2007～2014年全国初中数学联赛试题.pdf

以 以代 代代 代7 7?全全?初初中中数数学学联联合合竞竞赛赛 试试题题参参考考答答案案及及评评?标标准准 说明?评阅试卷时?请依据本评?标准.第一试?选择题和填空题只设 7?和 代?档?第二试各题?请?格按照本评?标准规定的评?档次给?要再增加?他中间档次.如果考生的解答方法和本解答?同?只要思路合理?骤?确?在评卷时请参照本评?标准划?的档次?给予相?的?数.第第一一试试 一一?选选择择题题?本本题题满满?4 4以 以?小小题题 7 7?本本题题共共有有 6 6 小小题题?题题均均给给出出了了?号号为为DCBA,的的四四个个答答案案?中中有有且且仅仅有有一一个个是是?确确的的.将将你你所所选选择择的的答答案案的的?号号填填在在题题后后的的括括号号内内.?小小题题选选对对得得 7 7?选选?选选错错或或选选出出的的?号号?母母超超过过一一个个?论论是是否否写写在在括括号号内内?一一律律得得 代 代?.令 令.已已知知zyx,满满足足xzzyx+=532?则则zyyx25+的的值值为为?A A?令 令.?B B?31.?C C?31.?21.?答?B.解解 由xzzyx+=532得xzxy23,3=?所?31333525=+=+xxxxzyyx?故选?B?.注?本题也可用特殊值法来判断.以 以?当当x?别别取取值值20071?20061?20051?21?1?2?2005?2006?2007时时?计计 算算?数数 式式2211xx+的的 值值?将将 所所 得得 的的 结结 果果 相相 加加?和和 等等 于于?A A?令 令.?B B?令 令.?C C?代 代.?以 以代 代代 代7 7.?答?C.解解 因为=+222211)1(1)1(1nnnn011112222=+nnnn?即当x?别取值n1?nn(为?整数?时?计算所得的?数式的值之和为 代?而当1=x时?0111122=+.因?当x?别取值2007?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 1?共 8?20071?20061?20051?21?1?2?2005?2006?2007时?计算所得各?数式的值之和为 代.故选?C?.3 3.设设cba,是是ABC的的?边边长长?二二次次函函数数2)2(2bacxxbay=在在1=x时时取取最最小小值值b58?则则ABC是是?A A?等等腰腰?角角形形.?B B?锐锐角角?角角形形.?C C?钝钝角角?角角形形.?直直角角?角角形形.?答?.解解 由题意可得=,5822,1)2(2bbacbabac即=+,53,2bcacb所?bc53=?ba54=?因?222bca=+?所?ABC是直角?角形.故选?.4 4.已已知知锐锐角角ABC的的?点点A到到垂垂心心H的的距距离离等等于于它它的的外外接接圆圆的的半半径径?则则A的的度度数数是是?A A?3 3代 代.?B B?4 45 5.?C C?6 6代 代.?7 75 5.?答答?C.解解 锐角ABC的垂心在?角形内部?如?设ABC的外心为O?D为BC的中点?BO的延长线交O于点E?连CE?AE?则CE/AH?AE/CH?则ODCEAHOB2=?所?OBD?3代?BOD?6代?所?A?BOD?6代.故选?C?.5 5?设设K是是ABC内内任任意意一一点点?KAB?KBC?KCA的的重重心心?别别为为D?E?F?则则ABCDEFSS:的的值值为为?A A?91.?B B?92.?C C?94.?32.?答?A.解解?别延长KD?KE?KF?ABC的?边AB?BC?CA交于点M?N?P?由于D?E?F?别为KAB?KBC?KCA的重心?易知M?N?P?别为AB?BC?CA的中点?所?ABCMNPSS41=.A E C B D O H 易证DEFMNP?且相似比为3:2?所?MNPDEFSS2)32(=ABCS4194=ABCS91=.所?:DEFS19ABCS=.故选?A?.6 6?袋袋中中装装有有 5 5 个个红红球球?6 6 个个黑黑球球?7 7 个个?球球?从从袋袋中中摸摸出出 令 令5 5 个个球球?摸摸出出的的球球中中恰恰好好有有3 3个个红红球球的的概概率率是是?A A?101.?B B?51.?C C?103.?52.?答?B.解解 设摸出的 令5 个球中有x个红球?y个黑球?z个?球?则zyx,都是?整数?且7,6,5zyx?15=+zyx.因为13+zy?所?x可取值 以?3?4?5.当2=x时?