混凝土中的分形方法研究.pdf

第 3 9卷第 5期 2 0 1 3年 1 O月 四川建筑科学研究 S i c h u a n B u i l d i n g S c i e n c e 2 21 混凝土中的分形方法研究 孙洪泉， 付栋梁 ( 苏州科技学院， 江苏 苏州2 1 5 0 1 1 ) 摘要： 介绍了分形几何学的基本概念和分形维数的测量方法， 对混凝土级配的分形描述、 混凝土孔隙、 裂缝的分 形特征、 混凝土的分形断裂能等作了介绍 ， 并对分形几何学在混凝土材料研究中的应用前景作了展望。 关键词： 分形维数； 分布函数； 混凝土孔隙； 断裂能； 混凝土声发射 中图分类号： T U 5 2 8 文献标志码： A 文章编号： 1 0 0 8 1 9 3 3 ( 2 0 1 3 ) 0 5 2 2 1 0 5 Ap p l i c a t i o n s o f f r a c t a l t h e o r y i n c o n c r e t e S UN Ho n g q u a n FU Do n g l i a n g ( S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e ri n g ， S u z h o u U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y ， S u z h o u 2 1 5 0 1 1 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ： I n t h i s p a p e r ， t h e b a s i c c o n c e p t s o f t h e f r a c t a l g e o me t r y a n d t h e me a s u r e me t h o d s o f t h e f r a c t a l d i me n s i o n a r e i n t r o d u c e d T h e f r a c t a l d e s c rip t i o n o f t h e c o n c r e t e g r a d a t i o n a n d t h e c o n c r e t e p o res ， t h e f r a c t a l c h a r a c t e ris t i c s o f t h e c r a c k s ， a n d t h e f r a c t a l f r a c t u r e e n e r g y of t h e c o n c r e t e a r e p res e n t e d F u r t h e r mo re， t h e印 p h e a t i o n p r o s p e c t s o f t h e f r a c t a l g e o me t r y i n t h e c o n c r e t e ma t e ri a l s a r e d i s c u s s e d Ke y wo r d s： f r a c t a l d i me n s i o n； d i s t rib u t i o n f u n c t i o n； c o n c r e t e p o r e ； f r a c t u r e e n e r gy ； c o n c r e t e a c o u s t i c e mi s s i o n O 引 言 1 分形维数及其计算方法 为了描述 自然界的一些复杂图形和现象 ， 1 9 7 5 年， 美藉波兰裔教授 M a n d e lb r o t 创造了“ f r a c ta l ” 一 词( 即“ 分形” ) ， 并著成了 分形： 形状、 机遇和维 数 一书， 介绍了复杂几何体和复杂现象出现的频 率与分形维数的关系。分形， 即具有分数维数的几 何形体。由于经典的几何形体都是整数维数( 如零 维 的点， 一维 的线 ， 二维 的平 面等) ， 分形几何体所 具有的分数维数称为“ 分形维数”， 用于和一般整数 维的几何体 区分开来。