合肥48中初一数学上册期末压轴题汇编.doc

合肥48中初一数学上册期末压轴题汇编一、七年级上册数学压轴题1如图，已知AOB=120，射线OP从OA位置出发，以每秒2的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒（1）当t=2时，求POQ的度数；（2）当POQ=40时，求t的值；（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得POQ=AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由答案：（1）POQ =104；（2）当POQ=40时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得POQ=AOQ【分析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=解析：（1）POQ =104；（2）当POQ=40时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得POQ=AOQ【分析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；（1）当t=2时，得到AOP=2t=4，BOQ=6t=12，利用POQ =AOB-AOP-BOQ求出结果即可；（2）分三种情况：当0t15时，当15t20时，当20t30时，分别列出等量关系式求解即可；（3）分三种情况：当0t15时，当15t20时，当20t30时，分别列出等量关系式求解即可【详解】解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；（1）当t=2时，AOP=2t=4，BOQ=6t=12，POQ =AOB-AOP-BOQ=120-4-12=104. （2）当0t15时，2t +40+6t=120， t=10；当15t20时，2t +6t=120+40， t=20；当20t30时，2t =6t-120+40， t=20（舍去）； 答：当POQ=40时，t的值为10或20. （3）当0t15时，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；当15t20时，2t (120-6t）=(120 -6t），t=.当20t30时，2t (6t -120）=(6t -120），t=.答：存在t=12或或，使得POQ=AOQ.【分析】本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程2（阅读理解）若为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的2倍，我们就称点是()的优点例如，如图1，点表示的数为-1，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是()的优点：又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是()的优点，但点是()的优点（知识运用）如图2，为数轴上两点，点所表示的数为-2，点所表示的数为4（1）数所表示的点是()的优点：（2）如图3，为数轴上两点，点所表示的数为-20，点所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止当为何值时，和中恰有一个点为其余两点的优点？(请直接与出答案)答案：（1）x2或x10；（2）或或10【分析】（1）设所求数为x，根据优点的定义列出方程x（2）2(4x）或x（2）2（x4），解方程即可；（2）根据题意点P在线段AB上，由解析：（1）x2或x10；（2）或或10【分析】（1）设所求数为x，根据优点的定义列出方程x（2）2(4x）或x（2）2（x4），解方程即可；（2）根据题意点P在线段AB上，由优点的定义可分4种情况：P为(A，B)的优点；A为(B，P)的优点；P为(B，A)的优点；B为(A，P)的优点，设点P表示的数为y，根据优点的定义列出方程，进而得出t的值【详解】解：（1）设所求数为x，由题意得x（2）2（4x）或x（2）2（x4），解得：x2或x10；（2）设点P表示的数为y，分四种情况：P为(A，B)的优点由题意，得y（20）2（40y），解得y20，t（4020）3（秒）；A为(B，P)的优点由题意，得40（20）2y（20），解得y10，t（4010）310（秒）；P为(B，A)的优点由题意，得40y2y（20），解得y0，t（400）3（秒）；B为(A，P)的优点40-(-20)=2(40-x)，解得：x=10t=(40-10) 3=10（秒）综上可知，当t为10秒、秒或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点故答案为：或或10【点睛】本题考查了数轴及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，理解优点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解3“数形结合”是重要的数学思想请你结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于mn如果表示数a和2的两点之间的距离是3，记作a(2)3，那么a （2）利用绝对值的几何意义，探索a4a2的最小值为_，若a4a210，则a的值为_（3）当a_时，a5a1a4的值最小（4）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC8，动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t0)秒点M是AP的中点，点N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，求线段MN的长度答案：（1）1或-5；（2）6，4或-6；（3）1；（4）不变，线段MN的长度为4【分析】（1）根据两点间的距离公式，到2点距离是3的点有两个，即可求解；（2）当点a在点-4和点2之间时，的值最小解析：（1）1或-5；（2）6，4或-6；（3）1；（4）不变，线段MN的长度为4【分析】（1）根据两点间的距离公式，到2点距离是3的点有两个，即可求解；（2）当点a在点-4和点2之间时，的值最小；分两种情况，或，化简绝对值即可求得；（3）根据表示点a到5，1，4三点的距离的和，即可求解；（4）因为点A表示的数为4和AC8，所以点C表示的数为-4，点P表示的数为（1-6t），则点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，两数相减取绝对值即可求得【详解】（1） a(2)3或a(2)-3解得a=1或-5故答案为：1或-5（2）当点a在点-4和点2之间时，的值最小数a的点位于-4与2之间a+40，a-20 =a+4-a+2=6；当时a+40，a-20= =10解得a= -6当时a+40，a-20= =10解得a= 4故答案为：6，4或-6（3）根据表示一点到-5，1，4三点的距离的和所以当a=1时，式子的值最小此时的最小值是9故答案为：1（4）AC8点C表示的数为-4又点P表示的数为（1-6t）则点M表示的数为 ，点N表示的数为 线段MN的长度不发生变化，其值为4【点睛】此题考查绝对值的意义、数轴、结合数轴求两点之间的距离，掌握数形结合的思想是解决此题的关键4已知实数，在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且，满足两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB（1） ， ， ；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则 ， ；（结果用含t的代数式表示）这种情况下，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；（3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B 变为以每秒n（）个单位长度的速度向右运动，当时，求n的值答案：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）用关于解析：（1）-2，1，5；（2）不变，值为1；（3）或【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）用关于t的式子表示BC和AB即可求解；（3）分别求出当t=3时，A、B、C表示的数，得到AC和BC，根据AC=2BC列出方长，解之即可【详解】解：（1），b是最小的正整数，c-5=0，a+2b=0，b=1，a=-2，b=1，c=5，故答案为：-2，1，5；（2）点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，t秒后，A表示的数为-t-2，B表示的数为2t+1，C表示的数为5t+5，BC=5t+5-（2t+1）=3t+4，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3，BC-AB=3t+4-（3t+3）=1，BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变，BC-AB=1；（3）当t=3时，点A表示-2-3=-5，点B表示1+3n，点C表示5+53=20，AC=20-（-5）=25，BC=，AC=2BC，则25=2，则25=2（19-3n），或25=2（3n-19），解得：n=或【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB，BC的变化情况是关键5阅读下面的材料并解答问题：点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即若是最小的正整数，且满足（1）_，_（2）若将数轴折叠，使得与点重合：点与数_表示的点重合；若数轴上两点之间的距离为2018（在的左侧），且两点经折叠后重合，则两点表示的数是_、_（3）点开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值答案：（1）1，5；（2）3；-1007，1011；（3）不变，值为8【分析】（1）利用非负性可求解；（2）由中点坐标公式可求AC的中点表示的数是2，由折叠的性质可求解；由折叠的性质可求解解析：（1）1，5；（2）3；-1007，1011；（3）不变，值为8【分析】（1）利用非负性可求解；（2）由中点坐标公式可求AC的中点表示的数是2，由折叠的性质可求解；由折叠的性质可求解；（3）利用两点距离公式分别求出AC，AB，表示出3AC-5AB，再化简即可求解【详解】解：（1）b是最小的正整数，b=1，（c-5）2+|a+b|=0c=5，a=-b=-1，故答案为：1，5；（2）将数轴折叠，使得A与C点重合：AC的中点表示的数是（-1+5）2=2，与点B重合的数=2-1+2=3；点P表示的数为2-20182=-1007，点Q表示的数为2+20182=1011，故答案为：-1007，1011；（3）3AC-5AB的值不变理由是：点A表示的数为：-1-2t，点B表示的数为：1+t，点C表示的数为：5+3t，AC=5+3t-（-1-2t）=6+5t，AB=1+t-（-1-2t）=2+3t，3AC-5AB=3（6+5t）-5（2+3t）=8，所以3AC-5AB的值不变，为8【点睛】本题考查了数轴，非负性，折叠的性质，两点距离公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键6已知a是最大的负整数，b是的倒数，c比a小1，且a、b、c分别是A、B、C在数轴上对应的数若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度（1）在数轴上标出点A、B、C的位置；（2）运动前P、Q两点间的距离为 ；运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为 和 ；（3）求运动几秒后，点P与点Q相遇？