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专题二 如何整体把握高中数学课程 高中数学课程主线分析第一讲张老师（张思明 北大附中数学特级教师）：各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加高中数学新课程国家级远程研修。上一个专题里，我们讲了高中数学课程标准研制的背景和内容统概，在这一讲里，我们的专题是如何整体把握高中数学新课程，这个专题是我们做教学设计、做教学思考的一个核心，也是我们这次高中新课程的一个高频率的主题词。那么，我想先问一问王老师，为什么要把这个整体把握高中数学新课程的“整体把握”提到了这样一个位置。王老师（王尚志 首都 师范大学博士生导师、教授）：做任何一件事情，都需要对这件事情有一个完整的了解，这样我们才可以更好地、有效地完成这样一件事情，我们觉得和整体的把握课程，相关的这些重要的核心词就是有效的，我想整体的把握就能使得我们更有效地实施高中新课程，那么，怎么样体现整体把握新课程呢？我们研讨一下来感觉有这么几个方面：第一个方面，就是内容上的整体把握，我想高中课程标准的设计对内容一定不是按照知识点来走，他有一个基本的脉络，就是我们所说的主线。那么，我们在设计高中新课程的时候，有这样几条基本的脉络或者我们说主线是我们构架起整个高中课程的基础。那么，其中一个是函数主线；一个是图形的主线，我们几何就是研究图形的，或者我们叫几何；另外就是运算；在有一个是算法；还有一个是应用；再一个是统计概率，我们这每一条主线都形成一个知识脉络，不同的主线之间有又着密切联系，所以我想从这个层面来说，如果能够理解高中课程的这些基本脉络，对于整体把握高中新高程，应该是非常积极有效的。第二个层面：就是我们通常所说的能力层面，我们数学有一些最基本的能力，那么这些能力是学习数学要培养的目标。比如说：我们有计算能力、有逻辑推理能力、空间想象能力和抽象概括能力，数据处理能力。这些能力是贯穿在整个高中新课程的使用过程中的。这些能力的认识和理解，对于把握高中新课程会有很大的好处，那么，能力更上位一点的，我们还需要有一些思考，比如我们数学，有两种基本的推理方式，一种演绎的，一种是归纳，他又体现在不同的能力上，有一个数学里很重要的希望老师给予关注的地方，就是数学语言的使用，数学不同于其他的学科，很重要的方面是他的本身有他一套独特的语言体系。通常我们说，符号的语言体系和图形语言的体系，我想这些语言体系，也不是体现在每一个知识点，而是贯穿在整个课程的过程中，所以我想需要我们老师有一个整体的认识，当然如果我们有一个整体的设计，那就更好了。所以我想我们将在单元教学设计里，提到这些内容，就是有时候我们也可以把能力当做一个单元来设计，我们也可以把掌握语言的能力，当做一个单元来设计，这样就使我们老师不是局部的看待我们高中课程，而是把高中数学课程看作一个整体。 张 老师（张饴慈 首都 师范大学教授）：比如说，我们有些数学知识或者概念比如弧度，如果你就弧度讲弧度，很难让学生真正理解为什么要引入弧度，如果你不能从整体来认识这个概念的话，就很难真正的把握数学，又比如通性、通法，如果你没有一个整体认识，那么就很难提炼出通性、通法这个理论，所以我想要真正理解这个理论，我想要整体，认识这个定义才能知道我们的定位，才知道我们要掌握什么是一些细微末节，什么是一些技术性问题，什么是重要的思想，才能有一个更好的认识。王： 那么张老师刚才说的，我觉得也是我们要考虑第三个层面，就是一些知识的理解、概念的理解，技能的把握，也希望他放在一个大的范围里来考虑，刚才 张老师讲的弧度，就是我们在初中阶段，究竟为弧度奠定了一些什么？我们在高中阶段如何引入？我们如何向学生说清楚，弧度是必不可少的一个概念，他给我们带来什么好处？