南京大学强化班数学.doc

2012南京大学强化班入学测试
数学
一、 填空题（7ˊ×10）
1、关于x的方程2|x|=4sinx的根的个数为 。
2、关于x的不等式＞2 的解集为 。
3、f（x）= （|x|≤1）的值域为 。
4、若sinα+2cosβ=2，则2sinα+cosβ的取值范围是 。
5、三角形ABC中，tanAtanB=,= 。
6、若复数|Z|≤，则|3Z+2+2i|的最小值为 ，最大值为 。
7、三角形ABC中，AB=3，AC=2，=4,，E,F分别为AB，AC的中点，则= 。
8、抛物线y2=4x上任意两点A，B，坐标原点为O，有OA⊥OB，作OP⊥AB，交AB于P点，则P点轨迹方程为 。
9、有一四面体，三条棱长为1，另三条棱长为2，则其体积为
。
10、1,2,3,4,5五个数进行排列，1必须在2前面，4必须在5前面，则共有 种排列方法。
二、解答题（20ˊ×4）
11、a，b，c∈R+，ab+bc+ac≤3abc，试求证a+b+c≤a3+b3+c3。
12、（一道平常做过的数列题，用数学归纳法证的，an=n2）
13、正四面体A-BCD棱长为1，E为AB中点，J在AD上且AJ= AD，求异面直线AC与EJ夹角的余弦值。
14、三角形ABC中，AB=4，BC=3，AC=，若有一点D∈线段AB，
（1）证明：总存在一点O∈线段CB或其延长线上，使以O为圆心，|OD|为半径的圆与AC相切，并说明D点的不同位置下对应的圆的个数。
（2）求|OC|的取值范围。（若有多个圆，取其半径小的）