（4）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于11，直接写出所有点M对应的数答案：（1）见解析；（2）6，3t，t；（3）1.5；（4）3或-3【分析】（1）理解与整数、倒数有关概念，能够正确在数轴上找到所对应的点；（2）根据数轴上两点间的距离的求法，以及路程=速度时间解析：（1）见解析；（2）6，3t，t；（3）1.5；（4）3或-3【分析】（1）理解与整数、倒数有关概念，能够正确在数轴上找到所对应的点；（2）根据数轴上两点间的距离的求法，以及路程=速度时间进行求解；（3）根据速度和时间=路程和，列出方程求解即可；（4）分当M在C点左侧，当M在线段AC上，当M在线段AB上（不含点A），当M在点B的右侧，四种情况列出方程求解【详解】解：（1）a是最大的负整数，a=-1，b是的倒数，b=5，c比a小1，c=-2，如图所示：（2）运动前P、Q两点之间的距离为5-（-1）=6；运动t秒后，点P，点Q运动的路程分别为3t和t，故答案为：6，3t，t；（3）依题意有3t+t=6，解得t=1.5故运动1.5秒后，点P与点Q相遇；（4）设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于11，当M在C点左侧，（-1）-x+5-x+（-2）-x=11解得x=-3，即M对应的数是-3 当M在线段AC上，x-（-2）-1-x+5-x=11，解得：x=-5（舍）；当M在线段AB上（不含点A），x-（-1）+5-x+x-（-2）=11，解得x=3，即M对应的数是3当M在点B的右侧，x-（-1）+x-5+x-（-2）=11，解得：x=（舍），综上所述，点M表示的数是3或-3【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离7阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 （3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和（5）最小值是 ，的最小值是 答案：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；（2）根据两点之间的距离公式计算即可；（3）根据绝解析：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；（2）根据两点之间的距离公式计算即可；（3）根据绝对值的意义可得；（4）根据绝对值的意义可得；（5）分别得出和的意义，再根据数轴的性质可得【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，即|x+1|=2，x=1或-3；（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离；（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；（5）由（4）可知：当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解8如图，在数轴上点表示数，点表示数，满足（1）求，的值；（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，求点表示的数；（3）如图，一小球甲从点处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点处以3个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为（秒）分别表示出（秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含的代数式表示）；求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间答案：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）甲：-2-2t，乙：6-3t；6秒或10秒【分析】（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情解析：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）甲：-2-2t，乙：6-3t；6秒或10秒【分析】（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）根据两个小球的运动情况直接列式即可；根据甲、乙两小球在数轴上表示的数列出关于t的方程，解方程即可【详解】解：（1），a+2=0，b-6=0，解得，a=-2，b=6，故答案为：a=-2，b=6；（2）设数轴上点C表示的数为cAC=2BC，|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|AC=2BCBC，点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上当C点在线段AB上时，则有-2c6，得c+2=2（6-c），解得；当C点在线段AB的延长线上时，则有c6，得c+2=2（c-6），解得c=14故当AC=2BC时，c=或c=14；（3）甲球运动的路程为：2t=2t，OA=2，甲球在数轴上表示的数为-2t-2；乙球运动的路程为：3t=3t，OB=6，乙球在数轴上表示的数为：6-3t；由题意得：，解得：t=10或t=6，甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间为6秒或10秒【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键9如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c7）2=0（1）a=，b=，c=；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC则AB=，AC=，BC=（用含t的代数式表示）（4）请问：3BC2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值答案：（1）-2， 1，c=7；（2）4；（3）3t+3， 5t+9， 2t+6；（4）不变，3BC2AB=12【分析】（1）利用|a2|（c7）20，得a20，c70，解得a，c解析：（1）-2， 1，c=7；（2）4；（3）3t+3， 5t+9， 