二项式定理习题课.doc

习题课　二项式定理
一、基础过关
1．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值为________．
2．233除以9的余数是________．
3．(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x3项的系数是________．
4．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan，且b0＋b1＋b2＋…＋bn＝30，则自然数n的值为________．
5．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
6．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________．
二、能力提升
7．(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝________.
8．(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是________．
9．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*，且2≤n≤8，则n＝________.
10．求证：32n＋2－8n－9 (n∈N*)能被64整除．
11．已知n的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．
12．在二项式n的展开式中，
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．
三、探究与拓展
13．若等差数列{an}的首项为a1＝C11－2m5m－A2m－211－3m(m∈N*)，公差是
n展开式中的常数项，其中n为7777－15除以19的余数，求数列{an}的通项公式．

答案

1．32　2.8 3．－121 4．4 5．5　6.179　7.－31　8.－3 9．5
10．证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C·82＋8(n＋1)＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82，
该式每一项都含因式82，故能被64整除．
11．解　∵Tr＋1＝C·x·2r·r－＝C·2r·x，
据题意，得C＋C·2＋C·22＝129，解得n＝8，
∴Tr＋1＝C·2r·x，且0≤r≤8.
由于＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．又＝4－，
∴当r＝0，r＝6时，∈Z，
即展开式中存在有理项，它们是：
T1＝x4，T7＝26·C·x－1＝.
12．解　(1)由题意得C＋C＝2C，
∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
∴T4的系数为C423＝，
T5的系数为C324＝70.
故展开式中二项式系数最大的项的系数为、70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
∴T8的系数为C727＝3 432.
故展开式中二项式系数最大的项的系数为3 432.
(2)由题意知C＋C＋C＝79，
解得n＝12.
设展开式中第r＋1项系数最大，
因为12＝12(1＋4x)12，
则　
∴9.4≤r≤10.4.
∵r＝0,1,2，…，12，∴r＝10.
∴系数最大的项为T11，
且T11＝12C(4x)10＝16 896x10.
13．解　由题意得
⇒≤m≤.∵m∈N*，∴m＝2.
∴a1＝C－A＝120－20＝100.
而7777－15＝(1＋19×4)77－15
＝C＋C(19×4)＋C(19×4)2＋…＋C(19×4)77－15
＝(19×4)[C＋C(19×4)＋…＋C(19×4)76]＋1－15
＝(19×4)[C＋C(19×4)＋…＋C(19×4)76]－19＋5.
∴7777－15除以19余5，即n＝5.
∴Tr＋1＝C5－rr
＝C·5－2r·(－1)r·x.
令5r－15＝0，得r＝3，
得T4＝C·－1·(－1)3＝－4.
∴d＝T4＝－4.
∴an＝a1＋(n－1)d＝100＋(n－1)·(－4)＝104－4n.