高三数学小题综合限时练（八）.doc

(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A＝{x|x(x－3)＜0}，B＝{x||x－1|＜2}，则“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　∵A＝(0，3)，B＝(－1，3)，∴AB，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.故选A.
答案　A
2.已知f(x)＝则f(f(1－i))＝(　　)
A.2－i B.1
C.3 D.3＋i
解析　∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝1－i2＝2，∴f(f(1－i))＝f(2)＝1＋2＝3，故选C.
答案　C
3.设随机变量ξ～N(2，4)，若P(ξ＞a＋2)＝P(ξ＜2a－3)，则实数a的值为(　　)
A.1 B.
C.5 D.9
解析　∵μ＝2，∴根据正态分布的性质得＝2，解得a＝.故选B.
答案　B
4.设a＝log3，b＝，c＝log2(log2)，则(　　)
A.b＜c＜a B.a＜b＜c
C.c＜a＜b D.a＜c＜b
解析　∵c＝log2＝－1＝log3＞log3＝a，b＞0，
∴b＞c＞a.故选D.
答案　D
5.要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数g(x)＝cos 3x＋sin 3x的图象(　　)
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
解析　依题意知g(x)＝cos cos 3x＋sin sin 3x＝cos，∵cos＝cos，
∴要想得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数g(x)的函数图象向左平移个单位即可.故选B.
答案　B
6.一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是(　　)
A.12＋2
B.14＋2
C.16＋2
D.18＋2

解析　依题意，该几何体是一个直四棱柱，其中底面是一个上底长为1、下底长为2、高为2的梯形，侧棱长为2，因此其表面积等于2××(1＋2)×2＋(1＋2＋2＋)×2＝16＋2.故选C.
答案　C
7.已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，则(　　)
A.＝－－
B.＝－
C.＝－
D.＝－－
解析　∵＝2，∴2＝，∴＝，∴＝－＝－＝(＋)－(－)＝－.故选C.
答案　C
8.已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝2an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前6项和为(　　)
A.63 B.127
C. D.
解析　∵a1＝1，an－1＝2an(n≥2，n∈N*)，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴Sn＝＝2－，即S6＝2－＝.故选C.
答案　C
9.在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　法一　第1次抽到理综题的条件下，依次抽取2道题，共有CC＝15种抽法，其中第2次抽取文综题的情况共有CC＝9种，因此，所求概率P＝＝.故选D.
法二　第一次抽到理综题的概率P(A)＝＝，第一次抽到理综题和第二次抽到文综题的概率P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.故选D.
答案　D
10.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　记抛物线y2＝2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，AC⊥BB1，垂足分别是A1、B1、C，则有cos∠ABB1＝＝＝，
∴cos 60°＝＝，由此得＝.故选A.
答案　A
11.已知实数x、y满足直线(2＋λ)x－(3＋λ)y＋(1－2λ)＝0(λ∈R)过定点A(x0，y0)，则z＝的取值范围为(　　)
A. B.
C.∩[7，＋∞) D.∩[5，＋∞)
解析　依题意知，直线(2＋λ)x－(3＋λ)y＋(1－2λ)＝0(λ∈R)可以转化为2x－3y＋1＋λ(x－y－2)＝0，联立
解得∴z＝，作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，点B，点C(6，0)，点D(0，4)，观察可知z＝表示阴影区域内的点与A(7，5)两点连线的斜率，∴kAD≤z＝≤kAC，即≤z＝≤5.∴z＝的取值范围为.故选B.
答案　B
12.已知函数f(x)＝2ax3＋3，g(x)＝3x2＋2，若关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一解x0，且x0∈(0，＋∞)，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
解析　依题意得，2ax3＋3＝3x2＋2，即2ax3－3x2＋1＝0(*).若a＝0，则(*)式化为－3x2＋1＝0，该方程有两解，不合题意，舍去；若a＞0，令h(x)＝2ax3－3x2＋1，则h′(x)＝6ax，可知函数h(x)在上单调递减，在(－∞，0)和上单调递增，∴极大值为h(0)＝1，结合函数图象可知，h(x)还存在一个小于0的零点，不合题意，舍去；若a＜0，则函数h(x)在上单调递增，在和(0，＋∞)上单调递减，要使零点唯一，则h＞0，即2a－3＋1＞0，∵a＜0，解得a＜－1.故选A.
答案　A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.在△ABC中，AB＝1，AC＝3，B＝60°，则cos C＝______.
解析　∵AC＞AB，∴C＜B＝60°，又由正弦定理得＝，
∴sin C＝sin 60°＝，∴cos C＝.
答案　
14.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为
________.

解析　由程序框图可知，第一次执行循环结构：n＝0＋2，x＝2×t，a＝2－1；
∵n＝2＜4，∴继续执行循环结构.第二次执行循环结构：n＝2＋2，x＝2×2t，a＝4－1；∵n＝4＝4，∴继续执行循环结构.第三次执行循环结构：n＝4＋2，x＝2×4t，a＝6－3；∵n＝6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t.由于结束时输出的结果不小于3，∴38t≥3，即8t≥1，解得t≥.
答案　
15.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平分圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的周长，此双曲线的离心率等于________.
解析　依题意得，双曲线的渐近线过圆心(1，2)，于是有＝2，∴双曲线的离心率为＝.
答案　
16.已知函数f(x)＝x3－3a2x－6a2＋3a(a＞0)有且仅有一个零点x0，若x0＞0，则a的取值范围是________.
解析　已知f(x)＝x3－3a2x－6a2＋3a(a＞0)，
则f′(x)＝3x2－3a2，
①若f′(x)≥0恒成立，则a＝0，这与a＞0矛盾.
②若f′(x)≤0恒成立，显然不可能.
③若f′(x)＝0有两个根a，－a，而a＞0，则f(x)在区间(－∞，－a)上单调递增，在区间(－a，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增.故f(－a)＜0，即2a2－6a＋3＜0，解得＜a＜.
答案