初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析.docx

题型一：利用勾股定理进行线段计算
如果单独考查勾股定理，通常是给我们送分的，非常简单，我们只有熟记勾股定理的公式、常见的勾股数，以及常见的特殊Rt△的三边比例，即可以轻松解出题目。
【例1】一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从AB位置滑到CD位置）？
【分析】
本题是常见的梯子滑动问题，是勾股定理结合实际问题产生的题型。英对实际问题，我们需要实际问题抽象成简单的几何图形，再利用勾股定理解答。
题目要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度AO，且三角形AOB，三角形COD均为直角三角形．可以运用勾股定理求解．

解：在直角三角形AOB中，
根据勾股定理AB 2=AO 2+OB 2，可以求得：
OA= =2.4米，
现梯子的顶部滑下0.4米，即OC=2.4-0.4=2米，
且CD=AB=2.5米，
所以在直角三角形COD中 ，
即DO= =1.5米，
所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米-0.7米=0.8米．
答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．
题型二：勾股定理的证明过程
勾股定理的证明过程同样是勾股定理的一个常考点。因此我们同样要熟知勾股定的常见证明过程。这个需要同学们查看课本，回忆整个证明过程。下面给出常见的考题类型。
【例2】《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c。

（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．
（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的 代数恒等式：（ ）；
（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．
【分析】
（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；
（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；
（3）利用（1）的结论进行解答．
解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c 2，也可表示为（b-a） 2+4× ab
∴（b-a） 2+4× ab=c 2
化简得b 2-2ab+b 2+2ab=c 2
∴当∠C=90°时，a 2+b 2=c 2；
（2）（x+y）（x+2y）=x 2+3xy+2y 2
（3）依题意得 a2+ b2＝ c2＝13 ( b− a) 2＝1 则2ab=12
∴（a+b） 2=a 2+b 2+2ab=13+12=25，即（a+b） 2=25．