2t+6；（4）不变，3BC2AB=12【分析】（1）利用|a2|（c7）20，得a20，c70，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b1；（2）先求出对称点，即可得出结果；（3）AB原来的长为3，所以ABt2t33t3，再由AC9，得ACt4t95t9，由原来BC6，可知BC4t2t62t6；（4）由 3BC2AB3（2t6）2（3t3）求解即可【详解】（1）|a2|（c7）20，a20，c70，解得a2，c7，b是最小的正整数，b1；故答案为：2；1；7（2）（72）24.5，对称点为74.52.5，2.5（2.51）4；故答案为：4（3）依题意可得ABt2t33t3，ACt4t95t9，BC2t6；故答案为：3t3；5t9；2t6（4）不变 3BC2AB3（2t6）2（3t3）12【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离10如图，在数轴上，点O是原点，点A，B是数轴上的点，已知点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足（1）在数轴上标出点A，B的位置（2）在数轴上有一个点C，满足，则点C对应的数为_（3）动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动设运动时间为t秒（）当为何值时，原点O恰好为线段PQ的中点若M为AP的中点，点N在线段BQ上，且，若时，请直接写出t的值答案：（1）见解析；（2）；（3）时，点O恰好为线段PQ的中点；当MN=3时 ,的值为或秒【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，得出，画出图形即可；（2）设点C对应的数为x，分两解析：（1）见解析；（2）；（3）时，点O恰好为线段PQ的中点；当MN=3时 ,的值为或秒【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，得出，画出图形即可；（2）设点C对应的数为x，分两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可；（3）分相遇前和相遇后两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可；根据题意得到点Q、点N对应的数，列出绝对值方程即可求解【详解】（1），点A，B的位置如图所示：（2）设点C对应的数为，由题意得：C应在A点的右侧，CA=，当点C在线段AB上时，如图所示：则CB=，CA-CB=，解得：；当点C在线段AB延长线上时，如图所示：则CB=，CA-CB=，方程无解；综上，点C对应的数为；故答案为：；（3）由题意得：，分两种情况讨论：相遇前，如图：，点O恰好为线段PQ的中点，解得：；相遇后，如图：，点O恰好为线段PQ的中点，解得：，此时，不合题意；故时，点O恰好为线段PQ的中点；当运动时间为t秒时，点P对应的数为()，点Q对应的数为()，M为AP的中点，点N在线段BQ上，且，点M对应的数为，点N对应的数为，或，答：当的值为或秒时，【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性以及数轴，解题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面，分类讨论，不要遗漏11以直线AB上一点O为端点作射线OC，使BOC40，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即DOE90（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则COD ；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分AOC，则COD ；（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有CODAOE，求此时BOD的度数答案：（1）50；（2）20；（3）15或52.5【分析】（1）利用余角的定义可求解；（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；（3）可分两种情况：当在的内部时，当在解析：（1）50；（2）20；（3）15或52.5【分析】（1）利用余角的定义可求解；（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；（3）可分两种情况：当在的内部时，当在的外部时，根据角的和差可求解【详解】解：（1）由题意得，故答案为；（2），平分，故答案为；（3）当在的内部时，而，又，；当在的外部时，而，又，综上所述：的度数为或【点睛】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键12如果两个角的差的绝对值等于60，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0小于180的角），例如，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”（1）如图1O为直线上一点，则的“伙伴角”是_（2）如图2，O为直线上一点，将绕着点O以每秒1的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒4的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”（3）如图3，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒6的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由答案：（1）；（2）t为35或15；（3）存在，当t=或时，与互为“伙伴角”【分析】（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解；（2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程解析：（1）；（2）t为35或15；（3）存在，