第一课时空间向量及其运算.doc

第一课时 空间向量及其运算
一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法
三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

B C

O A
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2．向量运算和运算率

加法交换率：
加法结合率：
数乘分配率：
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。
注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝
（1）对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量。
（3）若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ①
其中向量叫做直线l的方向向量。
在l上取，则①式可化为 ②
当时，点P是线段AB的中点，则 ③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①
注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使
④
或对空间任一定点O，有⑤
在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。
又∵代入⑤，整理得
⑥
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使
说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使
6．数量积
（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作
A

B

O

（1）
说明：⑴规定0≤≤,因而=；
⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；
A

B

O

（2）
⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，
图（1）中∠AOB=，
图（2）中∠AOB=,
从而有==.
（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。
A
B

l
即=，
向量:

（4）性质与运算率
⑴。 ⑴
⑵⊥=0 ⑵=
⑶ ⑶
（三）．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
例1、有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ①② ①③ ②③ ①②③
解析：对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。
题型2：空间向量的基本运算
例2、如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

解析：显然；答案为A。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例3、已知：且不共面.若∥,求的值.
解：∥,,且即
又不共面,
点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.
证明：记则∴,∴共面.
∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.
（四）强化巩固导练
1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.
解：易求得
2、在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( A )。
A
B
C
D
A1
C1
B1
A．-a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a-b＋c D．-a-b＋c
3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大是 。 解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则
，故填写。
（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝． 4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.
（六）、作业布置：课本P32页A组中2、3、4 B组中3
课外练习：课本P39页A组中8 ；B组中3； 复资P130页变式训练中1、2、3、5、6
五、教学反思：