泰州数学小一模.doc

2015届高三模拟考试试卷(七)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2015．2
参考公式：
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，＝(x1＋x2＋…＋xn)．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝____________．

(第5题)
2. 函数f(x)＝sin的最小正周期为____________．
3. 复数z满足iz＝3＋4i(i是虚数单位)，则z＝______________．
4. 函数f(x)＝的定义域为______________．
5. 执行如右图所示的流程图，则输出的n为____________．
6. 若数据2，x，2，2的方差为0，则x＝____________．
7. 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为____________．
8. 在等比数列{an}中，a1＋32a6＝0，a3a4a5＝1，则数列的前6项和为____________．
9. 已知函数f(x)＝是奇函数，则sinα＝____________．
10. 双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e＝____________．
11. 若α、β是两个相交平面，则下列命题中真命题是________．(填序号)
① 若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；
② 若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；
③ 若直线mα，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；
④ 若直线mα，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
12. 已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为______________．
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠B＝∠C且7a2＋b2＋c2＝4，则△ABC面积的最大值为__________．
14. 在梯形ABCD中，＝2，||＝6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足＋＋4＝0，·＝||·||，Q为边AD上的一个动点，则||的最小值为____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4)．
(1) 求sin的值；
(2) 若P关于x轴的对称点为Q，求·的值．

16、(本小题满分14分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．求证：
(1) 直线OG∥平面EFCD；
(2) 直线AC⊥平面ODE.

17. (本小题满分14分)
如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2 km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1 km.设四边形ABCD的周长为c km.
(1) 若C、D分别为QR、PR的中点，求AB的长；
(2) 求周长c的最大值．

18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ＝2.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．

19. (本小题满分16分)
数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn＝an－2an＋1，cn＝an＋1＋2an＋2－2，n∈N*.
(1) 若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；
(2) 若数列{bn}，{cn}都是等差数列，求证：数列{an}从第二项起为等差数列；
(3) 若数列{bn}是等差数列，试判断当b1＋a3＝0时，数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝ax＋b.
(1) 若函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2) 若直线g(x)＝ax＋b是函数f(x)＝lnx－图象的切线，求a＋b的最小值；
(3) 当b＝0时，若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：x1x2＞2e2.(取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4)

2015届高三模拟考试试卷(七)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC.求证：∠DEB＝∠DCE.

B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB－1对应的变换把直线l变为直线l′：x＋y－2＝0，求直线l的方程．

C. (选修44：坐标系与参数方程)
已知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为(α为参数)．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－cosθ)＝1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．
D. (选修45：不等式选讲)
已知正实数a，b，c满足a＋b＋c＝3，求证：＋＋≥3.

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，DA＝DC＝2，DD′＝1，A′C′与B′D′相交于点O′，点P在线段BD上(点P与点B不重合)．
(1) 若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为，求DP的长度；
(2) 若DP＝，求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值．

记C为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C≤i2的二元数组(r，i)中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C(r＝0，1，2，…，i)都等可能出现．求Eξ.
2015届高三模拟考试试卷(七)(泰州)
数学参考答案及评分标准

1. {3，4}　2. 　3. 4－3i　4. [2，＋∞)　5. 4　6. 2　7. 　8. －　9. －1　10. 　11. ②④　12. 　13. 　14.
15. 解：(1) ∵ 角α的终边经过点P(3，4)，∴ sinα＝，cosα＝，(4分)
∴ sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.(7分)
(2) ∵ P(3，4)关于x轴的对称点为Q，∴ Q(3，－4)．(9分)
∴ ＝(3，4)，＝(3，－4)，∴ ·＝3×3＋4×(－4)＝－7.(14分)
16. 证明：(1) ∵ 四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴ 点O是BD的中点．
∵ 点G为BC的中点，∴ OG∥CD.(3分)
∵ OG平面EFCD，CD平面EFCD，∴ 直线OG∥平面EFCD.(7分)
(2) ∵ BF＝CF，点G为BC的中点，∴ FG⊥BC.
∵ 平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，FG平面BCF，FG⊥BC，
∴ FG⊥平面ABCD.(9分)
∵ AC平面ABCD，∴ FG⊥AC.
∵ OG∥AB，OG＝AB，EF∥AB，EF＝AB，∴ OG∥EF，OG＝EF，
∴ 四边形EFGO为平行四边形，∴ FG∥EO.(11分)
∵ FG⊥AC，FG∥EO，∴ AC⊥EO.
∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DO.
∵ AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，
∴ AC⊥平面ODE.(14分)
17. (1) 解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，

