空间线面关系的判定.doc

高二数学2—1学案
3.2.2 空间线面关系的判定
学习目标：
能用向量语言表述、证明、判定空间线线、线面、面面的平行和垂直关系。
活动一
前面我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。那我们能不能用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线面位置关系？
设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，完成下表

平行
垂直

活动二
例1、在直三棱柱中，

是棱的中点。求证：

你能试着建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量，再证明它们互相垂直吗？

例2、已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相
垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE； （Ⅱ）求证AM⊥平面BDF

例3、已知正方体的棱长为1，分别为的中点，求证：平面平面．

总结：利用法向量判断直线、平面的位置关系
（1）设为平面的法向量，为直线的方向向量，要证，只需证：_______，即证________；
（2）设为平面的法向量，为直线的方向向量，要证，只需证：_______，即证：存在一个非零常数，使_______，（即也是平面的一个法向量）
（3）设分别为平面的法向量，要证，只需证明_____，即证：存在一个非零常数，使___________．
（4）设分别为平面的法向量，要证，只需证明_____，即证明：．
　跟踪练习
1、已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面．
（用两种方法证明）

2、 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）画出图形，写出已知求证
变式练习
写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明。

3、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂直的判定定理）

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