我想所有这些都不能在一节课去完成的，如果我们老师有一个正确的认识，就会把它设计成为一个完整的理解，那么，对于一些技能我想也是这样的。比如说：刚才张老师说的通性通法，我们在高中阶段，希望学生形成的一个很重要的通性、通法就是如何来对待模型？也就是通常我们所说待定系数法，当我们判定一个模型就是指数函数的模型的时候，那么这个时候我们关键的问题就要去在这个情景中确定 Y等于 a的 x次方的参数 a是谁？它才能有效地帮助我们，运用这个具体的模型来解决模型具体的问题，所以我想整体把握课程的本身，也需要有一个整体的认识，那么这样才能使我们更好的驾驭我们整个课程的全体，这样我们才能提高我们课程教学的效率，否则的话可能就会欲速则不达，当然也包括对考试、对高考的把握，我们也需要有一个整体的看法来思考高考与日常教学的关系。比如说我们在高三复习环节，总有一个疏理知识阶段，那么我们很多老师总结出来的经验告诉我们，疏理知识不要等到高三再开始，我们在高一就开始做，学完每一章，每一节的内容我们逐渐从帮助学生疏理知识到让学生能够独立疏理知识、形成他的一个学习习惯，在他的脑子里，始终出现了就是一个知识的网络，那么我想到了高三阶段，再进行知识的疏理，再应对高考我们就效率好的多了，所以我觉得我们提出来整体把握课程这个词儿，具有丰富的内涵！我们也提给老师，希望我们参加培训的每一位老师，能够认真的思考这个问题。课是要一节一节的上，但是我们对高中数学理解是要站在整个高中数学上面，对高中数学有一个完整的理解。 张：我个人也是体会跟着两位老师学习，整体把握其实也是一个很重要的学习方法，特别对于抽象度很高的内容，我们很多的是包括我自己在大学里，包括学数学的时候，如果一下进入了细微末节每一个定理好象都念过，但是不知道他们的关系、联系，也没有整体的把握住，最后，还是脑子空空的！所以我想两位老师提出整体把握，其实对于老师来说，要把这种理念变成一种教法，甚至是对学生一种学法的一种影响，告诉学生要学这些东西，要有微观、中观、大观、宏观的这些东西。我们过去可能做的都是微观上的，老师应该是对的，强调的比较多，但是由于学生最后的教学效率卡在这儿，没有宏观的认识，知识没有形网络，所以也降低了学习效率。最后我想两位老师谈谈这样的认识，我们知道我们高中把整体把握作为一个关键字，意义在这里。为了使各位老师对这个事情也一个比较具体的形象认识，我们特别请了我们北京市海淀区的 19中的老师为我们提供一个教学设计的案例，来具体的分析一下，下面我们请（檀晋轩）老 师和王老师一起为我们介绍这个教学案例。 【主持人】：各位老师大家好，我先来向大家介绍一下我身边的这两位老师，这位是北京市海淀区第十九中学的檀晋轩老师，（ 檀晋轩：北京十九中高级教师 ）这位是同一个学校的 王肖华老师，（ 王肖华：北京十九中区骨干教师 ）两位老师都是我们海淀区很有名的青年骨干教师，参加我们的课程讨论，我们希望两位老师给我们带来一些具体的案例，我们这一讲主要谈如何把握整体高中数学新课程，我想很多一线的老师在教学实践中有这样那样的想法，我想你们二位老师给我们老师带来什么样的案例。 檀老师：我们今天想就着集合这一节，这个段落的内容教学，一起跟老师们探讨一下关于在新课程标准实施过程中，我们如何的去思考，从整体来认识和把握这样一个关键的内容，因为集合这个内容跟以往旧的大纲相比，有一定的改变，所以我们在学生刚刚入学的时候，有一个阶段，我们做了一些很深入的讨论，在上课之初，也就是学生在入校之前，我们老师在这方面做了大量的工作，我们下面简单地介绍一下，在整个准备的过程中，我们都做了哪些的思考和我们相应的一些讨论结果，提供给老师们作为参考。 首先我们在思考这个内容之前，请所有老师分头去收集了有关集合段落教学的各种不同的版本，有一些不一样的教学的设计。