南京期初数学.doc

南京市高三数学试卷　第页(共6页)南京市2012届高三年级学情调研卷
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2011．09
参考公式：
椎体的体积公式为V＝Sh，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 命题“x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定是____________．
2. 已知直线l经过点P(2,1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是____________．
3. 设复数z满足(z－1)i＝－1＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模是____________．
4. 某工厂生产某种产品5 000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的件数之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了____________件产品．

5. 有四条线段，其长度分别为2,3,4,5，现从中任取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是____________．
6. 阅读右面的流程图．若输入x的值为8，则输出y的值是__________．

开始

输入x

x≤0
y←log2x

输出y
结束
y←2x
N
Y
（第6题图）

7. 设函数f(x)＝的定义域为集合A，则集合A∩Z中元素的个数是____________．
8. 已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x，则f(－4)的值是____________．
9. △ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足csinA＝acosC，则角C＝____________.
10. 在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝____________.
11. 已知a，b均为单位向量．若|a＋2b|＝，则向量a，b的夹角等于____________．
12. 如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是____________．

(第12题)
13. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A，过A作l的垂线，垂足为A1，则△AA1F的面积是____________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋－x－有四个公共点，则实数k的取值范围是____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x.
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．

16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，点D、E分别在边BC、B1C1上，CD＝B1E＝AC，∠ACD＝60°.求证：

(1) BE∥平面AC1D；
(2) 平面ADC1⊥平面BCC1B1.
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

18. (本小题满分16分)
经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)的关系近似地满足u＝除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．
(1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；
(2) 卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋alnx(a为常数)．
(1) 当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；
(2) 当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．
20. (本小题满分16分)
设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S3＝9，S6＝36.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 是否存在正整数m、k，使am，am＋5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；
(3) 设数列{bn}的通项公式为bn＝3n－2.集合A＝{x|x＝an，n∈N*}，B＝{x|x＝bn，n∈N*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，求{cn}的通项公式.
南京市高三数学附加题试卷　第页(共2页)南京市2012届高三年级学情调研卷
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－1：几何证明选讲
如图，AB为圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.

B. 选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A＝.在平面直角坐标系中，设直线l：2x＋y－7＝0在矩阵A对应的变换作用下得到另一直线l′：9x＋y－91＝0，求实数m、n的值．

C. 选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l：ρcos＝，圆C：ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．

D. 选修4－5：不等式选讲
解不等式：|2x－1|＋3x＞1.

【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共7个，其中白球个数不少于红球个数．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为随机变量X.若P(X＝2)＝.
(1) 求口袋中的白球个数；
(2) 求X的概率分布与数学期望．

23.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AB，CC1，D1A1的中点．
(1) 求证：B1D⊥平面PQR；
(2) 设二面角B1—PR—Q的大小为θ，求|cosθ|.

南京市高三数学参考答案　第页(共4页)南京市2012届高三年级学情调研卷
数学参考答案及评分标准

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. x∈R，x2－2x＋1＞0　2. 3x－2y－4＝0　3. 　4. 2 000　5. 　6. 3　7. 5　8. －2
9. 　10. 　11. 　12. 　13. 4　14.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．
15. 解：(1) 因为f(x)＝sin2x＋1－2sin2x－1
＝sin2x＋cos2x－1(4分)
＝2sin－1，(6分)
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.(8分)
(2) 因为x∈，所以2x＋∈.(10分)
于是，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.(14分)
16. 证明：(1) 由三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，得BC∥B1C1，BC＝B1C1.
因为点D、E分别在边BC、B1C1上，CD＝B1E，
所以BD＝C1E，BD∥C1E.
所以四边形BDC1E是平行四边形．
所以BE∥C1D.(4分)
因为C1D平面AC1D，BE平面AC1D，
所以BE∥平面AC1D.(6分)
(2) 由三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，得CC1⊥平面ABC.
因为AD平面ABC，所以AD⊥CC1.(8分)
在△ACD中，由CD＝AC，∠ACD＝60°，
得AD＝＝AC.
所以AD2＋CD2＝AC2.
所以∠ADC＝90°，即AD⊥BC.(10分)
因为BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AD⊥平面BCC1B1.(12分)
因为AD平面ADC1，
所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.(14分)
17. 解：(1) 由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则解得a＝2，c＝2.(4分)
从而b2＝a2－c2＝4.
所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1.(6分)
(2) (方法一)由(1)知F(2,0)．由题意可设P(4，t)，t＞0.
线段OF的垂直平分线方程为x＝1.　①
因为线段FP的中点为，斜率为，
所以FP的垂直平分线方程为y－＝－(x－3)，
即y＝－x＋＋.　②
联立①②，解得即圆心M.(10分)
因为t＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，
圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M(1,2)，半径为OM＝3.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9.(14分)
(方法二)由(1)知F(2,0)．由题意可设P(4，t)，t＞0.
因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.
将点F、P的坐标代入得
解得
所以圆心M的坐标为，即.(10分)
因为t＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，
圆心M到x轴的距离最小，此时E＝－4.
故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－4y＝0.(14分)
18. 解：(1) 由题意，当0＜v≤50时，
y＝7.5×u＋300×＝30×＋300×
＝＋690；(4分)
当v＞50时，
y＝7.5×u＋300×＝30×＋300×
＝＋＋600.
所以y＝(8分)
(2) 当0＜v≤50时，y＝＋690是单调减函数，
故v＝50时，y取得最小值ymin＝＋690＝3 150；(10分)
当v＞50时，y＝＋＋600(v＞50)．
由y′＝－＝＝0得v＝100.(12分)
当50＜v＜100时，y′＜0，函数y＝＋＋600单调递减；
当v＞100时，y′＞0，函数y＝＋＋600单调递增．
所以当v＝100时，y取得最小值ymin＝＋＋600＝2 400.(14分)
由于3 150＞2 400，所以当v＝100时，y取得最小值．
答：当卡车以100 km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)
19. 解：(1) 当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－lnx，所以f′(x)＝2x＋1－.(2分)
所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.
所以曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.(4分)
(2) 由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋
＝＝(x＞0)．
由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a.(7分)
① 当0＜a＜时，由f′(x)＞0，结合x＞0，得0＜x＜a，或＜x＜1；
由f′(x)＜0，结合x＞0，得a＜x＜.
所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是.(10分)
② 当a＝时，f′(x)＝≥0，且仅当x＝时，f′(x)＝0，
所以函数f(x)在区间(0,1)上为增函数．(12分)
③ 当＜a＜1时，由f′(x)＞0，结合x＞0，得0＜x＜，或a＜x＜1；
由f′(x)＜0，结合x＞0，得＜x＜a.
所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是.(14分)
④ 当a≥1时，由f′(x)＞0，结合x＞0，得0＜x＜；由f′(x)＜0，得＜x＜1.
所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(16分)
20. 解：(1) 设等差数列{an}的公差是d，
由S3＝9和S6＝36，得
解得a1＝1，d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
即数列{an}的通项公式是an＝2n－1(n∈N*)．(3分)
(2) am，am＋5，ak成等比数列等价于(2m－1)(2k－1)＝(2m＋9)2，
等价于2k－1＝＝＝2m－1＋20＋.
即k＝m＋10＋，m、k是正整数．(7分)
所以存在正整数m、k，使am，am＋5，ak成等比数列．
m和k的值是m＝1，k＝61；或m＝3，k＝23；或m＝13，k＝25.(9分)
(3) 因为a3k－2＝2(3k－2)－1＝6k－5，a3k－1＝2(3k－1)－1＝6k－3，
a3k＝2×3k－1＝6k－1；b2k－1＝3(2k－1)－2＝6k－5＝a3k－2，
b2k＝3×2k－2＝6k－2A，(12分)
所以a3k－2＝b2k－1＜a3k－1＜b2k＜a3k，k＝1,2,3，…，(14分)
即当n＝4k－3(k∈N*)时，cn＝6k－5；当n＝4k－2(k∈N*)时，cn＝6k－3；
当n＝4k－1(k∈N*)时，cn＝6k－2；当n＝4k(k∈N*)时，cn＝6k－1.
所以{cn}的通项公式是cn＝(k∈N*)，
即cn＝(16分)
南京市高三数学附加题参考答案　第页(共2页)南京市2012届高三年级学情调研卷
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 选修4－1：几何证明选讲

