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对数函数及其性质

教师行为
学生学习活动
设计意图
1. 问题情境
1、情境：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示.
2、问题：现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞？

学生探究函数解析式，感受指数函数与对数函数的联系
师引导：这个问题就相当于已知y=2x 中的y求x，我们将y=2x改写成对数式为y=log2x，对于每一个给定的y值，都有唯一的x值与之相对应。把y看作自变量，分裂次数x就是细胞个数y的函数。这样就得到了一个新的函数。习惯上，仍用x表示自变量，用y表示它的函数。上面的这个函数就写成y=log2x。
为了有助于函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题下手

2. 对数函数概念
1、对数函数概念：
一般地，函数（a＞0且a≠1）叫做对数函数.
思考1：函数（a＞0且a≠1）与函数（a＞0且a≠1）的定义域、值域之间有什么关系？ （函数（a＞0且a≠1）的定义域、值域分别是函数（a＞0且a≠1）的值域和定义域）

让学生总结概念，注意关键点的理解：x>0？

学生已经熟悉对数函数的知识背景，学生可以自己独立探索概念

3. 突破重、难点
对数函数的图像与性质：
总结：我们发现函数（a＞0且a≠1）的定义域、值域分别是函数（a＞0且a≠1）的值域和定义域，它们的图像关于直线y=x对称。这样我们把称为的反函数，同样称为的反函数。一般地，如果函数存在反函数，那么它的反函数记作
在同一坐标轴下画出对数函数与的图像，并观察函数图像，说说图像的特征。并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.
相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x=1,y=0.
不同性质：y=log3x的图象是上升的曲线，y=的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数.
思考3：对照指数函数的性质，从特殊到一般，抽象出对数函数（a＞0且a≠1）有哪些性质？

①学生自主活动探究
在同一坐标轴下画出对数函数与指数函数的图像观察图像有什么特征？
思考2：一般地，当a＞0且a≠1时，函数与函数的图像有什么关系？
（函数与函数的图像关于直线y=x对称）
②师生共同归纳：

(a>1)
(0<a<1)
图 象

性

质
定义域
（0，+¥）
（0，+¥）
值域
R
R
特征点
（1，0）
（1，0）
单调性
（0，+¥）增函数
（0，+¥）减函数
对称性
无
无

有学生合作交流，通过图象感知，概括对数函数的性质，类比指数函数得到对数函数的性质，让学生学会怎样研究函数

4. 数学应用
［例］比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log23.4,log28.5 (2)log0.31.8,log0.32.7 (3)loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)
（4）log67,log76
（5)log3π,log20.8

师：分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小.
生：解：（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4＜log28.5
(2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数0＜0.3＜1,所以它在（0，+∞）上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7
［师］通过例2（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
（1）确定所要考查的对数函数；（2）根据对数底数判断对数函数增减性；（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
解：（3）当a＞1时，y=logax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9

0
x=3
y=1
(1,0)
y=log0.23
y=log0.13
y
x
（4）

当0＜a＜1时，y=logax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小.
解：（4）∵log67＞log66=1，log76＜log77=1，∴log67＞log76
（5）∵log3π＞log31=0，log20.8＜log21=0,∴log3π＞log20.8
log0.13,log0.23
分析：利用对数函数的图像进行比较。
解：作出函数log0.13,log0.23的图像，由图像可知log0.13> log0.23
注：同真数的比较大小, 常借助函数图象进行比较
. 　
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.
例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例3（2）题也可与1比较.

5. 练习
比较下列各题中的两个值的大小

（1）log106，log108
(2)log0.56, log0.54
(3)
(4) （5）log20.7
(6)log20.5,log50.5

反馈学生本节课的掌握情况，巩固所学知识
6. 课堂小结
1、掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题.
2、利用对数函数的单调性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法.

由学生建立知识框图
对知识进行归纳概括，体会数学思想
7. 课后作业
P．69 NO.3 P.70 NO.3 NO.7 （另补充）
学生独立完成

提升学生素养，并应用学习内容。