只有一种可能?即7,6=zy?当3=x时?12=+zy?有 以 种可能?7,5=zy或6,6=zy?当4=x时?11=+zy?有 3 种可能?7,4=zy或6,5=zy或5,6=zy?当5=x时?10=+zy?有 4 种可能?7,3=zy或6,4=zy或5,5=zy或4,6=zy.因?共有 令?以?3?4?令代 种可能的摸球结果?中摸出的球中恰好有 3 个红球的结果有 以 种?所?所求的概率为51102=.故选?B?.二二?填填空空题题?本本题题满满?以 以8 8?小小题题 7 7?令 令.设设121=x?a是是x的的 小小 数数 部部?b是是x的的 小小 数数 部部?则则=+abba333_ _ _ _ _令 令_ _ _ _.解解?12121+=x?而3122+?122=xa.又?12=x?而2123?22)3(=xb.?1=+ba?2007?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 2?共 8?=+abba333=+abbababa3)(221)(3222=+=+baabbaba.以 以.对对于于一一?小小于于 以 以 的的自自然然数数n?关关于于x的的一一元元二二次次方方程程22(2)20 xnxn+=的的?个个根根记记作作nnba,?2n?则则)2)(2(122ba)2)(2(133+baL+)2)(2(120072007+ba称 称.10034016 解解 由根?系数的关系得2+=+nbann?22nnabn=?所?=)2)(2(nnba(2nnba4)+nnba222(2)42(1)nnn n=+=+?则111 11()(2)(2)2(1)21nnabn nnn=+?)2)(2(122ba)2)(2(133+baL+)2)(2(120072007+ba?11111111 111003()()()()22334200720082 220084016+=L.3 3.已已知知直直角角梯梯形形ABCD的的四四条条边边长长?别别为为6,10,2=ADCDBCAB?过过B?D?点点作作圆圆,?BA的的延延长长线线交交于于点点E?CB的的延延长长线线交交于于点点F?则则BFBE的的值值为为_ _ _ _ _4 4_ _ _ _ _ _.解解 延长CD交O于点G?设DGBE,的中点?别为点NM,?则易知DNAM=.因为10=CDBC?由割线定理?易证DGBF=?所?42)(2)(2=ABAMBMDNBMDGBEBFBE.4 4?若若64100+a和和64201+a均均为为四四位位数数?且且均均为为完完全全?方方数数?则则整整数数a的的值值是是_ _ _ _令 令7 7_ _ _ _ _.解解 设设264100ma=+?264201na=+?则则100,32nm?式式相相?得得 )(10122mnmnmna+=?因为 令代令 是质数?且101101,0)9)(4(4)46(,042222nmnmm 22,4(6)0,mmn=,6,2mnm所?=,2,3nm或=.1,6nm 二二?本本题题满满?以 以5 5?如?四边形ABCD是梯形?点E是?边AD?一点?CE的延长线?BA的延长线交于点F?过点E作BA的?行线交CD的延长线于点M?BM?AD交于点N.证明?AFN称DME.证证明明 设MN?EF交于点P?NE/BC?PNEPBC?PCPEPBPN=,?PCPNPEPB=.A B C D E F M N P 2007?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 4?共 8?又?ME/BF?PMEPBF?PFPEPBPM=,?PFPMPEPB=.?PFPMPCPN=,故PFPCPNPM=又FPN称MPE?PFPC?PF?PC?F/C?AF?.又?/BF?FA?.?AF?FA?AF称.?本本 题题 满满?以 以5 5?已 知a是?整 数?如 果 关 于x的 方 程056)38()17(23=+xaxax的根都是整数?求a的值及方程的整数根.解解 观察易知?方程有一个整数根11=x?将方程的左边?解因式?得 056)18()1(2=+xaxx 因为a是?整数?所?关于x的方程 056)18(2=+xax?令?的判别式0224)18(2+=a?它一定有?个?同的实数根.而原方程的根都是整数?所?方程?令?的根都是整数?因?它的判别式224)18(2+=a?该是一个完全?方数.设22224)18(ka=+?中k为非负整数?则224)18(22=+ka?