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三角形三边关系

三角形边的性质
　　（1）三角形三边关系定理及推论
　　定理：三角形两边的和大于第三边。
　　推论：三角形两边的差小于第三边。
　　（2）表达式：△ABC中，设a＞b＞c
　　　　　　　　　则b-c＜a＜b+c
　　　　　　　　　a-c＜b＜a+c
　　　　　　　　　a-b＜c＜a+b
　　（3）应用
　　1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
　　　方法（设a、b、c为三边的长）
　　①若a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a都成立，则以a、b、c为三边的长可构成三角形；
　　②若c为最长边且a+b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成三角形；
　　③若c为最短边且c＞|a-b|，则以a、b、c为三边的长可构成三角形。
　　2、已知三角形两边长为a、b，求第三边x的范围：|a-b|＜x＜a+b。
　　3、已知三角形两边长为a、b(a＞b)，求周长L的范围：2a＜L＜2(a+b)。
　　4、证明线段之间的不等关系。
复习巩固，引入新课
1画出下列三角形是高

2、已知：如图△ABC中AG是BC中线，AB=5cm AC=3cm，则△ABG和△ACG的周长的差为多少？△ABG和△ACG的面积有何关系？
3、三角形的角平分线、中线、高线都是（　　）
　　A、直线　　　　B、线段　　　　C、射线　　　　D、以上都不对
4、三角形三条高的交点一定在（　　）
　　A、三角形的内部　　　　　　　 B、三角形的外部
　　C、顶点上　　　　　　　　　　 D、以上三种情况都有可能
5、直角三角形中高线的条数是（　　）
　　A、3　　　　　 B、2　　　　　 C、1　　　　　D、0
6、判断：
（1） 有理数可分为正数和负数。
（2） 有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。
7、现有10cm的线段三条，15cm的线段一条，20cm的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？
三角形三边的关系
一、 三角形按边分类（见同步辅导二）
练习
１、两种分类方法是否正确：
不等边三角形 不等三角形
三角形 三角形 等腰三角形
等腰三角形 等边三角形

2、如图，从家A上学时要走近路到学校B，你会选哪条路线？

３、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？
（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm
（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm　７ｃｍ
４、求复习巩固，引入新课中的练习４中各三角形的任意两边的和，比较与第三边的关系。再计算两边的差与第三边进行比较。
二、 三角形三边关系定理及其推论（见同步辅导二）
应用举例1
已知△ABC中，a=6，b=14，则c边的范围是
练习
１、 三角形的两边为3cm和5cm，则第三边x的范围是
２、 果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为
3、长度分别为12cm，10cm，5cm，4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为（　　）
　　A、1　　　　　 B、2　　　　　 C、3　　　　　D、4
4、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（　　）
A、5，9，3　 B、5，7，3　 C、5，2，3　D、5，8，3
应用举例2
1、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是______cm。
分析：若这个等腰三角形的腰长为8cm,则三边分别为8cm,8cm,6cm，满足两边之和大于第三边，若腰长为7cm,则三边分别为6cm，6cm,8cm，也成立。
解：这个等腰三角形的周长为22cm或20cm。
2、已知△ABC的周长为21，三边a、b、c满足关系2a-b=3，3c-2b=13，求a、b、c。
　　分析：因△ABC的周长为21，故a+b+c=21，再由2a-b=3，3c-2b=13组成三元一次方程组。解这个方程组可得a、b、c，这种用代数方法解决几何问题的方法今后经常遇到，
　　答案：a=5，b=7，c=9。
3.已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形各边的长。
分析：如图02-12，在△ABC中，AB=AC，BD是中线，已知BD将周长分为AB+AD和BC+CD两部分，在这两部分中的四条线段中，都与腰和底的长有关。
解：设腰长为xcm 即AB=xcm，AD=DC=，设底为ycm，即BC=ycm
由题意：分两种情况，列方程组。
  ∵边长为10cm,10cm,1cm符合三角形的三边关系，但边长为4cm,4cm,13cm，不符合三角形的三边关系，应舍去。
∴这个等腰三角形的三边长分别为10cm,10cm 和1cm。
4、已知：△ABC的周长为11，AB=4，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3，求BC和AC的长。
　　分析：由已知△ABC的周长=AB+AC+BC=11，AB=4，可得BC+AC=7。
　　又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=3，而AM=MB，故BC-AC=3，解方程组可求BC与AC的长。
　　略解：∵△ABC的周长=AB+BC+CA=11，AB=4
　　　　　∴BC+AC=11-4=7
　　　　　又CM是△ABC的中线（已知）
　　　　　∴AM=MB（三角形中线定义）
　又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=BC-AC=3
解得：BC=5 AC=2
例5、已知P为△ABC内任一点，求证： AB+AC＞PB+PC；
　　分析；证明线段之间的不等关系，联想到三角形三边关系定理，由于涉及的线段不在同一个三角形中，故添加辅助线构成新的三角形。
　　　证明：延长BP交AC于E
　　　　　△ABE中，AB+AE＞BE
　　　　　即AB+AE＞BE+PE
　　　　　同理，PE+EC＞PC
　　　　　∴AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC
　　　　　∴AB+AE+EC＞PB+PC
　　　　　即AB+AC＞PB+PC
专题检测
1、1.指出下列每组线段能否组成三角形图形
    （1）a=5,b=4,c=3    （2）a=7,b=2,c=4
    （3）a=6,b=6,c=12    （4）a=5,b=5,c=6
2.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求这个三角形的腰长。
4、三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是　　　　。
5、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为　　　　。
6、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为　　　　
7、一个三角形周长为27cm，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长　　　　。
8、等腰三角形两边为5cm和12cm，则周长为　　　　。
9、已知：等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长的范围是
10、已知：一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是
11、下列条件中能组成三角形的是（　　）
　　A、5cm, 7cm, 13cm　　　　　　　　B、3cm, 5cm, 9cm
　　C、6cm, 9cm, 14cm　　　　　　　　D、5cm, 6cm, 11cm
12、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（　　）
　　A、5，6　　　　 B、6，4　　　　　C、7，2　　　　D、以上三种情况都有可能
13、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（　　）
　　A、4，6　　　　 B、4，6，8　　　 C、6，8　　　　D、6，8，10
14、△ABC中，a=6x，b=8x，c=28，则x的取值范围是（　　）
　　A、2＜x＜14　B、x＞2　　 C、x＜14　　D、7＜x＜14
15、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。
　 求这个三角形的周长。
16、如图，求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD