由“用图象法解二元一次方程组”引发的思考.doc

由由“用图象法解二元一次方程组用图象法解二元一次方程组”引发的思考引发的思考 笔者有幸拜读了数学教学2005 年第 12 期所刊登的研教一课，受益多课一 文，文中提到：“这时老师只能自言其说：“两个一次函数图象的交点，还可以表示由这两个一 次函数的关系式组成的方程组的解”然后老师出示以下例题：y=2x 5 例 利用图象解方程组 y=x+1 老师做示范，先把该题的解题过程在黑板上演示一遍，然后让学生模仿做书上的解 方程的练习题 我在学生中间巡视，发现很多同学还是用代入法或加减法来解方程组，并没有用图 象法”对文中的徒弟在教学“用图象法解二元一次方程组”过程中遇到的困境，笔者深有 同感和共鸣，并想借此拟谈笔者在这个教学内容的实施过程中的一些困惑和教学心得 1例题教学引出的问题 y x 2 y=2 3 例 1 用作图象的方法解方程组 2x y=2 2 1 解：由 x 2 y=2 可得 y=x+1，1 2 -2 -11 2 3 x 由2x y=2 可得 y=2x 2，-1 1 -2 -3 在同一直角坐标系内作出一次函数 y=2 x+1 的图 象l1 和 y=2x 2 的图象l2，如图，观察图象，得l1，l2 的交点为 P(2,2)x 2 y=2 的解是 x=2 所以方程组 y=2 2x y=2 正当笔者在板书解答过程时，突然，一位学生提出问题：如果在直角坐标系内作出 x=1.9 x=1.9 的两个一次函数图象有误差时，若图象的交点是 ，那么 是这个方程 y=2.2 y=2.2 x=1.9 组的解吗？笔者一惊，马上给以答复：“不是这个方程组的解，但是可以看作 y=2.2 是这个方程组的近似解”当笔者口中的“近似解”三个字一落音，教室里忽然很寂静，随后立刻又骚动起来了，大家似乎在思索着：方程组还有近似解的？学生 A 站了起来,x=2.8 x=2.8 他说:“如果作出的两个一次函数图象的交点是 y=2.6,那么 y=2.6 也是这个方程 组近似解吗?”此时课堂里一片沸腾，并展开了讨论 x=3.5 笔者被学生的问题堵住了，接着学生就会想“也是这个方程组近似解”等 y=2 类似的问题，此时，教学经验告诉笔者，必须给学生一个明确的答复，否则将会严重挫 伤学生学习的积极性由于课前自己对这个问题未作充分的思考，只好勉强给学生一个 解释：“假如在近似解的近似范围内的话，可以看成是近似解”笔者这样一解释可捅出 一个大问题了，学生 B 马上接应：“老师，近似范围怎样确定呀？”这下笔者真正被学 生问题难住了，被学生晾在了讲台上 2问题的思索 笔者常与同行们谈起这堂的经历，想获取例 1 教学上的帮助，也得到一些的收获同 时，大家对教材中选取例 1 的作用和目的，存在着与教材设计的意图有不同的看法 2.1 例 1 的设计不符合学生的认知水平 由本节课教材内容的编排上可以看出，例 1 设计目的是：（1）让学生进一步体会二 元一次方程与一次函数的对应关系；（2）让学生掌握用图形法解二元一次方程组的过程 和步骤而且，随堂练习和课后习题 7.1 各自都只有安排一个与例 1 内容完全一致的习 题，这更加突出了例 1 在本节课上的重要地位然而，在课堂的教学实践中，笔者了解 到在练习、作业中，几乎所有的学生都没有按“图象法”的步骤来求解，而是先运用加 减消元法或代入消元法解得二元一次方程组的解，再画出相应的两个一次函数图象，根 据求得的解标出两直线交点的坐标“图象法”图有虚名，学生把“图象法”拒之于门外必有其特殊性的原因，一方面是嫌弃它求解过程的烦 琐，画图的精确度要求高；更重要的一方面是对用“图象法”求得的方程组的解的正确 x=1.9 x 2 y=2 性产生怀疑，就如“y=2.2 是方程组 2x y=2 的解吗？”