即 224)18)(18(=+kaka.显 然ka+18?ka+18的 奇 偶 性 相 同?且1818+ka?而8284562112224=?所?=+=+,218,11218kaka或=+=+,418,5618kaka或=+=+,818,2818kaka解得=,55,39ka或=,26,12ka或=,10,0ka 而a是?整数?所?只可能=,55,39ka或=.26,12ka 当39=a时?方程?令?即056572=+xx?它的?根?别为1和56.?时原方程的?个根为 令?1和56.2007?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 5?共 8?当12=a时?方程?令?即056302=+xx?它的?根?别为2和28.?时原方程的?个根为 令?2和28.第第二二试试?B B?一一?本本题题满满?以 以代 代?设nm,为?整数?且2m?二次函数mtxmtxy3)3(2+=的?象?x轴的?个交点间的距离为1d?二次函数ntxntxy2)2(2+=的?象?x轴的?个交点间的距离为2d.如果21dd 对一?实数t恒成立?求nm,的值.解解 因为一元二次方程03)3(2=+mtxmtx的?根?别为mt和3?所?31+=mtd?一元二次方程02)2(2=+ntxntx的?根?别为t 2和n?所?ntd+=22.所?21dd 22)2()3(23ntmtntmt+09)46()4(222+ntnmtm?令?由题意知?042m?且?令?式对一?实数t恒成立?所?=,0)9)(4(4)46(,042222nmnmm 22,4(6)0,mmn=,6,2mnm所?=,2,3nm或=.1,6nm 二二?本本题题满满?以 以5 5?题题目目和和解解答答?A A?卷卷第第二二题题相相同同.?本本题题满满?以 以5 5?设a是?整数?二次函数axaxy+=38)17(2?反比例函数xy56=?如果?个函数的?象的交点都是整点?横坐标和纵坐标都是整数的点?求a的值.解解 联立方程组=+=,56,38)17(2xyaxaxy消去y得axax+38)17(2x56=?即 2007?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 6?共 8?056)38()17(23=+xaxax?解因式得 056)18()1(2=+xaxx?令?显然11=x是方程?令?的一个根?令?56?是?个函数的?象的一个交点.因为a是?整数?所?关于x的方程 056)18(2=+xax?以?的判别式0224)18(2+=a?它一定有?个?同的实数根.而?个函数的?象的交点都是整点?所?方程?以?的根都是整数?因?它的判别式224)18(2+=a?该是一个完全?方数.设22224)18(ka=+?中k为非负整数?则224)18(22=+ka?即 224)18)(18(=+kaka.显 然ka+18?ka+18的 奇 偶 性 相 同?且1818+ka?而8284562112224=?所?=+=+,218,11218kaka或=+=+,418,5618kaka或=+=+,818,2818kaka解得=,55,39ka或=,26,12ka或=,10,0ka 而a是?整数?所?只可能=,55,39ka或=.26,12ka 当39=a时?方程?以?即056572=+xx?它的?根?别为1和56?时?个函数的?象?有?个交点)56,1(和)1,56(.当12=a时?方程?以?即056302=+xx?它的?根?别为2和28?时?个函数的?象?有?个交点)28,2(和)2,28(.第第二二试试?C C?一一?本本题题满满?以 以5 5?题题目目和和解解答答?B B?卷卷第第一一题题相相同同.二二?本本题题满满?以 以5 5?题题目目和和解解答答?A A?卷卷第第二二题题相相同同.?本本题题满满?以 以5 5?设a是?整数?如果二次函数axaxy710)232(22+=和反比例函数xay311=的?象有公共整点?横坐标和纵坐标都是整数的点?求a的值和对?的公共整点.解解 联立方程组=+=,311,710)232(22xayaxaxy消去y得axax710)232(22+?11 3ax?即0113)710()232(223=+axaxax?解因式得 0311)12()12(2=+axaxx?令?如果?个函数的?象有公共整点?则方程?令?必有整数根?从而关于x的一元二次方程 0311)12(2=+axax?以?必有整数根?所?一元二次方程?以?的判别式?该是一个完全?方数?而224)18(10036)311(4)12(222+=+=+=aaaaa.所?224)18(2+a?该是一个完全?方数?设22224)18(ka=+?中k为非负整数?则224)18(22=+ka?即224)18)(18(=+kaka.显 然ka+18?ka+18的 奇 偶 性 相 同?且1818+ka?而8284562112224=?所?=+=+,218,11218kaka或=+=+,418,5618kaka或=+=+,818,2818kaka解得=,55,39ka或=,26,12ka或=,10,0ka 而a是?整数?所?只可能=,55,39ka或=.26,12ka 当39=a时?方程?以?即0106512=+xx?它的?根?别为 以 和53?易求得?个函数的?象有公共整点)53,2(和)2,53(.当12=a时?方程?以?即025242=+xx?它的?根?别为 令 和25?易求得?个函数的?象有公共整点)25,1(和)1,25(.71a=以 以代 代代 代9 9?全全?初初中中数数学学联联合合竞竞赛赛试试题题 第第一一试试 一一?选选择择题题?本本题题满满?4 4以 以?小小题题 7 7?32312612aaa+=令.设?则?A?A.以4.B.以5.C.4 710+.4 712+.以 以?在ABC 中?最大角A 是最小角C 的?倍?且 AB?7?AC?8?则 BC?C?A.7 2.B.10.C.105.7 3.3 3?用 x表示?大于x的最大整数?则方程22 30 xx=的解的个数为?C?A.令.B.以.C.3.4.4 4?设?方形 ABC 的中心为点 O?在?五个点 A?B?C?O 为?点所构成的所有?角形中任意取出?个?它们的面?相等的概率为?B?A.314.B.37.C.12.47.5 5?如?在矩形 ABC 中?AB?3?BC?以?BC 为直径在矩形内作半圆?自点 A 作半圆的?线 A?则sinCB?A.63.B.23.C.13.1010.6 6?设n是大于 令9代9 的?整数?使得19092009nn为完全?方数的n的个数是?B?A.3.B.4.C.5.6.二二?填填空空题题?本本题题满满?以 以8 8?小小题题 7 7?令 令?已知t是实数?若,a b是关于x的一元二次方程2210 xxt+=的?个非负实根?则22(1)(1)ab的最小值是_3_.以 以?设 是ABC 的边 AB?的一点?作/BC 交 AC 于点?作 F/AC 交 BC 于点 F?DABCE已知A?BF 的面?别为m和n?则四边形 CF 的面?为_2 mn_.3 3?如 果 实 数,a b满 足 条 件221ab+=?22|12|21ababa+=?则ab+=_1_.4 4?已知,a b是?整数?且满足15152()ab+是整数?则?样的有序数对(,)a b共有_7_对.第第二二试试 一一?本本题题满满?以 以代 代?已知二次函数2(0)yxbxcc=+的?象?x轴的交点?别为 A?B?y轴的交点为 C.设ABC 的外接圆的圆心为点 P.?令?证明?P?y轴的另一个交点为定点.?以?如果 AB 恰好为P 的直径且2ABCS?求b和c的值.解解?令?易求得点C的坐标为(0,)c?设1A(,0)x?2B(,0)x?则12xxb+=?12x xc=.设P?y轴的另一个交点为?由于 AB?C 是P 的?条相交弦?它们的交点为点 O?所?OAOB?OCO?则121x xcOA OBODOCcc=.因为0c?所?点C在y轴的负半轴?从而点 在y轴的?半轴?所?点 为定点?它的坐标为(代,令).?以?因为 ABC?如果 AB 恰好为P 的直径?则 C?关于点 O 对?所?点C的坐标为(0,1)?即1c=.又222121212()4()44ABxxxxx xbcb=+=+?所?2114 1222ABCSAB OCb=+=?解得2 3b=.二二?本本题题满满?以 以5 5?已知ABC 中?ACB?9代?AB 边?的高线 CH?ABC 的?条内角?线 A?B?别交于 P?Q?点.P?Q 的中点?别为?F.求证?FAB.FQEPHNMACB 解解 因为 B 是ABC 的?线?所?ABNCBN=.又因为 CHAB?所?CQNBQH90ABN90CBNCNB=?因?CQNC=.又 F 是 Q 的中点?所?CFQ?所?CFB90CHB=?因?C?F?H?B 四点共圆.又FBH=FBC?所?FC?FH?故点 F 在 CH 的中垂线?.同理可证?点 在 CH 的中垂线?.因?FCH.又 ABCH?所?FAB.?本本题题满满?以 以5 5?已知,a b c为?数?满足如?个条件?32abc+=?14bcacababcbccaab+=?是否?在?,abc为?边长的?角形？如果?在?求出?角形的最大内角.解解法法 令 令 将?式相乘?得()()8bcacababcabcbccaab+=?即222222()()()8bcacababcbccaab+=?即222222()()()440bcacababcbccaab+=?即222222()()()0bcacababcbccaab+=?即()()()()()()0bca bcacab cababc abcbccaab+=?即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc+=?即222()20bcaababcabc+=?即22()()0bcacababc+=?即()()()0bcacab cababc+=?所?0bca+=或0cab+=或0cab+=?即bac+=或cab+=或cba+=.因?,abc为?边长可构成一个直角?角形?它的最大内角为 9代.解解法法 以 以 结合?式?由?式可得32232232214abcbccaab+=?变形?得222110242()4abcabc+=?又由?式得2()1024abc+=?即22210242()abcabbcca+=+?入?式?得11024210242()4abbccaabc+=?即16()4096abcabbcca=+.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc=[phone]=+=?所?16a=或16b=或16c=.结合?式可得bac+=或cab+=或cba+=.因?,abc为?边长可构成一个直角?角形?它的最大内角为 9代.以 以代 代令 令代 代?全全?初初中中数数学学联联合合竞竞赛赛试试题题参参考考答答案案及及评评?标标准准 说明?评阅试卷时?请依据本评?标准.第一试?选择题和填空题只设 7?和 代?档?第二试各题?请按照本评?标准规定的评?档次给?.如果考生的解答方法和本解答?同?只要思路合理?骤?确?在评卷时请参照本评?标准划?的档次?给予相?的?数.第第一一试试 一一?选选择择题题?本本题题满满?4 4以 以?小小题题 7 7?令.若,a b c均为整数且满足1010()()1abac+=?则|abbcca+=?A?令.B?以.C?3.?4.?答?B.因为,a b c均为整数?所?ab和ac均为整数?从而由1010()()1abac+=可得|1,|0abac=或|0,|1.abac=若|1,|0,abac=则ac=?从而|abbcca+=|2|2abbaaaab+=.若|0,|1,abac=则ab=?从而|abbcca+=|2|2aaaccaac+=.因?|abbcca+=以.以 以?若实数,a b c满足等式23|6ab+=?49|6abc=?则c可能取的最大值为?A?代.B?令.C?以.?3.?答?C.由?个已知等式可得32(3),|(2)55acbc=+=?而|0b?所?2c.当2c=时?可得9,0ab=?满足已知等式.所?c可能取的最大值为 以.3 3?若ba,是?个?数?且,0111=+abba 则?A?103ab+.B?113ab+.C?413ab+.?423abab 0ab+?所?10ab+?从而.1+ba 另一方面?由22()()44abababab+=+可得4)(2baab+?结合?式可得14abab+?所?.34+ba 因?413ab?所?点 P 在ABC 的外面?符合题意?舍去.因?PB10=.4 4?将若?个红?黑?种颜色的球摆成一行?要求?种颜色的球都要出现?且任意中间夹有 5 个或 令代 个球的?个球必为同一种颜色的球.按?种要求摆放?最多可?摆放_EFPACB个球.?答答?令5.将?些球的位置按?序标号为 令?以?3?4?.由于 令 号球?7 号球中间夹有 5 个球?令 号球?令以 号球中间夹有 令代 个球?令以 号球?6号球中间夹有 5 个球?7 号球?令3 号球中间夹有 5 个球?令3 号球?以 号球中间夹有 令代 个球?以 号球?8 号球中间夹有 5 个球?8 号球?令4 号球中间夹有 5 个球?令4 号球?3 号球中间夹有 令代 个球?3 号球?9 号球中间夹有 5 个球?9 号球?令5 号球中间夹有 5 个球?令5 号球?4 号球中间夹有 令代 个球?4 号球?令代 号球中间夹有 5 个球?因?编号为 令?7?令以?6,令3?