高中数学高考总复习同角三角函数的基本关系及诱导公式习题及详解.doc

高考总复习
高中数学高考总复习同角三角函数的基本关系及诱导公式习题及详解
一、选择题
1．(2010·河北唐山)已知cos＝，则sin2α＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　A
[解析]　sin2α＝cos＝cos2
＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
2．(2010·福建省福州市)已知sin10°＝a，则sin70°等于(　　)
A．1－2a2 B．1＋2a2
C．1－a2 D．a2－1
[答案]　A
[解析]　由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A.
3．(2010·广东玉湖中学月考)下列关系式中，能使α存在的关系式是(　　)
A．sinα＋cosα＝
B．(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝
C.＝－cosα
D．1－cos2α＝log
[答案]　C
[解析]　A选项中，sinα＋cosα＝sin(α＋)≤<，故不成立；B选项中，(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝cos2α－sin2α＝cos2α≤1<，故不成立；D选项中，由1－cos2α＝log＝－，得cos2α＝>1，故不成立；C选项中，＝，当cosα<0时，＝－cosα，∴C正确．
4．(2010·重庆一中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A＝2∠B，则等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　∵A＝2B，∴＝
＝＝＝.
5．(2010·北京东城区)函数y＝1－2sin2是(　　)
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
[答案]　B
[解析]　y＝1－2sin2＝cos2
＝cos＝sin2x为奇函数且周期T＝π.
6．(2010·重庆南开中学)已知2tanα·sinα＝3，－<α<0，则cos的值是(　　)
A．0 B.
C．1 D.
[答案]　A
[解析]　∵2tanαsinα＝3，∴＝3，
即＝3，
∴2cos2α＋3cosα－2＝0，
∵|cosα|≤1，∴cosα＝，
∵－<α<0，∴sinα＝－，∴cos
＝cosαcos＋sinαsin＝×－×＝0.
7．(2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于(　　)
A．30° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
[答案]　A
[解析]　两式平方后相加得sin(A＋B)＝，
∴A＋B＝30°或150°，
又∵3sinA＝6－4cosB>2，∴sinA>>，
∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.
8．(2010·山东枣庄模考)对于函数f(x)＝cossin，给出下列四个结论：①函数f(x)的最小正周期为π；②若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；③f(x)的图象关于直线x＝－对称；④f(x)在上是减函数，其中正确结论的个数为(　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．1　　　　D．3
[答案]　D
[解析]　∵cos＝－sinx，sin＝－cosx，∴f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f(x)的周期为T＝＝π，①正确；由2x＝kπ＋，k∈Z得x＝＋，令k＝－1得，x＝－，故③正确；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0得，≤x≤，故④正确．取x1＝，x2＝－π，则f(x1)＝sinπ＝0，f(x2)＝sin(－2π)＝0满足f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故②错．
9．(2010·广东佛山调研)已知函数f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)·g(x)的最小正周期为2π
B．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1
C．将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象
D．将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象
[答案]　D
[解析]　f(x)＝sin＝cosx，g(x)＝cos＝sinx，则y＝f(x)·g(x)＝sin2x，最小正周期为π，最大值为；将f(x)＝cosx的图象向右平移个单位后得到g(x)＝cos的图象．
10．(2010·安徽铜陵一中)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，
∵tanB＝，∴sinB＝，cosB＝，
∵a＋c＝3，b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝2，
∴S△ABC＝acsinB＝.
二、填空题
11．(文)(2010·苏北四市)设α是第三象限角，tanα＝，则cos(π－α)＝________.
[答案]　
[解析]　∵α为第三象限角，tanα＝，
∴cosα＝－，∴cos(π－α)＝－cosα＝.
(理)(2010·浙江杭州质检)若sin＝，则tan2x等于________．
[答案]　4
[解析]　sin＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝，
又sin2x＋cos2x＝1，∴，∴tan2x＝＝4.
12．已知sin＝，则sin＝______.
[答案]　
[解析]　sin＝cos
＝cos＝1－2sin2＝.
13．(2010·浙江宁波十校)若sin76°＝m，则cos7°＝______.
[答案]　
[解析]　∵sin76°＝m，∴cos14°＝m，
即2cos27°－1＝m，∴cos7°＝.
14．(2010·深圳市调研)已知函数f(x)＝，则f[f(2010)]＝________.
[答案]　－1
[解析]　由f(x)＝得，f(2010)＝2010－100＝1910，f(1910)＝2cos＝2cos(636π＋)＝2cos＝－1，故f[f(2010)]＝－1.
三、解答题
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA＝，cosB＝.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC最长的边为1，求b.
[解析]　(1)∵cosB＝>0，
∴B为锐角，sinB＝＝
∴tanB＝＝.
∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－1.
(2)由(1)知C为钝角，所以C是最大角，所以最大边为c＝1
∵tanC＝－1，∴C＝135°，∴sinC＝.
由正弦定理：＝得，
b＝＝＝.
16．(文)(2010·北京东城区模拟)已知向量a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，α∈，且a⊥b.
(1)求sinα的值；
(2)求tan的值．
[解析]　(1)∵a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，且a⊥b.
∴a·b＝(cosα，1)·(－2，sinα)＝－2cosα＋sinα＝0.
∴cosα＝sinα.
∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.
∵α∈，∴sinα＝－.
(2)由(1)可得cosα＝－，则tanα＝2.
tan＝＝－3.
(理)已知向量m＝(－1，cosωx＋sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为π.
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f＝，求的值．
[解析]　(1)由题意得m·n＝0，所以，
f(x)＝cosωx·(cosωx＋sinωx)
＝＋＝sin＋，
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
所以f＝sin＋
＝cosα＋＝，
解得cosα＝，
因为α是第一象限角，故sinα＝，
所以，＝＝＝·＝－.
17．(2010·南充市模拟)已知三点：A(4,0)，B(0,4)，C(3cosα，3sinα)．
(1)若α∈(－π，0)，且||＝||，求角α的值；
(2)若·＝0，求的值．
[解析]　(1)由题得＝(3cosα－4,3sinα)，＝(3cosα，3sinα－4)
由||＝||得，
(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4)2
⇒sinα＝cosα
∵α∈(－π，0)，∴α＝－.
(2)由·＝0得，3cosα(3cosα－4)＋3sinα(3sinα－4)＝0，
解得sinα＋cosα＝，两边平方得2sinαcosα＝－
∴＝
＝2sinαcosα＝－.

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