当t=或时，与互为“伙伴角”【分析】（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解；（2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程，解出时间t；（3）根据OI在AOB的内部和外部以及AOP和AOI的大小分类讨论，分别画出对应的图形，由旋转得出经过t秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出AOI和POI及“伙伴角”的定义求出结果即可【详解】解：（1）两个角差的绝对值为60，则此两个角互为“伙伴角”，而，设其伙伴角为，则，由图知，的伙伴角是（2）绕O点，每秒1逆时针旋转得，则t秒旋转了，而从开始逆时针绕O旋转且每秒4，则t秒旋转了，此时，又与重合时旋转同时停止，（秒），又与互为伙伴角，秒或15秒答：t为35或15时，与互为伙伴角（3）若OI在AOB的内部且OI在OP左侧时，即AOPAOI，如下图所示 从出发绕O顺时针每秒6旋转，则t秒旋转了，平分，AOM=IOM=3t此时6t160解得：t射线平分，ION=MON=IOMION=（）=AOB=80射线平分POM=40POI=POMIOM=403t根据题意可得即解得：t=或（不符合实际，舍去）此时AOI=6=AOP=AOMMOP=（3）40=AOI，符合前提条件t=符合题意；若OI在AOB的内部且OI在OP右侧时，即AOPAOI，如下图所示 从出发绕O顺时针每秒6旋转，则t秒旋转了，平分，AOM=IOM=3t此时6t160解得：t射线平分，ION=MON=IOMION=（）=AOB=80射线平分POM=40POI=IOMPOM =3t40根据题意可得即解得：t=或（不符合实际，舍去）此时AOI=6=40AOP=AOMMOP=（3）40=60AOI，不符合前提条件t=不符合题意，舍去；若OI在AOB的外部但OI运动的角度不超过180时，如下图所示 从出发绕O顺时针每秒6旋转，则t秒旋转了，平分，AOM=IOM=3t此时解得：t30射线平分，ION=MON=IOMION=（）=AOB=80射线平分POM=40POI=IOMPOM =3t40根据题意可得即解得：t=（不符合前提条件，舍去）或（不符合实际，舍去）此时不存在t值满足题意；若OI运动的角度超过180且OI在OP右侧时，即AOIAOP如下图所示 此时解得： t30从出发绕O顺时针每秒6旋转，则t秒旋转了，平分，AOM=IOM=1803t射线平分，ION=MON=IOMION=（）=（360AOB）=100射线平分POM=50POI=IOMPOM =1303t根据题意可得即解得：t=（不符合，舍去）或（不符合，舍去）此时不存在t值满足题意；若OI运动的角度超过180且OI在OP左侧时，即AOIAOP，如下图所示 此时解得： t30从出发绕O顺时针每秒6旋转，则t秒旋转了，平分，AOM=IOM=1803t射线平分，ION=MON=IOMION=（）=（360AOB）=100射线平分POM=50POI=POMIOM =3t130根据题意可得即解得：t=或（不符合，舍去）此时AOI=3606=AOP=AOMMOP=180（3）50=AOI，符合前提条件t=符合题意；综上：当t=或时，与互为“伙伴角”【点睛】本题考查了角的计算、旋转的性质、一元一次方程的运用及角平分线性质的运用，解题的关键是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解13已知是关于x的二次二项式，A，B是数轴上两点，且A，B对应的数分别为a，b（1）求线段AB的中点C所对应的数；（2）如图，在数轴上方从点C出发引出射线CD，CE，CF，CG，且CF平分ACD，CG平分BCE，试猜想DCE与FCG之间是否存在确定的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，已知DCE=20，ACE=30，当DCE绕着点C以2/秒的速度逆时针旋转t秒()时，ACF和BCG中的一个角的度数恰好是另一个角度数的两倍，求t的值答案：（1）7；（2）；（3）或【分析】（1）根据是关于x的二次二项式可知，求出a、b的值即为A、B对应的数，即可求出C点对应的数（2）根据角平分线可知，即可求出再根据题意可知，代入整理解析：（1）7；（2）；（3）或【分析】（1）根据是关于x的二次二项式可知，求出a、b的值即为A、B对应的数，即可求出C点对应的数（2）根据角平分线可知，即可求出再根据题意可知，代入整理即可得到（3）根据题意可用t表示出和再分类讨论当时和当时，列出的关于t的一元一次方程，解出t即可【详解】（1）根据题意可得出 ，解得，即A、B对应的数分别为16、-2，C对应的数为（2）CF平分ACD，CG平分BCE，即，即故存在数量关系，为：（3），即 ，当时，即，解得：且小于65，当时，即，解得：且小于65综上可知或时符合题意【点睛】本题考查多项式的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，结合分类讨论以及数形结合的思想是解答本题的关键14如图 1，射线OC 在AOB 的内部，图中共有 3 个角：AOB 、AOC 和BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB 的奇妙线（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线（填是或不是）（2）如图 2，若MPN = 60 ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10 的速度逆时针旋转， 当QPN 首次等于180 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) 当t 为何值时，射线 PM 是QPN 的奇妙线？ 若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转请求出当射线 PQ 是MPN 的奇妙线时t 的值 答案：（1）是；（2）9或12或18；或或 【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM =2MPN列出方程求解即可；分解析：（1）是；（2）9或12或18；或或 【分析】（