以?8?令4?3?9?令5?4?令代 的球颜色相同?编号为 5?令令 的球可?为另外的一种颜色.因?可?按照要求摆放 令5 个球.如果球的个数多于 令5 个?则一方面?令6 号球?令代 号球?同色?另一方面?5 号球?令6 号球中间夹有 令代 个球?所?5 号球?令6 号球同色?从而 令 到 令6 号球的颜色都相同?进一?可?知道?所有的球的颜色都相同?要求?符.因?按?种要求摆放?最多可?摆放 令5 个球.第第二二试试?A A?一一?本本题题满满?以 以代 代?设整数,a b c?abc?为?角形的?边长?满足22213abcabacbc+=?求符合条件且周长?超过 3代 的?角形的个数.解解 由已知等式可得 222()()()26abbcac+=?,abm bcn=?则acmn=+?中,m n均为自然数.于是?等式?变为222()26mnmn+=?即 2213mnmn+=?由于,m n均为自然数?判断易知?使得等式?成立的,m n只有?组?3,1mn=和1,3.mn=令代?令?当3,1mn=时?1bc=+?34abc=+=+.又,a b c为?角形的?边长?所?bca+?即(1)4ccc+?解得3c.又因为?角形的周长?超过 3代?即(4)(1)30abcccc+=+?解得253c.因?2533c?即(3)4ccc+?解得1c.又因为?角形的周长?超过 3代?即(4)(3)30abcccc+=+?解得233c.因?2313c?所?c可?取值 以?3?4?5?6?7?对?可得到 6 个符合条件的?角形.综 合 可 知?符 合 条 件 且 周 长?超 过3代的?角 形 的 个 数 为5?6?令令.以代?二二?本本题题满满?以 以5 5?已知等腰?角形ABC 中?AB?AC?C 的?线?AB 边交于点 P?为ABC 的内?圆I?BC 边的?点?作/AC?交I 于点.证明?P 是I 的?线.证证明明 过点 P 作I 的?线 PQ?点为 Q?并延长?交 BC 于点.因为 CP 为ACB 的?线?所?ACP?BCP.又因为 PA?PQ 均为I 的?线?所?APC?PC.又 CP 公共?所?ACPCP?令代?所?PAC?PC.由?Q?BA?BC?所?QBAC?故Q?ACB?所?Q/AC.以代?又因为/AC?所?和 Q 为同一条直线.又点 Q?均在I?所?点 Q 和点 重合?故 P 是I 的?线.以5?本本题题满满?以 以5 5?已知二次函数2yxbxc=+错错误误！未未找找到到引引用用源源?的?象?过?点P(1,)a?Q(2,10)a.?令?如果,a b c都是整数?且8cba?求,a b c的值.?以?设二次函数2yxbxc=+错错误误！未未找找到到引引用用源源?的?象?x轴的交点为 A?B?y轴的交点为 C.错错误误！未未找找到到引引用用源源?如果关于x的方程20 xbxc+=的?个根都是整数?求ABC 的面?.解 点 P(1,)a?Q(2,10)a在二次函数2yxbxc=+错错误误！未未找找到到引引用用源源?的?象?故1 bca+=?4210aca+=?解得93ba=?82ca=.5?令?由8cba知8293,938,aaaa解得13a?则01k.因为12xxp+=为整数?如果21,xx中至少有一个为整数?则21,xx都是整数.又因为p为质数?由?式知2|1+xp或2|2+xp?妨设2|1+xp?则可设12xmp+=?中m为非零整数?则由?式可得212kxm+=?令5?故121(2)(2)kxxmpm+=+?即1214kxxmpm+=+?又12xxp+=?所?14kpmpm+=+?即 41)1(=+mkpm?以代?如果m为?整数?则(1)(1 1)36mp+=?10km?从而1(1)6kmpm+?式矛盾.如果m为负整数?则(1)0mp+?10km?从而1(1)0kmpm+k时?方程04)1(2=+pkpxx?可能有整数根?综?所述?1=k?以5?以 以代 代令 令令 令?全全?初初中中数数学学联联赛赛决决赛赛试试卷卷 一?选择题 令?一个凸多边形的?一个内角都等于 令5代?则?个凸多边形所有对角线的条数总共有?A?4以 条 B?54 条 C?66 条?78 条 以?如?矩形ABC的对角线相交于O?A?BA交BC于?若CA?令5?则BO?A?3代 B?45 C?6代?75 3?设方程()()0 xa xbx=的?根是c?d?则方程()()0 xc xdx+=的?根 是?A?a?b B?a?b C?c?d?c?d 4?若?等式2133xxa+有解?则实数a的最小值是?A?令 B?