二向量的数量积和运算律.doc

二 向量的数量积和运算律、向量的应用
知识要点：
1．（1）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq；
|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.
（2）数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.
（3）（i） (ii) cosq =(iii) |a×b| ≤ |a||b|（柯西不等式）
（4）（i） 则
（ii）平面内点，则
2．（1）定比分点：若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的定比.
（2）中点坐标公式：线段的中点为，若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，则中点的坐标为
3．平面向量的平行与垂直
（1）
（2）.
4．面积：平面上三点不共线，设
（i）以为邻边构成的平行四边形的面积为：
(ii)的面积为：

题例
1． 若与都是非零向量，则“”是“”的_______条件。
2． 已知，当为何值时，与的夹角为
3．关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）
4．在平行四边形中，已知对角线。求对角线的长。
5．设向量a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是_______.
6．若等边的边长为，平面内一点满足，则_________
7．设向量a,b满足︱a︱=3,︱b︱=4,=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
8.设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若上的投影相同，则a与b满足的关系式为
(A) (B) (C) (D)
9.已知是不共线的四点，若存在一组正实数，使，则三个角（ ）
A 都是锐角 B 至多有两个钝角 C 恰有两个钝角 D至少有两个钝角

10．设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：∥.
【解析】由与垂直，，
即，；

，最大值为32，所以的最大值为。
由得，即，
所以∥. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
11．已知向量
（Ⅰ）求向量的长度的最大值；
（Ⅱ）设，且，求的值。
解析：（1）解法1：则

，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时，有所以向量的长度的最大值为2.
解法2：，，
当时，有，即，
的长度的最大值为2.
（2）解法1：由已知可得
。
，，即。
由，得，即。
,于是。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解法2：若，则，又由，得

，，即
，平方后化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得或，经检验，即为所求