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高二数学理科作业0626 姓名
1．“”是“”的___ __条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）充分不必要；
2．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是_ ____．
3．函数的单调递减区间是___ __．
4．已知＝-，则的值为 ．
5.已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为 .
6．已知直线x＝a(0＜a＜)与函数和函数的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为___ __．
7．已知，是函数图象上的两个不同点，且在，
两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ．
8．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．

9．在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD=A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点． (1)求异面直线A1E，CF所成的角；
(2)求平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值．

10．将编号为1，2，3, 4的四个小球，分别放入编号为1 ,2,3,4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记为四个小球得分总和． 求：（1)求=2时的概率； (2)求的概率分布及数学期望．

11.已知数列的各项均为正整数，且，，，，．
（1）求，的值；（2）求证：对一切正整数，是完全平方数．

12.已知函数.
（1）当时，曲线在处取得极值，求实数的值；
（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.

12.已知数列的各项均为正整数，且，，，，．
（1）求，的值；
（2）求证：对一切正整数，是完全平方数．
【知识点】递推关系式；数学归纳法；
【答案解析】（1）， （2）略
解析 ：解：（1）由得，，
由得，． …………………………2分
（2），，，
猜想：．下面用数学归纳法证明． ……………………5分
证明：①当时，已证；
②假设当时，成立，
那么，当时，由知，，即，
又由知，，
所以，
所以，
所以，
即当时，命题也成立．
综上可得，对一切正整数，是完全平方数．………………………10分
【思路点拨】（1）把，，代入即可. （2）先猜想：．再用数学归纳法证明
7. 8.
2．“”是“”的 ▲ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）充分不必要；

3．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是_▲ _______．1；
8． 函数的单调递减区间是______▲_______．
11．已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为 ．
【答案】
19． （本小题满分16分）
已知函数（是自然对数的底数）.
（1）当时，曲线在处取得极值，求实数的值；
（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.
解：（1），，由在处取得极值得：=0，
，经检验是的极小值点；
（2）
①当时，在上单调递增，且当时，，
，故不恒成立，所以不合题意 ；……………6分
②当时，对恒成立，所以符合题意；
③当时令，得， 当时，，
当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，
综上：. ………10分
(3)当时，由（2）知，
设，则，
假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………13分
令得：，因为， 所以.
令，则 ，
当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，
所以存在符合条件的，且仅有一个. ………16分

3．将编号为1，2，3, 4的四个小球，分别放入编号为1 ,2,3,4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记为四个小球得分总和． 求：（1)求=2时的概率； (2)求的概率分布及数学期

2．如图，在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）。
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；
（2）试问：直线与直线能否垂直？请说明理由。

由解得取，则，因为，，
，所以
因为，所以是锐角，是直线与平面所成角的余角，
所以直线与平面所成角的正弦值为． …………5分
⑵假设，则，因为，
，所以，
化简，得，因为，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线垂直． …………10分

4．已知是给定的某个正整数，数列满足：，其中．
（I）设，求；
（II）求．
（Ⅰ）由得，
即，；，
，； ………4分
（Ⅱ）由得：，
即，，…，，
以上各式相乘得
∴

，
∴

…………10分
22．（本小题满分10分）
D
O
M
A
B
C
如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, 底面, ,为的中点.
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.

解: 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为建立坐标系，
则,
·········2分
（Ⅰ）设与所成的角为,，
, 与所成角的大小为
·········6分
（Ⅱ），
设平面OCD的法向量为,
则，即 ，
取,解得.
设点B到平面OCD的距离为,则为在向量
上的投影的绝对值,
, ，故点B到平面OCD的距离为·
········10分

22.（10分）如图，在正方体中，.
（1）若，求直线与所成角的正弦值；
（2）若直线，求实数的值.

23.（10分）设为虚数单位，为正整数.
（1）证明：；
（2）结合等式“”证明：