以 C?4?6 5?若一个?角形的任意?条边都?相等?则?它为?规则?角形?用一个?方体?的任意?个?点构成的所有?角形中?规则?角形?的个数是?A?令8 B?以4 C?3代?36 6?定方程2225xy=的?整数解?x?y?的组数是?A?代 组 B?以 组 C?4 组?无穷多组?二?填空题?本大题满?以8?小题 7?本题共有 4 小题?要求直接将答案写在横线?令?二次函数22yxax=+的?象关于直线x称令 对?则y的最小值是_?以?已知31a=?则20122011201022aaa+的值为_?3?已知ABC中?AB?39?BC?6?CA?3?点是BC的中点?过点B作A延长线的垂线?垂足为?则线段B的长度是_?4?一次棋赛?有n个女选手和 9n个男选手参赛?位选手都?余 令代n?令 个选手各对局一次?计?方式为?胜者得 以?负者得 代?局各得 令?比赛结束后统计发现?所有男选手的得?总和是所有女选手得?总和的 4 倍?则n的所有可能值是_?解答题?本题共?小题?第 令 题 以代?第 以?3 题各 以5?令?本题满?以代?已知x令?x以是关于x的一元二次方程22(31)210 xaxa+=的?个实数根?使得1212(3)(3)80 xxxx=成立?求实数a的所有可能值?OEDCBA 以?本题满?以5?抛物线2yaxbxc=+的?象?x轴有?个交点?x令?代?x以?代?且?过点A?代?令?中 代积x令积x以?过点A的直线l?x轴交于点C?抛物线交于点B?异于点A?满足CA是等腰直角?角形?且分B称52分A?求该抛物线的解析式?3?本题满?以5?如?A?AH?别是ABC?中ABAC?的角?线?高线?是A的中点?H的外接圆交 C 于?求证?AB?9代?EHMDCBA以代令令?全?初中数学联合竞赛试题参考答案 一?选择题 令?B 以?3?A 4?C 5?B 6?A 二?填空题 令?令 以?代 3?23 4?令?解答题 令?已知21,xx是关于x的一元二次方程012)13(22=+axax的?个实数根?使得80)3)(3(2121=xxxx成立?求实数a的所有可能值?解?由条件知056)12(4)13(222+=aaaa?解得5a或1a?5?又由根?系数的关系知)13(21=+axx?12221=axx?于是21221212221212116)(310)(3)3)(3(xxxxxxxxxxxx+=+=19185)12(16)13(3222+=aaaa?令代?由80191852=+aa?解得3=a?舍去?或533=a?令5?于是533=a?综?所述?所求的实数533=a?以代?以?本题满?以5?抛物线cbxaxy+=2的?象?x轴有?个交点)0,(),0,(21xNxM?且?过点)1,0(A?中210 xx?的角?线?高线?M是AD的中点?MDH的外接圆交CM于E?求证?o90=AEB?证明?如?连结EHMH,?M是AHDRt斜边AD的中点?MDMHMA=?5?MDHMHD=?EHDM,四点共圆?MDHCEH=?HECMDHMHD=?MEHHECMHDMHC=oo180180?令代?HMECMH=,?CMHHME?MHMEMCMH=,即MCMEMH=2?令5?MCMEMA=2,又?AMECMA=?CMAAME,?MAEMCA=?以代?MAEBADDHEBAEBHE+=+MCAMACDHE+=o180=+=DMEDHE?EHBA,四点共圆?o90=AHBAEB.?以5?HMEDCBA 以 以代 代令 令以 以?全全?初初中中数数学学联联合合竞竞赛赛试试题题参参考考答答案案及及评评?标标准准 第第一一试试 一一?选选择择题题?本本题题满满?4 4以 以?小小题题 7 7?令 令?已 知21a=?32b=?62c=?那?,a b c的 大 小 关 系 是?A.abc B.acb C.bac .bca?答?C.因 为121a=+?132b=+?所?110ab?故ba?所?621+?故ca.因?bac?时k和1k 互质?所?25 2,11,mkk=或25,12,mkk=或22,15,mkk=解2012?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 2?共 5?得5,4km=.因?满足要求的整数m只有 令 个.3 3?在ABC 中?已知 AB?AC?A?4代?P 为 AB?一点?ACP?以代?则BCAP?答答?3.设 为 BC 的中点?在ABC 外作CA?以代?则BA?6代.作 CA?PFA?则易证ACAC?所?C?C?12BC.