证明： 连结OD.
因为DC是圆O的切线，所以OD⊥DC.(3分)
因为DA＝DC，记∠A＝α，则∠C＝∠A＝α.
又∠DOC＝∠OAD＋∠ODA＝2∠OAD＝2α.
在△ODC中，∠DOC＋∠DCO＝3α＝90°，
所以α＝30°.(7分)
所以OC＝2OD.又OB＝OD，
所以BC＝OB.所以AB＝2BC.(10分)
B. 选修4－2：矩阵与变换
解：设(x0，y0)是直线l上任一点，点(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下变为(x′，y′)，则＝＝，
所以(4分)
因为点(x′，y′)在直线l′：9x＋y－91＝0上，所以9x′＋y′－91＝0.
代入得9mx0＋(－x0＋ny0)－91＝0，即(9m－1)x0＋ny0－91＝0.
因为点(x0，y0)在直线l：2x＋y－7＝0上，所以2x0＋y0－7＝0，
所以(9m－1)x＋ny－91＝0与2x＋y－7＝0表示同一直线，
所以＝＝，解得m＝3，n＝13.(10分)
C. 选修4－4：坐标系与参数方程
解：直线l的极坐标方程可化为ρcosθ－ρsinθ＝3，
化为直角坐标方程为x－y－3＝0.(3分)
圆C: ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.(6分)
因为圆心C(2,0)到直线l的距离d＝，
所以弦长为2＝.(10分)
D. 选修4－5：不等式选讲
解：不等式|2x－1|＋3x＞1同解于或(5分)
同解于或
即x≥或0＜x＜.
所以不等式解集为{x|x＞0}．(10分)
22. 解：(1) 设口袋中白球数为n，
则由P(X＝2)＝，得＝.(3分)
即n(7－n)＝12，解得n＝4或3.
因为白球数不少于红球数，故白球个数为4.(5分)
(2) 因为P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为

X
1
2
2
4
P

(8分)
E(X)＝1·＋2·＋3·＋4·＝＝1.6，即X的数学期望是1.6.(10分)
23. 解：(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，以点A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由于棱长为2，所以P(1,0,0)，Q(2,2,1)，
R(0,1,2)，D(0,2,0)，B1(2,0,2)．

所以＝(－1,1,2)，＝(1,2,1)，
＝(－2,2，－2)．(2分)
因为·＝2＋2－4＝0，
·＝－2＋4－2＝0，
所以⊥，⊥.
即B1D⊥PR，B1D⊥PQ.
又PR∩PQ＝P，且PR，PQ面PQR，所以B1D⊥平面PQR.(4分)
(2) 由(1)知，是平面PQR的一个法向量．
设n＝(x，y，z)是面B1PR的一个法向量，因为＝(－1,0，－2)，
则由得
取z＝1，则x＝－2，y＝－4，
即面PQR的一个法向量n＝(－2，－4,1)．(7分)
所以cos〈n，〉＝＝＝－.
所以|cosθ|＝.(10分)