九年级数学-一元二次方程组的专项-培优练习题及答案解析.doc

九年级数学 一元二次方程组的专项 培优练习题及答案解析一、一元二次方程1已知：关于x的方程x24mx4m210.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若ABC为等腰三角形，BC5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出=40，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及0，可得出5是方程x24mx+4m21=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论试题解析：解：（1）=（4m）24（4m21）=40，无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根（2）0，ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，5是方程x24mx+4m21=0的根将x=5代入原方程，得：2520m+4m21=0，解得：m1=2，m2=3当m=2时，原方程为x28x+15=0，解得：x1=3，x2=53、5、5能够组成三角形，该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x212x+35=0，解得：x1=5，x2=75、5、7能够组成三角形，该三角形的周长为5+5+7=17综上所述：此三角形的周长为13或17点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值2某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%（2）（15%）（115%）=95%85%=80.75%，（1x）2=（110%）2=81%80.75%81%，房产销售经理的方案对购房者更优惠3图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为ABC和DEF，其中B=90，A=45，BC=，F=90，EDF=30， EF=2将DEF的斜边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：FCD的最大度数为 ；当FCAB时，AD= ；当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2） 60；.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）当点E与点C重合时，FCD的角度最大，据此求解即可.过点F作FHAC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.过点F作FHAC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.设AD=x，把FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）B=90，A=45，BC=，AC=12.CD=10，AD=2. （2）F=90，EDF=30，DEF=60.当点E与点C重合时，FCD的角度最大，FCD的最大度数=DEF=60. 如图，过点F作FHAC于点H，EDF=30， EF=2，DF=. DH=3，FH=.FCAB，A=45，FCH=45. HC=. DC=DH+HC=.AC=12，AD=.如图，过点F作FHAC于点H，设AD=x，由知DH=3，FH=，则HC=.在RtCFH中，根据勾股定理，得.以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，即，解得.设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.4已知关于的一元二次方程.（1）当取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，求方程的解.【答案】（1）当且时，方程有两个不相等的实数根；（2），.【解析】【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，代入求m取值范围即可，注意二次项系数0；（2）将代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得： =，解得.因为，即当且时，方程有两个不相等的实数根.（2）把带入得，解得，.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.5某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边为何值时，活动区的面积达到?【答案】当时，活动区的面积达到【解析】【分析】根据“活动区的面积矩形空地面积阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y，则由题意得.即列方程: 解得 (舍)，.当时，活动区的面积达到【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心6解方程：(x1)(x1)2x.【答案】x1，x2.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x1)(x1)2xx2-2x-1=0a=1，b=-，c=-1=b2-4ac=8+4=120x=x1，x2.7已知:如图，在中，cm，cm.直线 从点出发，以2 cm/s的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点.同时，点从点出发，以1cm/s的速度沿向点运动，设运动时间为(s) () .(1)当为何值时，四边形是矩形?(2)当面积是的面积的5倍时，求出的值;【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可.【详解】解：（1）在中， ，当时，四边形PECF是矩形， 解得 （2）由题意 整理得，解得，面积是的面积的5倍。【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.8（问题）如图，在abc（长宽高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图，在211个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为311=3（2）如图，在311个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为611=6（3）依此类推，如图，在a11个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+a=线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为_探究二：（4）如图，在a21个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为31=（5）如图，在a31个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2+3=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为_（6）依此类推，如图，在ab1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_探究三：（7）如图，在以ab2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2=3条线段，则图中长方体的个数为3=（8）如图，在ab3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2+3=6条线段，则图中长方体的个数为_（结论）如图，在abc个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（应用）在234个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论【答案】探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】： ；【应用】： 180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为 11= ，故答案为 ；探究二：（5）棱AB上有 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为 61=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为 1=，故答案为；探究三：（8）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为 6=，故答案为；(结论)棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有条线段，则图中长方体的个数为=，故答案为；(应用)由(结论)知，在234个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x，由题意得=1000，x（x+1）3=203，x（x+1）=20，x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）444=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目9已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+0 有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围；(2)当k取最小整数时，求此时方程的解【答案】(1)k；(2)x10，x21【解析】【分析】(1)由题意得(k+1)24k20，解不等式即可求得答案；(2)根据k取最小整数，得到k0，列方程即可得到结论【详解】(1)关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+0 有两个不相等的实数根，(k+1)24k20，k；(2)k取最小整数，k0，原方程可化为x2+x0，x10，x21【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根10淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1x）239.2，解得：x10.330%，x21.7（不合题意，舍去）答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元（2）根据题意得：0.580（1+a%）301000（1+2a%）30000，整理得：a2+75a25000，解得：a125，a2100（不合题意，舍去），80（1+a%）80（1+25%）100答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键11已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x=1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【答案】(1) ABC是等腰三角形；(2)ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=1【解析】试题分析：（1）直接将x=1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断ABC的形状；（3）利用ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可试题解析：（1）ABC是等腰三角形；理由：x=1是方程的根，（a+c）（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2，ABC是直角三角形；（3）当ABC是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，x2=1考点：一元二次方程的应用12已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值【答案】（1）k；（2）7【解析】【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x1+x2=-3，x1x2=1，代入求值即可【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，即，解得；（2）当时，方程为，.【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键13阅读材料:若，求m、n的值.解: ， .根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知，求的值.（2）已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.（3） 若己知，求的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出xy的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由ab=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出ab+c的值【详解】（1）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0（x+y）2+（y+1）2=0x+y=0 y+1=0解得：x=1，y=1xy=2；（2）a2+b26a8b+25=0（a26a+9）+（b28b+16）=0（a3）2+（b4）2=0a3=0，b4=0解得：a=3，b=4三角形两边之和第三边ca+b，c3+4，c7又c是正整数，ABC的最大边c的值为4，5，6，c的最大值为6；（3）ab=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c26c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0，b+2=0，且c3=0，即b=2，c=3，a=2，则ab+c=2（2）+3=7故答案为7【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键14已知关于x的方程x2(k+3)x+3k0(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根【答案】(1)k1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x1代入方程x2(k+3)x+3k0得1(k3)+3k0，1k3+3k0解得k1；(2)证明： (k+3)243k (k3)20，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.15如图，在四边形中， ， ， ， ， ，动点P从点D出发，沿线段 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 上以每秒1个单位长的速度向点 运动；点P， 分别从点D，C同时出发，当点 运动到点 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）. （1）当 时，求 的面积；（2）若四边形为平行四边形，求运动时间 .（3）当 为何值时，以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）；（2） ；（3）或.【解析】【分析】（1）过点作于，则PM=DC，当t=2时，算出BQ，求出面积即可；（2）当四边形是平行四边形时，即，解出即可；（3）以 B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，分别求出t即可.【详解】解 ：（1）过点作于，则四边形为矩形.，当t=2时，则BQ=14，则=1412=84；（2）当四边形是平行四边形时，,即解得：当时，四边形是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：若，在 中，由得 解得： ；若，在 中，由得 ，即，此时， ,所以此方程无解，所以 ；若，由得 ,得 ，（不合题意，舍去）；综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.