该 书的发表 ， 标志着分形几 何学的产生 。在随后 的 1 9 8 2年 ， 他又发表 了 大 自 然的分形几何 一书， 介绍了自然界大量存在的分 形现象及其背后的成因， 该书更被认为是分形几何 学领域的“ 圣经 ” 。此后 ， 分形几何 学迅速发展 ， 在 诸多领域得到推广和应用。 目 前， 分形几何学在混凝土的研究中已经占有 重要地位。本文将首先介绍一下分形几何的基本概 念， 然后着重论述一下分形几何学在混凝土研究中 的一些应用。 收稿 日期 ： 2 O 1 2 3 1 2 作者简介： 孙洪泉( 1 9 5 4一 ) ， 男 ， 江苏建湖人， 教授 ， 主要从事分形理 论与应用 的教学和研究工作 。 Ema i l ： h q s u n ma i l u s ts e d u c n 1 1 分 形维 数 试想一条一维的直线， 如果将其长度扩大至原 来的3 倍， 则会得到一条大的直线， 其相当于 3 个 原来的直线； 再设想一个二维的正方形， 如果将其边 长扩大至原来的3 倍， 则会得到一个大的正方形， 它 正好相当于 3 个原来 的正方形 ； 一个立方体 ， 如果 将其边长扩大至原来 的 3倍 ， 则会得到一个大的正 方体， 它正好相当于 3 个原来的正方体。换句话 说， 如果一个 d 维几何对象的每个独立方向都扩大 为原来 的 口倍 时， 如果得 到 个原来 图形 的话 ， 则 上述 3个数之间有如下关系 ： o =N， 即有 d=l n ln a 。在欧氏空间中， 维数一般是整数， 称之为拓扑 维。当维数是分数时， 则称之为分维， 又称分形维 数， 记为 ， 从而分维数 D 。 用如下公式表示： D o = l n Nl na。 1 2 分形维数的测量方法 分形维数的测量方法很多， 实际应用较多的是 盒维数法。根据盒子形状的不同， 盒维数法又可分 为网格盒子法和弦长盒子法 。 盒维数法又称数盒子法， 采用如下方法测量分 形维数： 取长为r 的小盒子， 将分形曲线覆盖起来， 有些盒子并未覆盖到分形 曲线上， 所 以这些盒子是 空的。数数多少盒子不是空的， 记下非空盒子数 2 2 2 四川建筑科学研究 第 3 9卷 ( r ) ， 然后改变盒子长度 r， 重新测量盒子数 ( r ) 。 随着盒子长度 r 的减小 ， ( r ) 会逐渐增加。当 r 时， 得到数盒子法定义的盒维数 ： D 0一l i m lIl ， 实际测量中， 一般不可能取到 r = 0 ， 可取一系 列 r 和 ( r ) ， 然后 由双对数坐标 中 l n N( r )一l n r 直 线斜率来求得 D 。 ， 如图 l 所示。 图 1 盒维数计算示意 F i g 1 S c h e ma t i c o f t h e b o x d i me n s i o n 实际应用中， 对于不同的分形体， 盒子的形状也 有所不同 J 。根据盒子形状 的不 同， 盒维数法又可 分为网格盒子法、 弦长盒子法、 线段盒子法和同心圆 盒子法等。 1 )网格盒子法 网格盒子法 是用正方形或 矩形 网格覆 盖分形 体， 正方形边长作为盒子的边长 r i ， 覆盖住分形体的 盒子数目为 ( r i ) ， 其中 = 1 ， 2 ， 3 ， ， 17, 。图2中， r 由大N4 , 变化 ， 分别取为 1 、 1 3 、 1 6 。 夏 磊 菇 “ l 3 1 6 图 2 裂 纹网格盒子 覆盖 法 Fi g 2 Th e b o x c o v e r i n g me t h o d o f t h e c r a c k s 2 )弦长盒子法 图3是一个用弦长测量技术来计算粗糙表面剖 面分形维数的示意图。把岩石粗糙表面按照不同水 平( 厚度) 磨平( 图3( a ) ) ， 然后将岩石的粗糙表 面沿某一个纵截面切开 ， 则岩石的纵截面与磨平 面 的交线形成一系列的弦长线( 图3( b ) ) 。取这些不 同的水平厚度值 h i 为盒维数计算中的 r i ， 对应于 h i 的弦线的长度 2 i 之和设为盒维数计算中的 ( r i ) ， 即 ( r i )=z ik k= l 如果粗糙表面是分形 的， 则弦长与厚度 的关 系 应满足分形分布 。 ( b ) 弦长线 ( c ) 厚度为h i 的磨平面 图 3 弦长盒子 法示意 F i g 3 Th e b o x i n g me t h o d o f c ho r d s 分形维数的其他测量方法还有 ： 改变观察 尺度求维数； 根据测度关系求维数； 根据相关函 数求维数； 根据频谱求维数； 码尺法； 小岛法 等。 2 分形在 混凝土材料性能研究 中的 应 用 混凝土是一种多相复合材料， 其在骨料级配、 孔 隙、 破坏断裂、 损伤描述等方面都具有 明显 的分形特 征。许多学者使用分形几何学对混凝土进行 了大量 研究 ， 主要成果有 以下几个方面的内容。 2 1 混凝土集料的分形描述 粗 、 细集料构成对混凝土物理力学性能的影 响 非常大。细集料一般为砂 ， 粗集料一般 为碎石。分 形在混凝土集料中有不同的体现。首先， 由于集料 本身的不规则性 ， 集料颗粒表面就构成了一种分形 。 其次， 由岩石的破碎规律而导致的骨料粒径分布也 是一种分形。文献 4 对混凝土集料进行了研究； 推导了混凝土骨料的粒径分形函数和骨料的级配分 形 。其 中， 混凝土集料粒径分布函数为 ： F ( r )： rmi nrma x 式 中r 为骨料粒径 ； F ( r ) 为粒径分布 函数 ， 即直径 不大于r 的粒径所 占的比例； D为骨料粒径分形维 数。对于无穷破碎体来讲； r m in 可以近似为零， 从而 2 2 4 四川建筑科学研究 第 3 9卷 后 ， 应力一 应变关系基本不再成立 ， 故此时用 分形维 数来衡量其应力水平显得意义重大。图 5是其 与分维值 D之间关系的示例。 图 5 混凝土应 力水平与分形维数 的关 系 F i g 5 Th e r e l a t i o n s h i p b e t we e n c o n c r e t e s t r e s s l e v e l a n d f r a e t a l d i me n s i o n 文献 8 则通过钢筋混凝土梁的四点弯曲试 验 ， 对弯曲裂纹进行分析后得到结论 ： 梁 的弯曲裂纹 也具有明显的统计分形性质 ， 可 以用分形理论对弯 曲裂纹进行分析。由于混凝土弯曲裂缝形成的本质 是混凝土的受拉开裂 ， 而混凝 土的拉裂与梁钢筋 的 配置有直接的关 系， 故该试验中仅仅 给出所加荷载 与裂纹分形维数之间的关系是不够的， 需要进一步 研究 。 2 3 2 混凝土受拉断裂的断裂能 G 和分形 断裂 能 G l=- 昆 凝土的断裂要消耗一定的能量 。混凝土在拉 应力作用下从裂纹起裂到最终断裂时 ， 混凝土单位 断裂面积所消耗的总能量称为混凝土的断裂 能， 用 G 表示。混凝土的断裂 能受很多 因素 的影 响。试 验表明， 混凝土强度越高， 断裂能不一定越大， 还与 骨料类型有关 。高强混凝 土 由于更易发 生穿晶破 坏， 其断裂能反而降低。骨料最大粒径越大， 分形维 数也将越大， 消耗的能量越多 ， 这说明混凝土的断裂 能表达式中应该加人分形的因素。吴科如通过对试 验数据的拟合 ， 得到考虑水灰 比和分形维数 的断裂 能的表达式 ， 说 明了用分形维数描述混凝土 的断裂 能的可行性。 同时 ， 由于混凝土裂缝 的复杂性 ， G 有 明显 的 尺寸效应， 使得 G 不能正确反映混凝土的耗能能 力。为此， 学者们引入了分形断裂能的概念。分形 断裂能是指延伸每单位分形长度( 或面积) 时所消 耗的能量。C a r p i n t e r i 教授提出了多重分形尺寸效 应律9 ； 我国学者黄海燕等则提出了改进的分形断 裂能公式 1 。 。 ， 并通过试验对二者进行了比较， 发现 上述两公式与试验结果的符合均较好 ， 与改进的分 形断裂能公式相比， 多重分形 尺寸效应率与实际符 合更好一些。但多重分形尺寸效应率公式在 日一 O 时会得 出 G f 的结论 ， 这在物理上是不合理 的； 而改进的分形断裂能公式则可避免出现这种情况。 2 3 3 混凝土剪切 断裂能与分形维数 的关 系 既然混凝土受拉破坏的断裂能与混凝土裂缝 的 分形维数之间有关 系， 那么 昆 凝 土的剪切断裂 能与 分形维数也可能存在一定 的联系。