比方说，我们看到有的设计集合这一个单元，一共设计了八个学时，还有的设计了六个学时，当然还五个学时，还有其他一些情况。下面我举典型的三个例子，我们一起也看一下，在我们教学之初，我们学校的数学高一年级的老师，一起坐下来分析了这几个典型的例子。比方说过去在旧的教材过程中，我们有一部分老师对集合这部分教学设计了八个学时，我们一起就来分析了一下，这八个学时主要设计是这样的一个安排，其中关于集合的概念以及它的表示方法，大约是设计的三个学时。在第一个学时中，它的重点是把集合的基本概念做了一个介绍，然后重点去介绍了集合的列举法，描述法和图形表示方法。同时给出了空集以及集合的各种分类的方式。在第二个课时过程中，我们就看到它事实上主要是对前面基本知识的复习过程。 同时，在这个领域，由于旧的教材中比较强调集合的三个重要的性质，也就是老师们都非常熟悉的，关于集合中元素的确定性、无序性和互异性，他就这几个性质做了几个比较复杂的一些练习问题，这是第二个课时。 第三个课时，他介绍子集，全集和补集的概念，同时也简单地做了一些补集和判断集合间关系的一些问题。第四个学时就是子集、全集和补集进一步练习的课时，我们看到它增加了一个第五的课时，仍然是在子集，全集和补集。我们看到有一些例子，比如在这里说到例一和例二。 实际上，这里我们在讨论分析的过程中，发现这个难点，主要这里涉及到方程本身的知识，对于方程根一些讨论问题，因此他并不是集合本身知识相关问题的难点，所以他在这里占有比较大的一个时间段。第六个学时的时候介绍了交集和并集的概念，以及一些相关的符号表示，也运用这些知识解决了简单的求交、并集的一些简单问题。最后在第八个学时过程中，同样是做了一个交并、集练习的课时，其实我们也看到这里涉及到了含有绝对值的不等式，以及分式不等式，因为是旧的教材，所以在这些内容中渗透了这些内容。 同样的，我们也分析了，在新课标下，网上出现关于集合这部分出现的六个学时设计的过程，其中我们也发现它主要增加的部分的内容，我们在探讨过程中，感觉难度主要并不都在集合知识本身，而有一些例题难度主要放在对于方程根情况的讨论，以及涉及到某些含有二元的方程，这里实际有一些解析几何的味道，就是坐标系中点和相关的一些知识。同时，在这里也发现，他把过去旧教材中要求的，关于几何中元素那三个重要性质，他所有一些相应的练习，强化来进行训练。因此我们整体分析之后，我们也是课时非常紧张，我们仔细做了讨论，我们感觉反复阅读课程标准以后，对课程标准中对几何这部分，和以前大纲这样几点不同，这是我们的思考。 首先一点，他与大纲相比较，课程标准更加注重集合的语言性和基础性，淡化了一些相应的技巧，也淡化它与其他数学知识过程的结合，我想这个改变是很好的。原因我们也分析了我们自己的学生，因为我们的学校是海淀区一所中等偏上的学校，我们学生的层次，以及他们自己原有在初中的基础知识并不是十分扎实。那么集合作为学生高中入学后的第一个学习的内容，过多的综合性的问题会使得学生丧失很多的信心，所以我们在这里也希望突出在第一个模块过程中、第一个知识内容，把它突出作为一个最基本的语言，最基本的将来学生在学习过程中经常要使用到的一些符号，来进行教学。第二个重要的不同点，在课标中提出要能够用三种语言来描述学生的问题，我想这个是比较突出语言之间的一种转化。我们也就觉得在这个阶段中，作为语言的学习，我们也学习和借鉴了，语文教学和英语教学他们中的一些特点。因此我们就尝试着让学生在学生集合语言的过程中，不断转换符合语言，自然语言和图形语言。 第三个我们比较的不同，学生在初中中虽然没有学过集合的概念，但是事实上，初中为我们学习集合概念准备了一些大量的素材。所以我们认为借助这些素材可以在素材本身上不增加学生的难度，只是在新的一种符号表达，和一种新的认识方式和我们在未来的表达过程中，我们可以不断加深这种认识，在这种定位下，我们的教学实际最终设计四个学时，在第一个学时就是作为语言来学习，主要是梳理了学生在小学和初中阶段，他们所遇到过一些集合的概念，比如在小学过程中学习过的一些奇数、偶数。