四川高考解析几何训练题(附答案).doc

四川高考解析几何训练题（附详细解答）
【1】已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．
(1) 求点P的轨迹E；　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．
【2】在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.
（1）求曲线C的方程；
（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；
（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明
【4】已知圆：x2+y2=c2(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。
⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；
⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。
【5】已知点（x,y）在椭圆C：（a＞b＞0）上运动
⑴求点的轨迹C′方程；
⑵若把轨迹C′的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。
【6】已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。
（1） 求椭圆的离心率与;
（2） 对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成立.
【7】抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；
（3）当时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.
【8】已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直
线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且内切圆面积最大时实数的值.
【9】．已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分 所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.
1．在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点
,且.
（Ⅰ）求直线与交点的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点()是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直
线的斜率与直线的斜率满足，试探究直线的斜
率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由
2．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线和分别与直线交于两点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
3．如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(2,0)，且过点（0，）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得∠AOB为锐角？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）由题设b=，c=2，从而a2=b2+c2=6，
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）假设斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，使得∠AOB为锐角，
设直线l的方程为y=k(x - 2).
4．已知方向向量为的直线l过椭圆的焦点以及点，直线l与椭圆C交于 A 、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为.
(1)求椭圆C的方程
(2)过左焦点且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，当（O坐标原点），求直线m的方程
5M
x
y
o
·
第18题
已知圆O:x+y=1和点M(4,2).
（Ⅰ）求以点为圆心，且被轴截得的弦长为的圆⊙的方程；
（Ⅱ）过点向⊙O引切线，求直线的方程；
（Ⅲ）设为⊙上任一点，过点向⊙O引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
6．设椭圆：的一个顶点与抛物线： 的焦点重合， 分别是椭圆的左右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）是否存在直线，使得 ，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；
（III）若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．
7.已知、分别为椭圆：的
上、下焦点，其中也是抛物线：的焦点，
点是与在第二象限的交点，且。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆：，过点P的动直线与圆相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：，（且）。求证：点Q总在某定直线上。
8．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）。在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。在直角坐标平面内，我们定义两点间的“直角距离”为：

（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”[来源:学&科&网]
为2的“格点”的坐标。（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值的动
点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹。（在以下三个条件中任选一个做答，多做不计分，基保选择条件①，满分3分；条件②满分4分；条件③，满分6分）
①；
②
③
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）。
①到A（-1，-1），B（1，1）两点“直角距离”相等；
②到C（-2，-2），D（2，2）两点“直角距离”和最小。

9．已知椭圆：，设该椭圆上的点到左焦点的最大距离为，到右顶点的最大距离为.
(Ⅰ) 若，，求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设该椭圆上的点到上顶点的最大距离为，求证：

答案
【解析1】(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为；…①
又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP方程为；…②
由①、②消去λ得 ，即 ．
故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4；
当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：
当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆．
(2)　假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ;
椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且．
由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2- 5kx + 20k- 30 = 0,
设M(x1, y1), N(x2, y2), 则有，…③ △=25k2- 4×2(20k- 30)，
又 |MF| =, |NF| =, 而；
∴ +,由此可得　，…④
由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．
【解析2】（1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M1的坐标为（0，），
，于是点N的坐标为，N1的坐标
为，所以
由
由此得
由
即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分
（2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C
无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为
由方程组
依题意
当时，设交点PQ的中点为，
则

又

而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分
（3）由题意有，则有方程组
由（1）得 （5）
将（2），（5）代入（3）有
整理并将（4）代入得，易知
因为B（1，0），S，故，所以

【解析3】（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得∵且的面积为1
∴,
∴
∴∴双曲线C的标准方程为。
（2）设，联立得
显然否则直线与双曲线C只有一个交点。
即
则
又
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)
∴即
∴
∴
化简整理得
∴ ，且均满足
当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！
当时，直线的方程为，直线过定点（，0）
∴直线定点，定点坐标为（，0）。
【解析4】⑴设R(x,y)是圆：x2＋y2=c2上任一点，则S（x,y）在所求椭圆上的点，设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得：故所求的椭圆方程为：椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=与c无关。
⑵设直线l的方程为：x=－c＋tcos
y=tsin (t为参数，为倾斜角) ① 把①代入圆的方程得：（－c＋tcos）cos2＋(tsin)2=c2整理得：t2－2ccost2=0 ②
设②的两根为t1、t2,解得：t1=0,t2=2ccos
把①代入椭圆方程得：（－c＋tcos）2+2(tsin)2=2c2 整理得：
(1+sin2)t2－2ccost－c2=0 ③ 设方程③的两根为t3、t4,由韦达定理：
t3＋t4=,t3t4=－，，
=
又故有：即
cos2(1+sin2)2=1整理得：又﹝0，）
sin=0=0或sin2=故得：
或。
综合得：=0或或。
【解析5】⑴椭圆C：的参数方程为：为参数），又设点
是轨迹C′上任意一点，则轨迹C′的参数方程为：
（为参数）消去参数得：把换成x,y，所求轨迹C′的方程为： ①
⑵把方程①表达为函数解析式：，下证函数在
上是增函数，在上是减函数。设x1＞x2＞0，
作差= ②
当＞＞＞0时，则有0＜＜于是得到：0＜＜1故由②式知：
＞0＞
当＞＞时，则有＞于是得到：＞1故由②式知：
＜0＜
故得到函数在上是增函数，在上是减函数。因此在（上有最大值，当且仅当时取到最大值。
要使函数在内取到最大值，则只要＜＜设椭圆半焦距为c，于是有＜＞＜e＜1
即符合题意的离心率的取值范围是。
【解析6】1)函数.又,故为第一象限角,且.
函数图像的一条对称轴方程式是: 得又c为半点焦距， 由知椭圆C的方程可化为（1）
又焦点F的坐标为（），AB所在的直线方程为 （2）
（2）代入（1）展开整理得 （3）
设A（），B（），弦AB的中点N（），则是方程（3）的两个不等的实数根，由韦达定理得 （4）
即为所求。
2）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数使得等式成立。设由1）中各点的坐标可得：

