初一数学上册上册数学压轴题(提升篇).doc

初一数学上册上册数学压轴题(提升篇)

一、七年级上册数学压轴题
1．如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．

（1）如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________．
（2）如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”．
（3）如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）；（2）t为35或15；（3）存在，当t=或时，与互为“伙伴角”．
【分析】
（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解；
（2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程
解析：（1）；（2）t为35或15；（3）存在，当t=或时，与互为“伙伴角”．
【分析】
（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解；
（2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程，解出时间t；
（3）根据OI在∠AOB的内部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分类讨论，分别画出对应的图形，由旋转得出经过t秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定义求出结果即可．
【详解】
解：（1）

∵两个角差的绝对值为60°，
则此两个角互为“伙伴角”，
而，∴设其伙伴角为，
，
则，
由图知，∴的伙伴角是．
（2）
∵绕O点，
每秒1°逆时针旋转得，
则t秒旋转了，
而从开始逆时针绕O旋转且每秒4°，
则t秒旋转了，
∴此时

，

，
又与重合时旋转同时停止，
∴，
（秒），
又与互为伙伴角，
∴，
∴，
∴，
秒或15秒．
答：t为35或15时，与互为伙伴角．
（3）①若OI在∠AOB的内部且OI在OP左侧时，即∠AOP＞∠AOI，如下图所示

∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，
∴°，
∵平分，
∴∠AOM=∠IOM==3t°
此时6t＜160
解得：t＜
∵射线平分，
∴∠ION=
∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°
∵射线平分
∴∠POM==40°
∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t
根据题意可得
即
解得：t=或（不符合实际，舍去）
∴此时∠AOI=6×=°
∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=＞∠AOI，符合前提条件
∴t=符合题意；
②若OI在∠AOB的内部且OI在OP右侧时，即∠AOP＜∠AOI，如下图所示

∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，
∴°，
∵平分，
∴∠AOM=∠IOM==3t°
此时6t＜160
解得：t＜
∵射线平分，
∴∠ION=
∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°
∵射线平分
∴∠POM==40°
∴∠POI=∠IOM－∠POM =3t－40°
根据题意可得
即
解得：t=或（不符合实际，舍去）
∴此时∠AOI=6×=40°
∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=60°＞∠AOI，不符合前提条件
∴t=不符合题意，舍去；
③若OI在∠AOB的外部但OI运动的角度不超过180°时，如下图所示

∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，
∴°，
∵平分，
∴∠AOM=∠IOM==3t°
此时
解得：＜t≤30
∵射线平分，
∴∠ION=
∴∠MON=∠IOM－∠ION=（－）=∠AOB=80°
∵射线平分
∴∠POM==40°
∴∠POI=∠IOM－∠POM =3t－40°
根据题意可得
即
解得：t=（不符合前提条件，舍去）或（不符合实际，舍去）
∴此时不存在t值满足题意；
④若OI运动的角度超过180°且OI在OP右侧时，即∠AOI＞∠AOP如下图所示

此时
解得： t＞30
∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，
∴，
∵平分，
∴∠AOM=∠IOM==180°－3t
∵射线平分，
∴∠ION=
∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°
∵射线平分
∴∠POM==50°
∴∠POI=∠IOM－∠POM =130°－3t
根据题意可得
即
解得：t=（不符合，舍去）或（不符合，舍去）
∴此时不存在t值满足题意；
⑤若OI运动的角度超过180°且OI在OP左侧时，即∠AOI＜∠AOP，如下图所示

此时
解得： t＞30
∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，
∴，
∵平分，
∴∠AOM=∠IOM==180°－3t
∵射线平分，
∴∠ION=
∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°
∵射线平分
∴∠POM==50°
∴∠POI=∠POM－∠IOM =3t－130°
根据题意可得
即
解得：t=或（不符合，舍去）
∴此时∠AOI=360°－6×=°
∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×）°＋50°=°＞∠AOI，符合前提条件
∴t=符合题意；
综上：当t=或时，与互为“伙伴角”．
【点睛】
本题考查了角的计算、旋转的性质、一元一次方程的运用及角平分线性质的运用，解题的关键是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解．
2．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）
（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．