董宇光等人 通过混凝土构件的四点剪切试验， 分析了分形维数 与断裂能之间的关系 ， 发现随着断裂带分形维数的 增加 ， 断裂能逐渐增加 ， 且 近似呈二次关 系； 并且发 现， 随着混凝土断裂分形维数的增加 ， 其断裂韧度也 逐渐增加 ， 这也说明采用分形几何这一工具对混凝 土的断裂能进行描述的可行性。 2 3 4分形理论在混凝土材料声发射研究 中的应 用 当混凝土内部微缺陷在荷载作用下不断发展变 化 ， 导致材料局部损伤破坏的同时， 产生一种弹性波 向周围辐射 ， 这种现象叫作声发射现象 引。大量试 验表明， 昆凝土在整个 断裂过程中都伴有声发 射产 生， 并且在不同的阶段有着不同的声发射特征 引 。 混凝土材料的声发射具有分形特征 。纪洪广等人依 据混凝土声发射的分形特征 ， 确定了混凝土试块在 临界断裂时的分形特征识别模式， 其所建立的分形 特征函数从 自相似 的角度反映 了声发射过 程的性 质， 可用来探讨力学过程与材料内部结构演化之间 的关系 引。声发射特征参数能明显地表达 出断裂 过程中材料 内部结构演化的进程 ， 并且与基本声发 射参数相 比， 特征参数有更好的稳定性和直观性 ， 更 便于应用。临界状态时， 各声发射分形特征参数表 现出一定的异常“ 模式” ， 且不 同参数对这种异常的 反映是一致的。因此， 这种模式可用于材料临界断 裂的识别 。 3展 望 目前 ， 分形几何学在混凝土材料性能研究 中的 应用逐渐增多 ， 特别是在混凝土断裂损伤的描述、 混 凝土的断裂能、 断裂韧度的描述中， 分形几何学以其 特殊的优势得到 了许 多研究者的重视和肯定 ， 并且 也 已出现了一批有重大理论和现实意义的成果。相 信随着时间的推移和研究的深入， 分形几何学在混 凝土材性研究方面会结出更多硕果。分形几何学已 渗透到钢筋混凝 土构件性能的研究方面 ， 特别是钢 筋混凝土受弯构件的裂缝研究。由于钢筋混凝土构 件的开裂实际上是 昆 凝土的抗拉， 但混凝土抗拉的 研究并不多， 且在混凝土构件抗弯计算 中通常忽略 混凝土的抗拉贡献 ， 裂缝的开展受钢筋影响很大 ， 并 且影响裂缝开展的因素非常多， 故分形几何学在这 些方面 尚需作更多研究。相信不远的将来 ， 分形 几 2 O 1 3 N o 5 孙洪泉， 等 ： 混凝土中的分形方法研究 2 2 5 何学在混凝土性能研究中将会应用越来越广泛。 考 文 献 ： 陈颐， 陈凌 分形几何学 M 北京： 地震出版社， 2 0 0 5 孙洪泉 分形几何与分形插值 M 北京： 科学出版社， 2 0 1 1 张济忠 分形 M 北京： 清华大学出版社， 1 9 9 5 李维涛， 孙洪泉， 邢君 混凝土中的分形效应初探 J 水利 与建筑工程学报 ， 2 0 0 4 ， 2 ( 1 ) 唐明 混凝土孔隙分形特征的研究 J 混凝土 ， 2 0 0 o ( 8 ) 段庆全， 刘彩平， 鞠杨， 等 混凝土亚临界裂纹扩展的分形效 应 J 中国矿业大学学报， 2 0 0 6 ， 3 5 ( 1 ) 李维涛， 孙洪泉， 邢君 分形几何理论在混凝土研究中的应 用 J 河北工业大学学报， 2 0 0 3 ， 3 2 ( 6 ) 王倩 ， 姜大鹏 。 李文博， 等 外部荷载作用下混凝土构件表面 裂缝发展的分形特性研究 J 工程建设， 2 0 0 7 ， 3 9 ( 1 2 ) C a r p i n t e r i A， C h i a i a B Mu l t i f r a e t a l n a t u r e o f c o n c r e t e f me m s u r - f a c e s a n d s i z e e ff e c ts o n n o mi n a l f lmc t l l r e e n e r g y J Ma t e r i als a n d S t r u c t u r e s ， 1 9 8 5 ， 2 8 ( 8 )： 4 3 5 - 4 4 3 1 O 黄海燕， 卢红琴， 等 混凝土断裂能的分形尺寸效应模型 J 江苏科技大学学报： 自然科学版， 2 0 1 0 ， 2 4 ( 4 ) 1 1 董宇光。 李慧剑， 郝圣旺 混凝土剪切断裂能与分形维数关系 的研究 J 实验力学， 2 0 0 3 。 