二次函数中考题整理.doc

26．如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(．4)．将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．
(1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2) 抛物线上一动点P．设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d1=d2+1；
(3) 在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值。

考点： 二次函数综合题
分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把点B（-4，4）的坐标代入，即可求出抛物线的解析式；容易证得Rt△BAE≌Rt△ACD，根据全等三角形的对应边相等，分别求出AD、DC的长，便可求出点C的坐标。
（2）作辅助线构建Rt△PAF，）设P点坐标为（a，b），因点P在抛物线上，所以可以把b表示为b=1/4a2，再分别把线段PF、AF用含字字母a的代数式表示出来，在Rt△PAF中，利用勾股定理，便可证得d2=d1+1；
（3）利用问题（2）的结论，有△PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，当C、P、H三点共线时，PC+PH最小，此时P点的横坐标应为3，通过代入便可求出点的P的纵坐标与△PAC的周长的最小值。
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=1/4x2，得到y=9/4，即P点坐标为（3，9/4），
此时PC+PH=5，∴△PAC的周长的最小值=5+6=11
解答：（1）设抛物线的解析式：y=ax2，
∵抛物线经过点B（-4，4），
∴4=a•42，解得a=1/4，所以抛物线的解析式为：y=1/4x2；
过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，
∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，∴C点坐标为（3，5）；
（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，
∵点P在抛物线y=1/4x2上，∴b=1/4a2，∴d1=1/4a2，∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=1/4a2-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d2===1/4a2+1
∴d2=d1+1；
（3）过C点作x轴 的垂线，交抛物线于P点，则P即为所求的点．
由（1）得AC=5，
∴△PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，
∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y=1/4x2，得到y=9/4，即P点坐标为（3，9/4），
此时PC+PH=5，∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．
点评：本题以二次函数为背景，结合图形旋转，求函数的二次函数的解析式，三角形全等的判定，勾股定理，两点之间线段最短，乘法公式与因式分解等知识点，难点在于把这些知识点综合起来运用解决相关的数学问题。

2013年
26．（11分）（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．

考点： 二次函数综合题
分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：
①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；
②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；
③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．
（3）抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．

解答：
解答：（1）根据题意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．
抛物线经过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），则有：
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．

（2）存在．
△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：
①以点A为直角顶点．
如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．
∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，﹣1）．
设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，﹣1）的坐标代入得：
，
解得k=1，b=﹣1，
∴y=x﹣1．
将y=x﹣1代入抛物线解析式y=x2+2x﹣3得，x2+2x﹣3=x﹣1，
整理得：x2+x﹣2=0，
解得x=﹣2或x=1，
当x=﹣2时，y=x﹣1=﹣3，
∴P（﹣2，﹣3）；
②以点P为直角顶点．
此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．
过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；
因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．
∴P（﹣3，0）；
③以点E为直角顶点．
此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上．
综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，0）．
（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．
抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）2﹣4+1=x2+4x+1．

点
点评：本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．
2014年
26．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由

考点：二次函数综合题．
解析：（1）根据抛物线的交点式可求此抛物线的解析式；
（2）直线BC与对称轴直线l：x=-1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点P的坐标；
（3）讨论：当以AB为对角线，利用NA=MB和四边形ANBM为平行四边形，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到MN=AB=4，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标．
解答：（1）直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，
则A点坐标为（1，0）；
当x=0时，y=3，
则C点坐标为（0，3）；
抛物线的对称轴为直线x=-1，
则B点坐标为（-3，0）；
把C（0，3）代入y=a（x-1）（x+3）得3=-3a，
解得a=-1，
则此抛物线的解析式为y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；
（2）点A关于直线l的对称点是点B（-3，0）
如图1，连接BC，交对称轴于点P，则此时△PAC周长最小，
设直线BC的关系式为：y=kx+b，
把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得 -3k+b＝0 ，
b＝3 ，
解得 k＝1，b＝3

∴直线bC的关系式为y=x+3，
当x=-1时，y=-1+3=2，
∴P点坐标为（-1，2）；
（3）①当以AB为对角线，如图2，
∵四边形AMBN为平行四边形，
A点横坐标为1，N点横坐标为0，B点横坐标为-3，
∴M点横坐标为-2，
∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3，
∴M点坐标为（-2，3）；

②当以AB为边时，如图3，
∵四边形ABMN为平行四边形，
∴MN=AB=4，即M1N1=4，M2N2=4，
∴M1的横坐标为-4，M2的横坐标为4，
对于y=-x2-2x+3，
当x=-4时，y=-16+8+3=-5；
当x=4时，y=-16-8+3=-21，
∴M点坐标为（-4，-5）或（4，-21）．
综上所述，M点坐标为（-2，3）或（-4，-5）或（4，-21）．
点评： 本题是对二次函数综合题型进行考查，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、求最小值、平行四边形等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．

2015年
26．（本小题满分1 1分）如图，已知抛物线y= ax2 +bx +c的顶点D的坐标为（1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为(4，0).P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
(l)求抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)若动点P满足∠PAO不大于45 0，求P点的横坐标m的取值范围；
(3)当P点的横坐标m<0时，过p点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO?若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．.
解析：（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AD，根据角越小角的对边越小，可得PA在在射线AC与AD之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据解方程组，可得P点坐标．
解答：解：（1）由A、B点的函数值相等，得
A、B关于对称轴对称．
A（4﹣0），对称轴是x=1，得
B（﹣2，0）．
将A、B、D点的坐标代入解析式，得
，
解得，
抛物线所对应的二次函数的表达式y=x2﹣x﹣4；
（2）如图1作C点关于原点的对称点D，
OC=OD=OA=4，
∠OAC=∠DAO=45°，
AP在射线AC与AD之间，∠PAO＜45°，
直线AD的解析式为y=﹣x+4，
联立AD于抛物线，得，
解得x=﹣4或x=4，
∵E点的横坐标是﹣4，C点的横坐标是0，
P点的横坐标的取值范围是﹣4＜m＜0；
（3）存在P点，使∠QPO=∠BCO，
如图2，
设P（a，a2﹣a﹣4），
由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°．
∴△PQO∽△COB，
∴=即=，
化简，得a2﹣3a﹣8=0．
解得a=，a=（不符合题意，舍），
a2﹣a﹣4=（）2﹣﹣4=，
P点坐标为（，）．
点评：本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用了角与对边的关系：角越小角的对边越小得出PA在在射线AC与AD之间是解题关键，利用了相似三角形的判定与性质．