答案：（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为
解析：（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．
【详解】
解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC时，有60=2（x+20），
解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），
解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，
解得，，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，
解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），
解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），
解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），
解得，；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），
解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．
故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．
【点睛】
本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
3．已知：b是最小的正整数，且、b、c满足，请回答问题．
(1)请直接写出、b、c的值．

(2)、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为，点P在0到2之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子： (请写出化简过程)．
(3)在(1)(2)的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BCAB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
答案：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b
解析：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；
（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．
【详解】
解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．
根据题意得：c-5=0且a+b=0，
∴a=-1，b=1，c=5．
故答案是：-1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，
则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-（1-x）+2（x+5）
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．
∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）
=x+1-x+1+2x+10
=2x+12；
（3）不变．理由如下：
t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．
∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，
∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，
即BC-AB值的不随着时间t的变化而改变．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
4．已知实数，，在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且，，满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB．
（1） ， ， ；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则 ， ；（结果用含t的代数式表示）这种情况下，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B 变为以每秒n（）个单位长度的速度向右运动，当时，，求n的值．

答案：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）用关于
解析：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）用关于t的式子表示BC和AB即可求解；
（3）分别求出当t=3时，A、B、C表示的数，得到AC和BC，根据AC=2BC列出方长，解之即可．
【详解】
解：（1）∵，b是最小的正整数，
∴c-5=0，a+2b=0，b=1，
∴a=-2，b=1，c=5，
故答案为：-2，1，5；
（2）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴t秒后，A表示的数为-t-2，B表示的数为2t+1，C表示的数为5t+5，
∴BC=5t+5-（2t+1）=3t+4，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3，
∴BC-AB=3t+4-（3t+3）=1，
∴BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变，BC-AB=1；
（3）当t=3时，
点A表示-2-3=-5，点B表示1+3n，点C表示5+5×3=20，
∴AC=20-（-5）=25，BC=，
∵AC=2BC，
则25=2，
则25=2（19-3n），或25=2（3n-19），
解得：n=或．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB，BC的变化情况是关键．
5．如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题：
（1）如果点A，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是_______，在此基础上，在数轴上与点C的距离是3个单位长度的点表示的数是__________
（2）如果点D，B表示的数是互为相反数，那么点E表示的数是_______
（3）在第（1）问的基础上解答：若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B的方向匀速运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A的方向匀速运动．则两个点相遇时点P所表示的数是多少？

答案：（1）-1；-4或2；（2）；（3）-1
【分析】
（1）由的长度结合点，表示的数是互为相反数，即可得出点，表示的数，由且点在点的右边可得出点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出在数轴上与点
解析：（1）-1；-4或2；（2）；（3）-1
【分析】
（1）由的长度结合点，表示的数是互为相反数，即可得出点，表示的数，由且点在点的右边可得出点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出在数轴上与点的距离是3个单位长度的点表示的数；
（2）由的长度结合点，表示的数是互为相反数，即可得出点表示的数，由且点在点的右边可得出点表示的数；
（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由点，相遇可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出两个点相遇时点所表示的数．
【详解】
解：（1），且点，表示的数是互为相反数，
点表示的数为，点表示的数为3，
点表示的数为．
，，
在数轴上与点的距离是3个单位长度的点表示的数是或2．
故答案为：；或2．
（2），且点，表示的数是互为相反数，
点表示的数为，
点表示的数为．
故答案为：．
（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
，
，
．
答：两个点相遇时点所表示的数是．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及相反数，解题的关键是：（1）由线段的长度结合点，表示的数互为相反数，找出点表示的数；（2）由线段的长度结合点，表示的数互为相反数，找出点表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
6．如图，在数轴上，点O是原点，点A，B是数轴上的点，已知点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足．