比方说12的所有正整数因子等等这些概念。初中也有大量的一些例子，比方说不等式的解集，方程的一些解集，当然在几何中他们还学习过四边形的各种分类，三角形的一些分类，以及直线上的一些点作为直线的一些元素等，他们也从这个角度认识了圆的概念，就是到定点的距离等于定长的点的集合。这样一系列的知识都是学生旧有的，我们把它罗列出来之后，提供给学生一种新的表示方式，也就是我们在一节课把描述法和列举法都教给学生，作为一种语言，是对比着进行学习。进而，在这个具体的这些例子当中，帮助他认识元素和集合之间的关系，以及每个集合各自在表示方法过程中，选择不同的表示形式的必要性，特别是在描述法中学生感觉还是比较困难的，在这实质上对一些特别无限集，就会发现它的表示方法用列举法就非常不方便，这个就需要在学生分类清晰的情况下，把一类事物要能够找到它一个共同属性来进行描述。因此我们的第一课时基本上介绍了以语言为基本的转换单位，重点是符号语言和自然语言之间的一种转化，把过去学过的一些东西用新的一种符号展现出来。 第二个学时，我们就介绍了集合之间的关系，子集关系，包含关系。同时我们在这里进一步突出了图形语言。在上一节课重点是自然语言和符号语言之间的转化，到了第二个学时的时候，我们就增加了一些图形语言，帮助学生进一步理解这些符号。第三个学时，我们实际到集合的运算，我们做了两个学时的设计。在这两个学时中，同样我们是把交、并、补的概念再次让他们运用符号的语言进行阐述，又强化了他们这种符号语言的使用，同时也准确地理解交、并、补的含义。同时把自然语言、符号语言和图形语言之间做了相互的传递，强调了他们之间转化的功能，大概我们是这样一个设想。 【主持人】 王老师，对这个设计有什么样的感受？ 王：因为是我们集体备课的一个成果，所以我也非常赞同，而且参与过程也考虑到学生实际的学习情况，它的知识水平、知识结构，然后结合它的实际状况来设计的。 【主持人】老师在参与这个讨论过程中，有没有不同意见？ 王：虽然我们针对整体学生大部分的水平来制订的，但是有一些班的情况具有特殊性，所以针对特殊性，具体的老师根据自己班的实际情况，具体做一些微调。 檀老师：是这样的。确实有一些不同的意见，比 方过去老师们在教学过程中，在集合教学中就希望能够渗透关于方程根讨论的一些问题，当然刚才我们也看到，包括像集合互异性的一些问题，实际上因为我们学校的学生虽然整体水平属于中上等的，但是程度也参差不齐。因此我们在具体的教学过程中，我们的定位是要把住一条底线，即语言和符号的初步认识。对于刚才谈到这几点，个别学生可以给他提出一些思考问题，尝试让他们课下去完成。我们在这个年的过程中，因为是希望在高中第一个学段中解决学生最重要的一个是学习习惯和学习方法的指导问题，因此我们在这一阶段的教学过程，都尝试着每节课拿出五到十分钟的时间让学生阅读书籍，然后指导他们去阅读和自己梳理知识，同时在这个阶段结束之后，对于集合，我们是给了学生复习框架，让学生形成数学小组，每个班大概是组成五到六个学生形成学习小组，给他们相关的数学课题，提供给他们可供思考的问题，像刚才的问题，我们都提供给他们作为课外思考。学生在随后的探讨过程中，实际上我们发现，学生最后的所得到的东西，比我们原本想希望教给他们的东西获得的多得多。比如他们非常有兴趣查找了一些与集合有关系的数学史知识，像康托，他们都通过自己去查找资料去了解，并且用各种各样的形式，有的班最后用的是板报的形式，以后专门有数学板报。还有的班是用的班校会的时间，做了一节数学史和集合这部分的宣讲，学生非常踊跃、非常积极。像集合中有一些悖论的问题，集合中元素个数的问题，他们都非常有兴趣自己去查找资料然后相互交换，我想这样他们获得的东西会更多。 