∵ C、D分别为QR、PR的中点，PQ＝2，∴ CD＝PQ＝1.
∵ △PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，
∴ RO＝PQ＝1，NO＝RO＝.
∵ MN＝1，∴ MO＝.(3分)
在Rt△BMO中，BO＝1，∴ BM＝＝，
∴ AB＝2BM＝.(6分)
(2) (解法1)设∠BOM＝θ，0＜θ＜.
在Rt△BMO中，BO＝1，∴ BM＝sinθ，OM＝cosθ.
∵ MN＝1，∴ CN＝RN＝1－ON＝OM＝cosθ，
∴ BC＝AD＝，(8分)
∴ c＝AB＋CD＋BC＋AD＝2[sinθ＋cosθ＋](10分)
≤2＝2，
∴ 当θ＝或θ＝时，周长c的最大值为2 km.(14分)
(解法2)以O为原点，PQ为y轴建立平面直角坐标系．
设B(m，n)，m，n＞0，m2＋n2＝1，C(m－1，m)，
∴ AB＝2n，CD＝2m，BC＝AD＝.(8分)
∴ c＝AB＋CD＋BC＋AD＝2[m＋n＋](10分)
≤2＝2
，
∴ 当m＝，n＝或m＝，n＝时，周长c的最大值为2 km.(14分)
18. 解：(1) 设P，
∵ 直线PQ斜率为时，PQ＝2，∴ x＋＝3，∴ x＝2.(3分)
∴ ＋＝1.∵ e＝＝＝，∴ a2＝4，b2＝2.
∴ 椭圆C的标准方程为＋＝1.(6分)
(2) 以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，且＋＝1，即x＋2y＝4.
∵ A(－2，0)，∴ 直线PA的方程为y＝(x＋2)，∴ M.
直线QA的方程为y＝(x＋2)，∴ N.(9分)
以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋＝0，
即x2＋y2－y＋＝0.(12分)
∵ x－4＝－2y，∴ x2＋y2＋y－2＝0.
令y＝0，x2＋y2－2＝0，解得x＝±，
∴ 以MN为直径的圆过定点F(±，0)．(16分)
19. 证明：(1) 设数列{an}的公差为d，
∵ bn＝an－2an＋1，
∴ bn＋1－bn＝(an＋1－2an＋2)－(an－2an＋1)＝(an＋1－an)－2(an＋2－an＋1)＝d－2d＝－d，
∴ 数列{bn}是公差为－d的等差数列．(4分)
(2) 当n≥2时，cn－1＝an＋2an＋1－2，
∵ bn＝an－2an＋1，∴ an＝＋1，∴ an＋1＝＋1，
∴ an＋1－an＝－＝＋.
∵ 数列{bn}，{cn}都是等差数列，∴ ＋为常数，
∴ 数列{an}从第二项起为等差数列．(10分)
(3) 数列{an}成等差数列．证明如下：
(证法1)设数列{bn}的公差为d′，
∵ bn＝an－2an＋1，
∴ 2nbn＝2nan－2n＋1an＋1，∴ 2n－1bn－1＝2n－1an－1－2nan，…，2b1＝2a1－22a2，
∴ 2nbn＋2n－1bn－1＋…＋2b1＝2a1－2n＋1an＋1，
设Tn＝2b1＋22b2＋…＋2n－1bn－1＋2nbn，∴ 2Tn＝22b1＋…＋2nbn－1＋2n＋1bn，
两式相减得：－Tn＝2b1＋(22＋…＋2n－1＋2n)d′－2n＋1bn，
即Tn＝－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn，∴ －2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn＝2a1－2n＋1an＋1，
∴ 2n＋1an＋1＝2a1＋2b1＋4(2n－1－1)d′－2n＋1bn＝2a1＋2b1－4d′－2n＋1(bn－d′)，
∴ an＋1＝－(bn－d′)．(12分)
令n＝2，得a3＝－(b2－d′)＝－b1，
∵ b1＋a3＝0，∴ ＝b1＋a3＝0，∴ 2a1＋2b1－4d′＝0，
∴ an＋1＝－(bn－d′)，∴ an＋2－an＋1＝－(bn＋1－d′)＋(bn－d′)＝－d′，
∴ 数列{an}(n≥2)是公差为－d′的等差数列．(14分)
∵ bn＝an－2an＋1，令n＝1，a1－2a2＝－a3，即a1－2a2＋a3＝0，
∴ 数列{an}是公差为－d′的等差数列．(16分)
(证法2)∵ bn＝an－2an＋1，b1＋a3＝0，
令n＝1，a1－2a2＝－a3，即a1－2a2＋a3＝0，(12分)
∴ bn＋1＝an＋1－2an＋2，bn＋2＝an＋2－2an＋3，
∴ 2bn＋1－bn－bn＋2＝(2an＋1－an－an＋2)－2(2an＋2－an＋1－an＋3)．
∵ 数列{bn}是等差数列，∴ 2bn＋1－bn－bn＋2＝0，
∴ 2an＋1－an－an＋2＝2(2an＋2－an＋1－an＋3)．(14分)
∵ a1－2a2＋a3＝0，∴ 2an＋1－an－an＋2＝0，
∴ 数列{an}是等差数列．(16分)
20. (1) 解：h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－－ax－b，则h′(x)＝＋－a，
∵ h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴ 对x＞0，都有h′(x)＝＋－a≥0，
即对x＞0，都有a≤＋.
∵ ＋＞0，∴ a≤0，故实数a的取值范围是(－∞，0]．(4分)
(2) 解：设切点，则切线方程为y－＝(x－x0)，
即y＝x－x0＋，亦即y＝x＋，
令＝t＞0，由题意得a＝＋＝t＋t2，b＝lnx0－－1＝－lnt－2t－1，(7分)
令a＋b＝φ(t)＝－lnt＋t2－t－1，则φ′(t)＝－＋2t－1＝，
当t∈(0，1)时，φ′(t)＜0，φ(t)在(0，1)上单调递减；
当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)＞0，φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，
∴ a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，故a＋b的最小值为－1.(10分)
(3) 证明：由题意知lnx1－＝ax1，lnx2－＝ax2，
两式相加得ln(x1x2)－＝a(x1＋x2)，两式相减得ln－＝a(x2－x1)，
即＋＝a，∴ ln(x1x2)－＝(x1＋x2)，
即ln(x1x2)－＝ln.(12分)
不妨令0＜x1＜x2，记t＝＞1，令F(t)＝lnt－(t＞1)，则F′(t)＝＞0，
∴ F(t)＝lnt－在(1，＋∞)上单调递增，则F(t)＝lnt－＞F(1)＝0，
∴ lnt＞，则ln＞，∴ ln(x1x2)－＝ln＞2.
又ln(x1x2)－＜ln(x1x2)－＝ln(x1x2)－＝2ln－，
∴ 2ln－＞2，即ln－＞1.
令G(x)＝lnx－，则x＞0时，G′(x)＝＋＞0，∴ G(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又lne－＝ln2＋1－≈0.85＜1，
∴ G()＝ln－＞1＞lne－，则＞e，即x1x2＞2e2.(16分)
2015届高三模拟考试试卷(七)(泰州)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 证明：∵ EA与圆O相切于点A.由切割线定理：DA2＝DB·DC.
∵ D是EA的中点，∴ DA＝DE.∴ DE2＝DB·DC.(5分)
∴ ＝.
∵ ∠EDB＝∠CDE，∴ △EDB∽△CDE，∴ ∠DEB＝∠DCE.(10分)
B. 解：∵ B＝，∴ B－1＝，
∴ AB－1＝＝.(5分)
设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB－1对应的变换下为点(x′，y′)，则
＝，∴
代入l′，得(x－2y)＋(2y)－2＝0，化简，得l：x＝2.(10分)
C. 解：圆O：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋1＝0，(5分)
圆心O到直线l的距离d＝＝，弦长AB＝2＝.(10分)
D. 证明：∵ 正实数a，b，c满足a＋b＋c＝3，
∴ 3＝a＋b＋c≥3，∴ abc≤1，(5分)
∴ ＋＋≥3＝3≥3.(10分)
22. 解：(1) 以，，为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