（1）在数轴上标出点A，B的位置．
（2）在数轴上有一个点C，满足，则点C对应的数为________．
（3）动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动设运动时间为t秒（）．
①当为何值时，原点O恰好为线段PQ的中点．
②若M为AP的中点，点N在线段BQ上，且，若时，请直接写出t的值．
答案：（1）见解析；（2）；（3）①时，点O恰好为线段PQ的中点；②当MN=3时 ,的值为或秒．
【分析】
（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，，得出，，画出图形即可；

（2）设点C对应的数为x，分两
解析：（1）见解析；（2）；（3）①时，点O恰好为线段PQ的中点；②当MN=3时 ,的值为或秒．
【分析】
（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，，得出，，画出图形即可；
（2）设点C对应的数为x，分两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可；
（3）①分相遇前和相遇后两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可；
②根据题意得到点Q、点N对应的数，列出绝对值方程即可求解．
【详解】
（1）∵，
∴，，
∴，，
点A，B的位置如图所示：

（2）设点C对应的数为，
由题意得：C应在A点的右侧，
∴CA==，
①当点C在线段AB上时，如图所示：

则CB=，
∵CA-CB=，
∴，
解得：；
②当点C在线段AB延长线上时，如图所示：

则CB=，
∵CA-CB=，
∴，方程无解；
综上，点C对应的数为；
故答案为：；
（3）①由题意得：，，分两种情况讨论：
相遇前，如图：

，，
∵点O恰好为线段PQ的中点，
∴，
解得：；
相遇后，如图：

，，
∵点O恰好为线段PQ的中点，
∴，
解得：，此时，，不合题意；
故时，点O恰好为线段PQ的中点；
②当运动时间为t秒时，点P对应的数为()，点Q对应的数为()，
∵M为AP的中点，点N在线段BQ上，且，
∴点M对应的数为，
点N对应的数为，
∵，
∴，
∴，
∴或，
答：当的值为或秒时，．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性以及数轴，解题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面，分类讨论，不要遗漏．
7．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．

（1）a＝　 　，c＝　 　；
（2）若将数轴折叠，使得A点与点C重合，则点B与数　 　表示的点重合．
（3）在（1）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，求当x取何值时代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|取得最大值，并求此最大值．
（4）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求第几秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍？
答案：（1）-3，9；（2）5；（3）当x≥9时，|x－a|﹣|x﹣c|取得最大值为12；（4）第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．
【分析】
（1）根据绝对值和偶次方的非
解析：（1）-3，9；（2）5；（3）当x≥9时，|x－a|﹣|x﹣c|取得最大值为12；（4）第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．
【分析】
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可．
（2）根据折叠点为点A与点C的中点，列式求解即可．
（3）将（1）中所得的a与c的值代入代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|，再根据数轴上两点之间的距离与绝对值的关系可得出答案．
（4）先求得线段BC的长，再求得其一半的长，然后分类计算即可：当0＜t≤4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为9﹣2t；当t＞4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为1+2（t﹣4）．
【详解】
解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
又∵|a+3|≥0，（c﹣9）2≥0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，
∴a＝﹣3，c＝9．
故答案为：﹣3，9．
（2）∵将数轴折叠，使得点A与点C重合，
∴折叠点表示的数为：＝3，
∴2×3﹣1＝5，
∴点B与数5表示的点重合．
故答案为：5．
（3）∵a＝﹣3，c＝9．
∴|x﹣a|﹣|x﹣c|＝|x+3|﹣|x﹣9|，
∵代数式|x+3|﹣|x﹣9|表示点P到点A的距离减去点P到点C的距离，
∴当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|取得最大值为9﹣（﹣3）＝12．
（4）∵BC＝9﹣1＝8，
∴8÷2＝4，
当0＜t≤4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为9﹣2t，
∴PQ＝9﹣2t﹣（﹣3﹣t）
＝9﹣2t+3+t
＝12﹣t，
CQ＝2t，
∵PQ＝2CQ，
∴12﹣t＝2×2t，
∴5t＝12，
∴t＝．
当t＞4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为1+2（t﹣4），
∴CQ＝|9﹣[1+2（t﹣4）]|，
PQ＝1+2（t﹣4）﹣（﹣3﹣t）
＝1+2t﹣8+3+t
＝3t﹣4，
∵PQ＝2CQ，
∴3t﹣4＝2|9﹣[1+2（t﹣4）]|＝2|16﹣2t|，
∴当3t﹣4＝2（16﹣2t）时，
3t﹣4＝32﹣4t，
∴7t＝36，
∴t＝；
当3t﹣4＝2（2t﹣16）时，
3t﹣4＝4t﹣32，
∴t＝28．
∴第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．
【点睛】
本题考查了数轴上的两点之间的距离、绝对值与偶次方的非负性及一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，熟练掌握相关运算性质及正确列式是解题的关键．
8．（概念提出）
数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n（n≥1），则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点．

