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从数学美看合情推理的评价功能
陆正美基金项目：①教育部人文社会科学研究规划基金"数学教师基于教学的学科知识水平发展研究”(13YJA880043)；
②江苏省教育科学“十二五”规划项目“基于概念图的数学研究性教学策略研究”（D/2011/01/086）

（江苏省如东县掘港高级中学 226400）

义务教育数学课程标准十分重视学生合情推理能力的培养，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“在观察、实验、猜想、验证等活动中发展合情推理能力”（第二学段），“在多种形式的数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力”（第三学段）。 [1]义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社.2012，06.105.

关于合情推理的涵义，众说纷纭，陈水平研究认为，考察合情推理的内涵可以从以下三个方面来进行：一是从逻辑学的角度出发来进行；二是从数学方法论角度出发来研究；三是从数学教育角度来考察。[2]陈水平.合情推理在数学学习建构中的作用[J].数学教育学报.1998,08.10.
本文倾向于把合情推理归入科学方法范畴，并采用外延式的定义，认为合情推理是由归纳、类比、观察、实验、联想、猜测、直觉、数学美等一系列科学发现的手段、方法所构成方法的总称。
关于合情推理的功能，很多学者都进行过非常深入的研究。研究结果可以归结为三个方面：其一，合情推理具有探索发现功能；其二，合情推理具有选择功能；其三，合情推理具有评价功能。[3]张燕华.论合情推理在发展学生论证推理中的作用[J].数学教学通讯（中等教育）.2013,02.
本文将着重从数学美角度来探讨合情推理的评价功能。
为什么要从数学美角度来谈合情推理的评价功能呢？究其缘由，一是数学美本身就是一种合情推理方法，而且是一种十分重要的合情推理方法；二是数学美的评价功能目前还很少有人关注。因此，从数学美这一视角来探讨合情推理的评价功能不仅具有一定的新颖性，而且可以唤起人们对数学美的关注。
1． 数学美的内涵
关于数学美的内涵有多种不同说法，徐本顺和殷启正在《数学中的美学方法》一书中指出，数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。钟志华教授认为，数学美是数学内部各部分之间以及数学与自然（其它学科）及人的认识之间和谐程度的反映。[4]钟志华.模式观与数学方法论[M].北京：化学工业出版社.2010,12.
[5]宁连华，张逸洁.基于数学美的数学文化传播研究[J].数学之友，2011，（24）：1-3.
这两种说法虽然表面上看大相径庭 ，但仔细分析却发现，其实两者都揭示了数学美的一个共同本质，那就是数学美反映了人对数学与人、自然以及其它学科之间所存在的合理关系的一种认识。因此，从这种意义上说，数学美就是一种特殊的合情推理。
2． 数学美的评价功能
2.1 数学美是评价数学理论和数学语言的重要准则
数学发展历史表明，数学美学原则应该是理论选择的重要依据，如果某一数学理论或数学语言符合数学美的一系列标准，那么这个理论和语言系统就具更大的生命力，它就能得到流传和发展，否则就会被遗弃和淘汰。一般来说，统一性和简单性是评价数学理论的两个重要美学标准。如果能够从某个学科领域找到最少量的原始概念和原始命题，并且由此出发，可以用逻辑演绎的方法导出这一学科的一切概念和一切命题，那么这些原始概念和原始命题，对于这门学科来说，就是数学家寻求这门学科统一的基础，也是数学家所追求的境界。再比如，牛顿与莱布尼茨同时发明了微积分，并用不同的符号体系来表述微积分，但最终牛顿的符号体系被淘汰了，而莱布尼茨的符号体系则沿用至今，究其根源就是因为莱布尼茨的符号体系更符合数学美这一准则。
2.2数学美是评价解题方法和结果的重要标准
数学美可以评价解题方法的优劣程度。
例1：已知：

，
求+++的值。
分析：本题最容易想到的方法是采用换元法将、、、分别看作四个未知数、、、，然后再解关于、、、的四元一次方程组，这种方法虽然很容易想到，但解题过程却非常复杂。而有的人却从四个方程井然有序、充满美感的形式下，想到立足于这四个方程组成的整体，把、、、看作常量，而把、、、这四个数看成是关于ｔ的方程：的四个根。然后再对这个方程去分母并整理成：
-(+++++++) +…=0，
由四次方程的韦达定理得：
+++++++=+++，
即+++=8+7+6+5+4+3+2+1=36，
从以上两种解题方法的对比中可以发现，前者繁琐、凌乱、机械，后者简洁、整齐、优美，谁优谁劣，一目了然。
另一方面，数学美可以评价解题结果是否合理。
例2：给定双曲线，过点（1,1）能否作直线，使与所给双曲线交于，两点，且B是线段的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在说明理由。
分析：假定满足题设条件的直线存在，则可设m的斜率为（即的斜率存在，若不然，的方程为，与双曲线只有一个交点，这与已知有两个交点，矛盾），则直线的方程为，由于B为的中点，
可设 ，
于是由点，在双曲线上知

两式相减解得，即直线的方程为，下面再检验这个结论是否正确，将其代入双曲线方程中化简得。
因为，故该方程无实数解，这与和双曲线交于两点，矛盾，因此满足题设的直线不存在。
评注：本题的解法另辟蹊径，采用反向思维的方法，先假设满足题目条件的对象存在，并据此推理得到某个结论，再由题目条件与已知的知识检验这个结论，相符则说明所求对象存在，相悖则不存在。这种方法充分体现了数学的奇异美，是奇异美在解题结论合理性判断过程中的巧妙运用。
总而言之，数学美作为一种重要的合情推理形式，无论在数学发现还是数学学习中都具有独到的评价功能，正确认识数学美的评价功能不仅可以促进数学更好地向前发展，而且可以促进学习者数学认知结构的优化和数学素养的提升。同时需要指出的是，合情推理不是独立存在的，不能把推测当作证明，把猜想当作一般的结论，而应该将合情推理和演绎推理有机结合起来，使合情推理和演绎推理相得益彰，只有这样才能更好地发挥合情推理的应有功能。
参考文献：
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