分式方程．
解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1）， 得5（x＋1）＝3(x－1) 解得x＝－4．
经检验知 x＝－4是原方程的根． ∴原方程的根为x＝－4．
变式练习：
解分式方程．解 ， x－4＋2(x－3)＝－4 3x＝6 x＝2
经检验，x＝2是原方程的根． ∴原方程的根是x＝2．
例3、用换元法解方程，若设x2－3x＋1＝y，则原方程可化为（ ）
A．y2－6y＋8＝0 B．y2－6y－8＝0 C．y2＋6y＋8＝0 D．y2＋6y－8＝0
解： ， ∵x2－3x＋1＝y, ∴ 答案：A
变式练习：
已知方程的两根分别是，，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．
解：
， ， x－1＝a－1，或． 得 x＝a，或 ．
例4、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%．问原计划完成这项工程用多少个月？
分析：相等关系是实际施工效率＝原计划施工效率×（1＋12%）．
解：
设原计划完工用x个月，则， 解得x＝28， 经检验，x＝28是方程的根．
答：原计划完成这项工程用28个月．
变式练习： 甲、乙两人共同打印文件，甲共打1800个字，乙共打2000个字，已知乙的工作效率比甲高25%，完成任务的时间比甲少5分钟，问甲、乙二人各花了多少时间完成任务？
解： 设甲所用时间为x分钟，
则，x＝45． 检验知，x＝45是原分式方程的根。
答：甲花了45分钟完成任务，乙花了40分钟完成任务．
例5、在社会主义新农村建设中，某乡决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天，
依题意，得x＝60．检验知，x＝60是原方程的解．
答：乙工程队单独完成这项工程需要60天．
（2） 答：两队合做完成这项工程需要24天．
变式练习：
一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需超过规定日期4天才能完成．如果两组合做3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？
解：设规定日期为x天，则
， 解得x＝12． 经检验知，x＝12是原方程的解． 答：规定日期为12天．
方程组
一、考点回顾
1、二元一次方程组的解法：①代入法解二元一次方程组；②加减法解二元一次方程组．
2、列方程组解应用题：运用二元一次方程组解决简单的实际问题．
二、考点精讲精练
例1、解方程组：
解：两方程相加得 4a＝20 a＝5 将a＝5代入a－b＝8得 5－b＝8 所以 b＝－3
方程组的解是
变式练习1、解方程组：
解：由（2）得y＝2x－1 将y＝2x－1代入（1） 得3x＋5(2x－1)＝8 解得x＝1 把x＝1代入（2） 得y＝1
∴
例2、已知a、b满足方程组求（a＋b）－2013的值．
解：两式相加得a＋b＝1， ∴（a＋b）－2013＝1－2013＝1．
变式练习2、已知是方程组的解，求代数式4m（m－n）＋n（4m－n）＋5的值．
答：原式＝4m2－n2＋5，由已知有 两式相乘得4m2－n2＝3，∴原式＝3＋5＝8．
例3、若关于x、y的方程组的解满足方程2x＋3y＝6，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
解：将方程组中的k当作常数，解得 ∴2×5k＋3×（－2k）＝6， ，选B．
变式练习3、若点P（a＋b，－5）与（1，3a－b）关于x轴对称，则a＝__________，b＝__________．
解：依题意 解得
例4、某校2009年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2010年秋季初一年级招生人数增加20%，高一年级招生人数增加25%，这样2010年秋季初一年级、高一年级招生总数比2009年将增加21%，求2010年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？
解：
设2009年初一年级招x人，高一年级招y人，则
(1＋20%)x＝480，(1＋25%)y＝125． 答：初一年级招480人，高一年级招125人．
变式练习4、在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
答：
设胜x场，平y场，则
例5、某酒店客房有三人间、双人间的客房，收费数据如下表：
普通（元/间·天）
豪华（元/间·天）
三人间
150
300
双人间
140
400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？
解：设三人普通间和双人普通间各住了x，y间，则
答：旅游团住了三人普通间客房8间，双人普通间客房13间．
变式练习5、我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．
（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？
解：（1）设购买甲种树苗x株，乙种树苗y株，
列方程组得 解得
答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株．
（2）设购买甲种树苗z株，乙种树苗（800－z）株， 则列不等式 85%z＋90%（800－z）≥88%×800，
解得z≤320． 答：甲种树苗至多购买320株．
不等式
一、考点回顾
1、掌握不等式，一元一次不等式（组）及其解集的概念．
2、掌握不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法以及解集的数轴表示．
（1）解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．要特别注意，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．
（2）解一元一次不等式组的一般步骤是：
①先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；
②再利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一次不等式组的解集．
二、考点精讲精练
例1、下列四个命题中，正确的有（ ）
①若a＞b，则a＋1＞b＋1；②若a＞b，则a－1＞b－1；
③若a＞b，则－2a＜－2b；④若a＞b，则2a＜2b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C
变式练习1
1．已知，下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D． 答案：B
2、若，则下列不等式中不能成立的是（ ）
A． B． C． D． 答案：B
3、下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D． 答案：C