（初步思考）
（1）如图，C是点A、B的 阶伴侣点；
（2）若数轴上两点M、N分别表示－1和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数为 ；
（深入探索）
（3）若数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且点C是点A、B的n阶伴侣点，请直接用含a、b、n的代数式表示c．
答案：（1）3；（2）－11，1，2，14；（3）当n＝1时，c＝，当n＞1时，点C在点A、B之间且靠近点B时，c＝a＋ (b－a)；点C在点A、B之间且靠近点A时，c＝a＋ (b－a)；点C在点A、B之
解析：（1）3；（2）－11，1，2，14；（3）当n＝1时，c＝，当n＞1时，点C在点A、B之间且靠近点B时，c＝a＋ (b－a)；点C在点A、B之间且靠近点A时，c＝a＋ (b－a)；点C在点A、B之外且靠近点B时，c＝a＋ (b－a)；点C在点A、B之外且靠近点A时，c＝a－ (b－a)．
【分析】
初步思考：（1）可根据n阶伴侣点的概念判断即可；
（2）根据n阶伴侣点的概念分类讨论即可；
深入探究：（3）根据n阶伴侣点的概念分类讨论即可．
【详解】
解：（1）∵O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点，
∴OA=OB,OC=2OA,OC=2OB，
∴AC=3BC，
∴C是点A、B的3阶伴侣点；
故答案是：3
（2）设表示的数为x,由题意有：
①|x+1|=|x-4|，
解得，x=1或x=-11，
②|x-4|=|x+1|，
解得，x=2或x=14，
综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为－11，1，2，14；
（3）①当n＝1时，c＝．
②当n＞1时，无论a＞b或a＜b，均有下列四种情况：
点C在点A、B之间且靠近点B时，c＝a＋ (b－a)；
点C在点A、B之间且靠近点A时，c＝a＋ (b－a)；
点C在点A、B之外且靠近点B时，c＝a＋ (b－a)；
点C在点A、B之外且靠近点A时，c＝a－ (b－a)．
【点睛】
本题主要考查新定义“n阶伴侣点”， 解题的关键是灵活运用所学知识，结合分类讨论思想解决问题．
9．已知：b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足(a+2b)2+|c+|=0，请回答下列问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a=_______，b=_______，c=_______．
（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点(不包括B、C两点)，其对应的数为m，则化简|m+|=________．
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B、点C都以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为AC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB−AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB−AC的值．
答案：（1）2；-1；；（2）-m-；（3）AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，AB－AC=
【分析】
（1）根据立方根的性质即可求出b的值，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c的值；

（2
解析：（1）2；-1；；（2）-m-；（3）AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，AB－AC=
【分析】
（1）根据立方根的性质即可求出b的值，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c的值；
（2）根据题意，先求出m的取值范围，即可求出m+＜0，然后根据绝对值的性质去绝对值即可；
（3）先分别求出运动前AB和AC，然后结合题意即可求出运动后AB和AC的长，求出AB−AC即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵b是立方根等于本身的负整数，
∴b=-1
∵(a+2b)2+|c+|=0，(a+2b)2≥0，|c+|≥0
∴a+2b=0，c+=0
解得：a=2，c=
故答案为：2；-1；；
（2）∵b=-1，c=，b、c在数轴上所对应的点分别为B、C，点D是B、C之间的一个动点(不包括B、C两点)，其对应的数为m，
∴-1＜m＜
∴m+＜0
∴|m+|= -m-
故答案为：-m-；
（3）运动前AB=2－（-1）=3，AC=2－（）=
由题意可知：运动后AB=3＋2t＋t=3＋3t，AC=＋2t＋t=＋3t
∴AB－AC=（3＋3t）－（＋3t）=
∴AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，AB－AC=．
【点睛】
此题考查的是立方根的性质、非负性的应用、利用数轴比较大小和数轴上的动点问题，掌握立方根的性质、平方、绝对值的非负性、利用数轴比较大小和行程问题公式是解决此题的关键．
10．如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．