这种困惑导致学生弃 用“图象法”，避开这种不必要的错误 2.2 用“图象法”求方程组的“准确解”还是“近似解”综观小学、初中、高中对方程组的求解，都是求其“准确解”学生对方程组的解 的认识已经形成了一种特有的认识模式，即方程组的解是指能使方程组中各个方程左右 两边的值相等的未知数的值，评价解方程组正确与否也是如此定义的 从例 1 的要求：“用作图象的方法解方程组”及例题的解答的过程来看，是求方程 组的“准确解”而新课标在第 34 页中指出：“能根据一次函数的图象求二元一次 方程组的近似解”因此，“图象法”更适合于求方程组的近似解那么，对二元一次方 程组的近似解作怎样的解释和定义呢？“近似解”的近似范围又怎样确定呢？显然，教 材在对此问题的设计和解决是不吻合新课标中的要求的，没有充分体现出“图象法”的数学意义和思想，对教师的教和学生的学起不到一个很好的引领的作用同时，笔者 对新课标中“能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解”的指导思想和 要求也持保留的态度 2.3“教教材”还是“用教材”教材是教师和学生实施课程标准的重要依据,而数学课程标准的设置为教师“用教 材”留下了创造空间教材是指教科书、教学参考资料等书面的东西，而且所载的信息 是有限的，甚至可能存在一些与学生学情不完全一致的教学内容但是，教学内容的范 围是灵活的、广泛的，可以是课内的，也可以是课外的，只要适合学生的认识规律，从 学生的实际出发的有关内容都可以作为学习内容因此，教师应认真研究学生实际学情，明确学生应达到的知识要求与能力要求，再全方位解读教材，多角度分析教材，才能使 教材发挥最佳的教学价值 从教者的角度反思这个问题，教师备课时忽略了学生的实际情况，对“图象法”一 味执行“教教材”，从而导致了教师的教和学生的学形成了两条“平行线”，没有交会融 合，碰撞拓展假如教师对于教学中具体素材（包括“图象法”发生的背景、例题、练 习）都可以根据学生的学习心理特征、知识基础，融入自己的科学精神和智慧，从知识 维度、认知心理和发展水平、实际使用效果等方面对教材内容进行教学重组和整和，选 择更好的内容对教材深加工，设计出适合学生的活生生的教材内容，就可能不会出现案 例中课堂教学现象了 2.4 对“图象法”导学的一种设想 利用“图象法”求二元一次方程组的近似解，重要的不是解的本身，重要的是方 法，是求解的思路，包括解的精确度以及如何达到方程组的解等，这些对于学生来说都 是有价值的数学 设想一：“图象法”求解方程组时，当求得两直线交点的坐标是否是方程组的准确 解时，可以引导学生对所得未知数的值进行检验，如果不适合方程组，让学生分析其原 因，不断调整作图的准确度在寻找方程组解的过程中，引导学生借助“逼近”的方法 逐步获得近似解，促进学生对方程组解的理解，发展学生的估算意识和能力，体会逼近 思想在数学解题中的运用，激发学生探求精确解的欲望 设想二：削弱“图象法”的求解过程，突出“图象法”求解的直观性，体现数形结 合的思想可以设计下列的问题来替换例 1，如：1、如图，一次函数 y=5 x 与 y=2x 1 的交点坐标是(2,3)，写出方程组 x+y=5 的解 2x y=1 2、如图，两直线l1，l2 的交点 P 坐标为（1，3），点 A 坐标为（0，1），点 B 坐标 为（0，4），你知道交点 P 的坐标可以看成是怎样的方程组的解吗？y y 5 4 B 3 3 P 1 A -1 2 5 x 1 x 第 1 题 第 2 题 3、有一组数同时适合方程 x+y=2 和 x+y=5 吗？一次函数 y=2 x，=5 x 的图象之间有何关系，你能从中“悟”出些什么？参考文献：1 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准.北京：北京师范大学出版社,2001.7.2 义务教育数学课程标准研制组.义务教育课程标准实验教课书(数学八年级上册).北京：北京师范 大学出版社,2004.5.3 章新金.肖晓红.研教一课,受益多课.数学教学,2005 年.12.