又 PF?PAsinBA?PAsin6代?32AP?PF?C?所?32AP?12BC?因?BCAP?3.4 4?已知实数,a b c满足1abc=?4abc+=?22243131319abcaabbcc+=?则222abc+?答答?332.因为22313(3)(1)(1)(1)aaaaabca bcaa bcbca bc=+=+=+=?所?2131(1)(1)aaabc=.同理可得2131(1)(1)bbbac=?2131(1)(1)cccab=.结合22243131319abcaabbcc+=可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9bcacab+=?所?4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9abcabc=+.结合1abc=?4abc+=?可得14abbcac+=.2012?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 3?共 5?FEDBCAP因?222233()2()2abcabcabbcac+=+=.实际?满足条件的,a b c可?别为1 1,42 2.第第二二试试?A A)一一?本本题题满满?以 以代 代?已知直角?角形的边长均为整数?周长为 3代?求它的外接圆的面?.解解 设直角?角形的?边长?别为,a b c?abc?则30abc+=.显然?角形的外接圆的直径即为斜边长c?面先求c的值.由abc及30abc+=得303abcc=+.由abc+及30abc+=得302abcc=+?所?15c.又因为c为整数?所?1114c.5?根 据 勾 股 定 理 可 得222abc+=?把30cab=?入?化 简 得30()4500abab+=?所?22(30)(30)4502 35ab=?令代?因 为,a b均 为 整 数 且ab?所?只 可 能 是22305,302 3,ab=解 得5,12.ab=令5?所?直 角?角 形 的 斜 边 长13c=?角 形 的 外 接 圆 的 面?为1694.以代?二二?本本题题满满?以 以5 5?如?PA 为O 的?线?PBC 为O 的割线?AOP 于点.证明?2ADBD CD=.DPOABC 以代令以?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 令?共 4?证证明明?连接 OA?OB?OC.?OA AP?A OP?由 射 影 定 理 可 得2PAPD PO=?2ADPD OD=.5?又由?割线定理可得2PAPB PC=?PB PCPD PO=?B?C?O 四点共圆?令代?PB?PCO?OBC?OC?PB?CO?PBCO?以代?PDBDCDOD=?2ADPD ODBD CD=.以5?本本题题满满?以 以5 5?已知抛物线216yxbxc=+的?点为 P?x轴的?半轴交于 A1(,0)x?B2(,0)x?12xx?点?y轴交于点 C?PA 是ABC 的外接圆的?线.设3(0,)2?若 A/BC?求抛物线的解析式.解解 易求得点 P23(3,)2bbc+?点 C(0,)c.设ABC 的外接圆的圆心为?则点 P 和点 都在线段 AB 的垂直?线?设点 的坐标为(3,)b m.显然?12,x x是一元二次方程2106xbxc+=的?根?所?21396xbbc=+?22396xbbc=+?又AB的 中 点的 坐 标 为(3,0)b?所?A?296bc+.5?因为 PA 为 的?线?所?PAA?又 AP?所?由射影定理可得2AEPE DE=?即2223(96)()|2bcbcm+=+?又易知0m?所?可得6m=.令代?又由 A?C 得22DADC=?即22222(96)(30)()bcmbmc+=+?把6m=?入后可解得6c=?另一解0c=舍2012?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 4?共 7?去?.令5?又因为A/BC?所?OAOMOBOC=?即223|3962|6|396bbcbbc+=+.以代?把6c=?入解得52b=?另一解52b=舍去?.因?抛物线的解析式为215662yxx=+.以5?以代令以?全?初中数学联合竞赛试题参考答案及评?标准 第 令?共 5?以代令3 全?数学联赛 初初中中数数学学竞竞赛赛试试题题参参考考答答案案 一一?选选择择题题 令?设非零实数a?b?c满足2302340abcabc+=+=?则222