（1）当t=2时，求∠POQ的度数；
（2）当∠POQ=40°时，求t的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．
【分析】
当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=
解析：（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．
【分析】
当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；
（1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可；
（2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可；
（3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可．
【详解】
解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；
当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；
当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；
（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，
∴∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（2）当0≤t≤15时，2t +40+6t=120， t=10；
当15＜t≤20时，2t +6t=120+40， t=20；
当20＜t≤30时，2t =6t-120+40， t=20（舍去）；
答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.
（3）当0≤t≤15时，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；
当15＜t≤20时，2t –(120-6t）=(120 -6t），t=.
当20＜t≤30时，2t –(6t -120）=(6t -120），t=.
答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.
【分析】
本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．
11．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝　 　；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝　 　；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．

答案：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．
【分析】
（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；
（3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在
解析：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．
【分析】
（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；
（3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解．
【详解】
解：（1）由题意得，
，
，
故答案为；
（2），，
，
平分，
，
，
，
故答案为；
（3）①当在的内部时，

，而，
，
，，
，
又，
，
；
②当在的外部时，

，而，
，
，，
，
又，
，
，
综上所述：的度数为或．
【点睛】
本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
12．已知，O为直线AB上一点，射线OC将分成两部分，若时，

（1）如图1，若OD平分，OE平分，求的度数；
（2）如图2，在（1）的基础上，将以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线OC以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为．
①t为何值时，射线OC平分？
②t为何值时，射线OC平分？
答案：（1）90°；（2）①s；②12s
【分析】
（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；
（2）①结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；
②结合角平分线的定义，平角的定义列方程
解析：（1）90°；（2）①s；②12s
【分析】
（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；
（2）①结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；
②结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解．
【详解】
解：（1）∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；
（2）①由题意得：∵∠DOE=90°，
∴当OC平分∠DOE时，∠C′OD′=∠C′OE′=45°，
45°+60°-3t+9t+60°=180°，
解得t=，
故t为s时，射线OC平分∠DOE；

②由题意得：∵∠BOE=60°，
∴当OC平分∠BOE时，∠C′OE=∠C′OB=30°，
30+3t+90°+2（120-9t）=180°，

解得t=12，
故t为12s时，射线OC平分∠BOE．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键．
13．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转
（1）试说明∠DPC=90°；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．

答案：（1）见解析；（2）；（3）旋转时间为15秒或秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．
【分析】
（1）结合题意利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明．
（2）结合题意根据角平分线的
解析：（1）见解析；（2）；（3）旋转时间为15秒或秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．
【分析】
（1）结合题意利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明．
（2）结合题意根据角平分线的定义，利用各角之间的等量关系即可求解．
（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．根据题意求出t的取值范围，再根据情况讨论，利用数形结合的思想列一元一次方程，求解即可．
【详解】
（1）∵两个三角板形状、大小完全相同，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）根据题意可知，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，
∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴秒．
分三种情况讨论：
当PD平分时，根据题意可列方程，解得t=15秒<36秒，符合题意．
当PC平分时，根据题意可列方程，解得t=秒<36秒，符合题意．
当PB平分时，根据题意可列方程，解得t=秒>36秒，不符合题意舍去．
所以旋转时间为15秒或秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，图形的旋转．掌握图形旋转的特征，找出其等量关系来列方程求解是解答本题的关键．
14．已知是关于x的二次二项式，A，B是数轴上