【主持人】非常感 谢两位老师给我们带来非常生动的案例。我们一会也要请专家对这个案例发表一下他们的点评。 张：通过刚才老师们的介绍，我们对檀老师提出来的问题和分析有了一个初步的了解，那么，我们下面听一听专家对这个过程的一个分析和点评。 王：（ 王尚志：首都 师范大学博士生导师、教授 ）集合是我们新课程中高中教学的第一个单元，他们对这些做了一些案例的分析也做了对比。 张老师，您看对他们这些分析和对比有什么点评？张：（ 张饴慈：首都 师范大学教授 ）首先我觉得很高兴看到他们把别人的一些案例拿过来跟做对比、做分析，然后设立自己的案例，这样一种教研的方法非常好。其次我就觉得他们这些思维能够抓住我们这些结合点，标准对集合的定位抓的比较准。比如第一个关于集合的三性问题，我觉得集合的三性只是一些规定，这些规定要求我们的学生要知道，并且要遵循这就够了。我们数学当中有很多这样的规定，比如说平面直角坐标系哪个是第一象限，哪个是第二象限，哪个是第三象限线，这个学生要知道，这就够了。王：没有必要讨论那些说不清楚的集合，那根本不是我们数学要求的东西。 张：比如要求集合的元素是确定的，我们凡是讨论的集合元素都是确定的，这么规定就可以了，用不着去设计很多奇奇怪怪的来说是不是集合，包括它的互异性、无序性，做这种讨论都是没有用的。它本身没有对学生的数学思想有所提高。其次我们这里要讲的按标准来讲，就是集合的概念、包含的关系、属于关系，包括子集这个内容。也就是说我们不涉及到集合的领域，我们定位是把它作为一种语言，而且这个语言是要贯穿高中三年的始终的，在后面讲到解析几何的时候，讲到线性规划的时候，讲到不等式解集的时候，讲到函数一系列内容的时候要把它拿来用，所以我们把它放在一开始，希望在高中三年要贯彻、去要学会应用。所以在现我们一定是要用初中熟知的知识来作为载体，来讲并、交、补，来讲属于、包含、相等，这样讲，对学生来说困难应该不是特别大。如果我们把一些后面要讲的一些不等式、一些平面的圆的方程等都放到这里，就无形中增加了难度。特别在初高中过渡的问题，我们要给学生一个感觉，让学生感到比较容易的事，我们是要把难的东西要讲容易了，而不是把后面的东西放在这讲，我们要把握好，一步到位是不好的。 檀：有一些学校把不等式的解法提前放到这里，一开始的时候我们听到这样一些说法，我们内部也做过讨论，实际我们做这样的取舍，一开始还是有一些心中不是特别有把握的地方，我们仔细也做过一些分析，比如您刚才提到的，集合是在整个高中数学学习当中都要运用的一个语言，一个工具。因此事实上，集合在初期阶段只是一个新的符号，新的语言，还有一些简单的交、并、补的知识，分析之后觉得在函数研究定义域、值域的问题，研究单调区间的问题，包括后面我们在研究立体几何的时候，我们始终在使用这些符号语言，等到不等式的时候，我们还可以加深对集合符号使用的一些认识，我们到今天为止，我们已经讲了四个必修的模块了，感觉学生的使用上还是没有问题的。 王：比如像线性规划的问题，难点就在平面上点集的表示，在那都是难点，把它弄到集合里来大家都觉得晕了，所以我想没有必要，他有一个循序渐进的过程。我在大学教书，平面点集的表示仍然是学生容易出问题的地方。所以你们的这种设计考虑，我是非常赞成的。 张：我们刚才也谈到方程的问题，我们不是在讲解方程，而是在讲集合的符号表示，讲集合的交、并、补的关系，用我们初中讲到的有限整数集，或者自然数或者用我们学的不等式组都是很好的很充分的载体，让学生感到不难就能学会它。所以在这种情况下，因为我们要掌握的东西跟我们以后要学的东西是两回事，一步到位的问题是一个非常应该把握住的问题，还不会走的孩子非要让他会走，这样反而把他害了。所以我想在初高中的地方，我也知道，有一些地方，刚一上高一的学生11点才能睡觉，晚上做很难很难的题，就把学生给吓住了，我觉得这不是我们数学中的教育水准。 