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函数与导数
（一）函数的概念及其表示
一、知识点
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：函数定义域的就是定义中的集合A，但函数的值域不是定义中的集合B,而是集合B的一个子集。
2．函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
3.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)一个式子如果是幂的形式，且指数为零，那么它的底不可以等于零.
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
4.相同函数的判断方法：①对应关系相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
5．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法 (含绝对值，偶次根式，平方等可直接观察)：如。
（2）直接法（x取有限个值的时候，可把所有函数值算出来）：如y=2x+1,
（3）图像法：（凡是易画出图像的函数，都可用此法）如：（），双钩函数
(4)配方法：（适合于二次型函数）如：，
(5)分离常数法（主要适合于）如
（6）换元法;(适合于含无理根式的函数以及两个常见类型函数的复合函数)如
在换元后要给出新变量的范围。
又如：,可令。
（7）导数法
6.抽象函数的定义域：注：任何函数的定义域是指的x的范围。
①已知 如：，求
令
②已知
如：已知，
只需求出
7．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间 （3）区间的数轴表示．
8．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。
注:函数是特殊的映射，但映射不一定是函数。
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1）代入法:如只需用2x+3替换解析式中的x即可。
2）配凑法：如 方法：只需将

3）待定系数法：（已知函数的类型）如： 设
可设
4）换元法：如 可令，则
5）消元法：（主要适合于以函数方程给出的函数）如：已知
将得到 由（1）（2）联立可求出
6）赋值法：如：=
10.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
11. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法 A描点法： B 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换：左加右减，上加下减（左右平移是针对自变量x而言，上加下减对因变量y而言）
2) 伸缩变换：由得到的图像，只需把图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长（）
或缩短（）为原来的倍; 由得到的图像，只需把图像上所有点的纵坐标
不变，横坐标缩短（）或伸长（）为原来的倍；
3）对称变换：y轴对称：； x轴对称：； 原点对称：
4）翻折变换:①由的图像，只需把x轴下方的图像翻折到x轴上方。
②由，只需把x大于等于0的图像画出来，然后沿y轴翻折到y轴左方。
（二） 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）·；
（2）；
（3）．
注意：满足，则上述等式一定成立，但不满足上述条件，等式未必不成立，是有可能成立的。
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1

定义域 R
定义域 R
值域
值域
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（三）常见公式：
（1）（2）
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制，且；
；（要善于将指数式和对数式互化）
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
u 指数式与对数式的互化
幂值 真数

＝ N＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
注意:在运用运算性质的时候，一定要记住其条件。
（三）换底公式
（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论
推论：（1）；（2）．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1

定义域x＞0
定义域x＞0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）
三．幂函数（本节要求不高）
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸递增；当时，幂函数的图象上凸递增；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．当函数图像越贴近x轴
（4）
四．参数对基本函数图象的影响
（1）；
结论：在第一象限，从小往上看，指数函数的底数a逐渐增大；在第一象限，从左往右看，对数函数的底数a逐渐增大。
（2）指数对幂函数图象的影响
结论:在第一象限，函数递增时，>0,且在第一象限的单位正方形内，从左往右看，指数逐渐增大；在第一象限，函数递减时，<0, 函数图像越贴近x轴，
则
五．基本初等函数的单调性问题
（1）当的单调性相同。当
要先求定义域。
（2）对于函数可用还原法令，不过记得写出新变量的范围。

（三）导数及其应用
3.1.2 导数的概念(要求熟悉)
1.函数在处的导数：函数在处的瞬时变化率称为在处的导数，记作或，即。
3.1.3导数的几何意义（要求掌握）
1.导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率，
即；
2.求切线方程的步骤：（注：已知点在已知曲线上）
①求导函数；②求切线的斜率；③代入直线的点斜式方程：，并整理。
3.求切点坐标的步骤：①设切点坐标；②求导函数；③求切线的斜率；④由斜率间的关系列出关于的方程，解方程求；⑤点在曲线上，将代入求，得切点坐标。
3.2导数的计算（要求掌握）
1. 基本初等函数的导数公式：①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧.
2.导数运算法则：① ；②；
③；④
3.3.1函数的单调性与导数
（1）在区间内，>0,f(x)为单调递增；<0,f(x)为单调递减。
（2）用导数求函数单调区间的三个步骤：①确定函数的定义域；②求函数f(x)的导数；③令解不等式，得x的范围就是递增区间；④令解不等式，得x的范围就是递减区间。
（3）用导数判断或证明函数的单调性的步骤：①求函数f(x)的导数；②判断的符号；③给出单调性结论。
3.3.2函数的极值与导数（要求掌握）
1．极值的定义：若导数在附近左正右负，则在处取得极大值；若左负右正，则取得极小值。
2．求可导函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③求方程f′(x)=0的根；④列表，方程的根将整个定义域分成若干个区间，把在每个区间内的变化情况列在这个表格内；⑤判断，得结论。
3.3.3函数的最大（小）值与导数（要求掌握）
函数在上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数在内的极值；
②将函数的各极值与端点处的函数值、比较，得出函数在上的最值。

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