例2、不等式2x＋1≥5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案：D
变式练习2
1、如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D． 答案：D
2、关于x的不等式的解集如图所示，则a的取值是（ ）
A．0 B．－3 C．－2 D．－1 答案：D
3、如果不等式组的解集是，那么的值为_______．
答案： 得； 2x－b＜3得 ． ∴ ∴a＋b＝1．
4、已知不等式x＋8＞4x＋m（m是常数）的解集是x＜3，求m 的值．
解：解不等式x＋8＞4x＋m 3x＜8－m
∵不等式x＋8＞4x＋m（m是常数）的解集是x＜3， ∴， ∴ m＝－1
例3、函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2，且x≠3 C.x≤2 D．x≠3
答案： 得x≥2，且x≠3．
变式练习3
1、一次函数的图象如图所示，当－3＜y＜3时，x的取值范围是（ ）
A．x＞4 B．0＜x＜2 C．0＜x＜4 D．2＜x＜4 答案：C
2、关于x的方程2x＋3k＝1的解是负数，则k的取值范围是多少？
答案： 2x＋3k＝1，
． 依题意， ∴ ．
3、点A(m―4，1―2m)在第三象限，那么m值是（ ）
A． B．m＜4 C． D．m＞4
答案： 点A(m―4，1―2m)在第三象限，
则得．选C．
例4、解不等式组，并在数轴上表示解集．
解：由（1）得x≥13，由（2）得x＞－2故解集为x ≥13．(数轴上表示解集略)
变式练习4
解不等式组： 答案：－1＜x≤2
例5、不等式组的最小整数解是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
答案：
不等式组的解集是，最小整数解是0．选A．
变式练习5
1、不等式组的整数解是（ ）
A．－1，0，1 B．－1，1 C．－1，0 D．0，1
答案：
不等式组的解集是－1≤x＜1，整数解是－1，0．选C．
2、已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是__________．
答案：x－a≥0，得x≥a； 5－2x＞1，得x＜2． 不等式组的解集是a≤x＜2．
∵不等式组只有四个整数解，即 1，0，－1，－2，∴ －3＜a≤－2．
不等式(组)的应用
一、考点回顾
用一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤：
（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.
（2）设：设适当的未知数.
（3）找：找出题目中的所有不等关系.
（4）列：列不等式(组).
（5）解：求出不等式组的解集.
（6）答：写出符合题意的答案.
二、考点精讲精练
例1、某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨．该校计划每月烧煤多少吨（吨数取整数）？
解：
设该校计划每月烧煤x吨．
不等式组的解集为20<x<22． 答：该校计划每月烧煤21吨．
变式练习1、3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务．每个小组原先每天生产多少件产品？
解：由题意可以设原来每天每个小组生产X件产品， 则3×10×x＜500且3×10×（x＋1)＞500,
解得＜x＜，则x＝16件． 答：原来每个小组每天生产16件产品．
例2、某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划用这些原料生产A、B两种产品共50 件．已知生产一件A种产品需甲种原料9 kg、乙种原料3 kg；生产一件B种产品需甲种原料4 kg、乙种原料10 kg,
(1)设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组；(2)有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．
解：
(1)
(2)由(1) 得30≤x≤32，∴x＝30，31，32.
共有三种方案：生产30件A种产品，生产20件B种产品；
生产31件A种产品，生产19件B种产品； 生产32件A种产品，生产18件B种产品．
变式练习2、今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨；
（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？
解： 设安排x辆甲种货车，（10－x）辆乙种货车．
解得，∴x＝5，6，或7.
共三种方案： 方案1：甲车5辆，乙车5辆； 方案2：甲车6辆，乙车4辆； 方案3：甲车7辆，乙车3辆．
（2）2000×5＋1300×5＝16500(元)；2000×6＋1300×4＝17200(元) 2000×7＋1300×3＝17900(元)．
所以方案一运费最少，最少运费是16500元．
例3、我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数量至少是500份．
(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x的取值范围．
(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制2000份录取通知书．那么应当选择哪一个厂?需要多少费用?
解： (1)y甲＝1.5×0.8x＋900＝1.2x＋900（ x≥500且x是整数），
y乙＝1.5x＋900×0.6＝1.5x＋540( x≥500，且x是整数)．
(2)令y甲>y乙，即1.2x＋900>1.5x＋540，∴x<1200； 令y甲＝y乙，即 1.2x＋900＝1.5x＋540，∴x＝1200；
令y甲<y乙，即1.2x＋900<1.5x＋540，∴x>1200．
当x＝2000时，y甲＝3300． 答：当500≤x＜1200份时，选择乙厂比较合算；
当x＝1200份时，两个厂的收费相同； 当x>1200份时，选择甲厂比较合算；
所以要印2000份录取通知书，应选择甲厂，费用是3300元．
变式练习3、某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说:“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠”．若全票价是1200元，你认为选择哪家旅行社更加优惠?
解：设有x名学生，甲的费用是y1，乙的费用为y2，
y1＝1200＋1200×0.5x，y2＝1200×0.6(x＋1).
令y1>y2，即1200＋1200×0.5x>1200×0.6(x＋1)，x<4，
令y1＝y2，即1200＋1200×0.5x＝1200×0.6(x＋1)，x＝4，
令y1<y2，即1200＋1200×0.5x<1200×0.6(x＋1)，x>4，
故学生人数超过
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