1 8 ( 4 ) 1 2 董毓利 混凝士非线性力学基础 M 北京： 中国建筑工业出 版社 ， 1 9 9 7 1 3 纪洪广， 贾立宏， 李造鼎 声发射参数的灰色尖点突变模型及 其在混凝土断裂分析中的应用 J 声学学报， 1 9 9 6 ， 2 1 ( 6 ) ： 9 3 5 - 9 4 0 1 4 郭伟， 秦鸿根 分形理论在混凝土研究中的应用 c 全国 商品混凝土技术与交流大会。 2 0 0 9 1 5 宋世谦， 徐立克， 辛宏玉 分形几何在混凝土研究中的应用及 前景 J 青岛建筑工程学院学报， 2 0 0 5 ， 2 6 ( 2 ) ( 上接第 2 2 0页) 3 结论 就本文研究的C F B C脱硫灰的物理和化学性能 对掺灰试件强度影响分析来看， C F B C脱硫灰里的 主要成分 S i O 2 、 A 1 2 O 3 、 M g O 、 K 2 O 、 N a 2 O等成分对其 活性是有贡献的； 而 C F B C脱硫灰里的 C a O f - C a O 、 烧失量对其活性起负作用； C F B C脱硫灰里的 S O ， 和F e ： O ， 等成分对其活性的影响较小； 无论是平均 粒径还是 4 5 p l n筛余量， 都是随着粒径的增大， 掺 灰试件的强度减少， 即粒度越大， C F B C脱硫灰的活 性越低 ； 比表 面积是对 C F B C脱硫灰的活性是有贡 献的； 随着需水量 比的增加， C F B C脱硫灰的活性逐 渐降低。另外 ， 所有指标与掺灰试件的强度贡献相 关性都较低， 因此可以认为单一的因素并不会明显 影响 C F B C脱硫灰的活性， C F B C脱硫灰掺加到混凝 土里所起的作用是所有因素共同作用的结果。 参 考 文 献 ： 胡刚刚循环流化床锅炉技术发展展望 J 中国电力教育， 2 0 0 6， 2 2 ( S 1 ) ： 1 6 9 1 7 1 L i F e i h u， Z h a l J i a n p i n g ， Fu Xi a o m， e t a 1 C h a r a c t e r i z a t i o n o f F l y A s h e s f r o m C i r c u l a t i n g u i d i z e d B e d C o m b u s fi o n f C F B C )B o i l e r s C o fi r i n g C o a l and P e t r o l e u m C o k e 【 J E n e r g yF u e l s ， 2 0 0 6 ， 2 0 ( 4) ： 1 4 1 l - 1 4 1 7 沈旦申粉煤灰混凝土 M 北京： 中国铁道出版社， 1 9 8 9 张永娟， 张雄 粉煤灰活性影响因子的研究 J 粉煤灰综 合利用， 2 0 o 6 ( 5 ) ： 8 - l 2 Ma rt s O E Re v i e w o f I n te rna t i o n a l S p e c ific a t i o n s f o r Us e o f Fl y As h i n P o r t l a n d C e me n t C o n c r e t e Us e o f Fl y As h， S i 1 i e a F u me， S1 a g and o t h e r Mi n e r a l B y - Pr o d u c t s i n Co n c r e t e，S P- 7 9，ACI ， 1 9 8 3 La in L， Wo n g Y L， P O o h C S De g r e e o f h y d r a t i o n a n d g e ls p a c e r a t i o o f h i g h v o l u m e y a s h c e m e n t s y s t e m s J C e m e n t a n d C o n c r e t e R e s e a r c h ， 2 0 0 0， 3 0 ( 5 ) 1 7 4 7 - 7 5 6 1 J 1 1n n 1 J 1 j 1 -1 J 1 j 参 二 J 1 J 1 J 1j 1J 1 J 1 j n