由题意，知D(0，0，0)，A′(2，0，1)，B(2，2，0)，C′(0，2，1)，
O′(1，1，1)．
设P(t，t，0)，∴ ＝(t－1，t－1，－1)，＝(－2，0，1)．
设异面直线O′P与BC′所成角为θ，
则cosθ＝＝＝，
化简得21t2－20t＋4＝0，解得t＝或t＝，
DP＝或DP＝.(5分)
(2) ∵ DP＝，∴ P，
＝(0，2，1)，＝(2，2，0)，＝，＝.
设平面DC′B的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
∴ ∴ 即取y1＝－1，得n1＝(1，－1，2)．
设平面PA′C′的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
∴ ∴ 即取y2＝1，得n2＝(1，1，1)．
设平面PA′C′与平面DC′B所成角为φ，
∴ |cosφ|＝＝＝，
∴ sinφ＝.(10分)
23. 解：∵ C≤i2，
当i≥2时，C＝C＝1≤i2，C＝C＝i≤i2，C＝C＝≤i2，C≤，
∴ 当2≤i≤5，i∈N*时，C≤i2的解为r＝0，1，…，i.(3分)
当6≤i≤10，i∈N*，C≥Cr≤.
由C＝≤i2i＝3，4，5可知：
当r＝0，1，2，i－2，i－1，i时，C≤i2成立，
当r＝3，…，i－3时，C≥C≥i2(等号不同时成立)，即C＞i2.(6分)

ξ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(ξ)

(8分)
∴ Eξ＝(0＋1＋2)×＋(3＋4＋5＋6＋7＋8)×＋9×＋10×＝.(10分)