又点在椭圆上，代入（1）式得
化为： （5）
由（2）和（4）式得
又两点在椭圆上，故1有入（5）式化简得：

由得到又是唯一确定的实数，且，故存在角，使成立，则有
若，则存在角使等式成立；若由与于是用代换，同样证得存在角使等式：成立.
综合上述，对于任意一点，总存在角使等式：成立.
【解析7】（1）由抛物线C的方程得，
焦点坐标为
（2）设直线PA的方程
①

②
点 的解
将②式代入①式，得，
于是 ③
④
⑤
又点 的解
将⑤式代入④式，得，
于是 由已知得， ⑥
设点M的坐标为
将③式和⑥式代入上式，得
所以线段PM的中点在y轴上
（3）因为点P在抛物线
由③式知
将代入⑥式得
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
故当即
【解析8】（1）据题意，设椭圆C的方程为 ，
∵直线x=4 为椭圆C的准线， ∴
又， ∴M为椭圆C短轴上的顶点，
∵，
∴，△F1MF2为等边三角形
∴
且，∴椭圆C的方程为
（2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，
∴当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，
则直线PQ的方程为，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得：
则
∴
设4k2+3=t，则t>3，此时

∵
综上，直线PQ与x轴垂直时，△PF1Q的面积最大，且最大面积为3.
设△PF1Q内切圆半径为r，则

∴时，△PF1Q内切圆面积最大，此时不存在，直线PQ与x轴垂直，∴
【解析9】（1）由条件得，所以方程
（2）易知直线l斜率存在，令
由

由

由（1）

将代入有

1.解：（Ⅰ）依题意知直线的方程为： ①……………………2分
直线的方程为： ②…………………………3分
设是直线与交点，①×②得
由　　整理得 4分
∵不与原点重合　∴点不在轨迹M上…………………………5分
∴轨迹M的方程为（）…………………………6分
（Ⅱ）∵点()在轨迹M上　∴解得，即点A的坐标为7分
设，则直线AE方程为：，代入并整理得
…………………………9分
设,, ∵点在轨迹M上，
∴ ③, ④………………………11分
又得，将③、④式中的代换成，可得
，…………………………12分
∴直线EF的斜率…………………………13分
∵
∴
即直线EF的斜率为定值，其值为-…………………………15分
2.解：因为点B与A关于原点对称，所以点 .
设点的坐标为 由题意得化简得 .
故动点的轨迹方程为 ………………6分
（II）若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则.…………8分
因为, 所以 所以
即 ，解得 因为，所以 12分
故存在点S使得与的面积相等，且的坐标为.…13分
3.解：

所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为
方法二： 同方法一得到.

所以满足题意的的直线l存在，斜率k的取值范围为
4.解：（1）
直线与x轴交点即为椭圆的右焦点 ∴c=2
由已知⊿周长为，则4a=，即，所以
故椭圆方程为
（2）椭圆的左焦点为，则直线m的方程可设为
代入椭圆方程得：
设
∵
所以，，即
又 原点O到m的距离，
则
解得
5. 解：（Ⅰ）设圆的半径为，则…3分
∴⊙的方程为 5分
（Ⅱ）设切线方程为 ，易得，解得……8分
∴切线方程………………………10分
（Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，
根据题意可得，∴…………12分
即 （*），
又点在圆上∴，即，代入（*）式得：
………………14分
若系数对应相等，则等式恒成立，∴，
解得，
∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；
点的坐标为时，比值为…………16
6.解：（I）椭圆的顶点为，即，，解得，
椭圆的标准方程为 …………………………………5分
（II）由题可知，直线与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②设存在直线为，且，.
由得， ，，

=
所以，故直线的方程为或……10分
（III）设,
由（II）可得： |MN|=
=．
由消去y，并整理得： ，
|AB|=，∴为定值 ………15分
7.（Ⅰ）由：知（0，1），设 ，因M在抛物线上，故
① 又，则 ②，由①②解得 4分
椭圆的两个焦点（0，1），，点M在椭圆上，椭圆定义可得
[来源:学|科|网Z|X|X|K]

∴又，∴，椭圆的方程为：。 7分
（Ⅱ）设，
由可得：，
即 10分
由可得：，
即 [来源:学|科|网]
⑤×⑦得： ⑥×⑧得： 12分
两式相加得 13分
又点A，B在圆上，且，所以，
即，所以点Q总在定直线上 15分

9.（Ⅰ）解：，
∴椭圆的方程为；…………………………………………………………5分
（Ⅱ）证明：椭圆上任意一点，则点到上顶点的距离为，，
构造二次函数，
其对称轴方程为．
当，即时，，
此时，
而，从而；
当，即时，，
此时；
综上所述椭圆上任意一点到上顶点的距离都小于等于，所以椭圆上的点到上顶点的最大距离．…………………………………………………………………………15分
本卷第22页（共22页）