王：关键怎么树立学生学习数学的信心，而且对数学感兴趣，一上高中就让他感觉到数学没有自己想像的那么难，开头要开好，这样学生后期就会很有信心，而且也会加倍努力把以前落下的、把自己不足的地方趁着高中入学这一段时间赶上。 张：有的 时老师一开始就给你一个下马威，我让你不好好学习，我告诉你高中数学有多难。 王：本来有一点想法的，有一点计划的，这一上来就被吓回去了。 王：刚才说 张老师说的我非常赞成，比如我们数学在高中阶段，在初中阶段，在大学阶段都要做的事情是帮助学生学会语言，数学有两种非常特殊的语言，一个是符号语言，一个是图形语言。我觉得他们在教学中对这样一个语言的转化强调的比较好。就是不着急，先用学生熟悉的载体去做这种语言的转化，为语言的继续转化做一个铺垫，并且把这样一种思想贯穿到我们整个高中的教学中，就是符号语言不是说一步就能理解的，我们教学一定不是要把在高中所要用到所有的集合表示都在集合这部分讲到位，这是不可能的，也完全没有必要。这么做结果是，集合的东西也没有很好地掌握，新加进来的东西也是囫囵吞枣，所以我想，他们这样一个设计的思考，我觉得是非常好的，而且是真心实意地认识到这个问题，就应该这样做，我觉得这样的探索对我们所有进入新课 程的老师是很有借鉴作用的。我们要根据我们学校学生的特点，老师的特点，设计自己的教学方案，我们的目的是为了我们的学生能够在高中期间获得一较好的发展，我觉得这样的思考，是给我们提供的一个非常重要的借鉴。 另外他们在思考的过程还有一点，就是数学在做分类，学数学学到哪，都是在进行不同的分类。他们利用集合这样一个载体，把学过的东西，在做一下梳理，我觉得集合在某种意义上是对学过东西的一个很好的梳理的平台。我们学过自然数，整数，有理数，和一些实数。我们学过方程，方程的解，学过有解的方程，学过没解的方程，我们总得对他进行一下分类。我们学过不等式，我们总要讨论这些不等式的解集，如一元一次不等式组的解集，它反应的是什么，是或的关系还是且的关系，把它梳理一下。我们还学了函数，函数在什么范围里有意义，我想也是一个很好的梳理，这样把我们学习过的知识做了一个比较好的梳理，为进一步学习奠定基础。这种梳理又帮助学生能够用一种新的语言来表述这些东西，这样我想收获下来的东西，就远比你用一些他不懂的东西来讲新的东西，对学生的发展要好的多。所以我想，这两个功能他们都考虑了。 另外我印象还非常深的一件事情，就是他们让学生做了一些大作业，这些作业我觉得对于一个学生来说是非常受益的。我们要告诉学生，从高一的学习开始，你们就要学会梳理你学过的知识，你学过了集合梳理一些，哪些是新的，哪些是旧的，新的对旧的有什么影响，我们形成一个认知的网络，学生还查阅了一些资料，查了一些数学史的情况，这样学生的主动性就有了，我相信有一些学生或许也查到了一些用参变量表示的一些拓展的东西。那是他兴趣所在，不是硬逼他去弄的，这样他的感觉就完全不一样了。所以我建议把这一段还要做一个好好的总结，比如我们学生是怎么梳理这部分知识的，他们板报的形式是什么样子，你们都保留下来，将来把这些资料在什么时间展示给我们更多的老师，看看我们怎么样把学生的主动性调动起来，我觉得这件事做的非常好。就让我们的学生变得有信心，有兴趣，感觉自己能够把握自己的命运，能够学好一些东西，我觉得这件事情是值得我们认真总结的。 另外，我还希望你们接着总结一件事情，就是我们的老师虽然在教集合的过程中，对于这部分的定位已经搞清楚了，我们还希望我们19中的老师再继续梳理一下，在整个高中学习中，用符号语言，因为几何是特殊的符号语言，去描述分类的时候，在哪一个阶段，还需要发挥他的作用，我想做一个完整的梳理，就让老师感觉，这样做就更仔细了。比如说刚才檀老师也总结了，在我们后面函数的学习中，哪些地方还要用到集合的语言，在函数的应用中哪些地方还用到集合的语言。在必修二，我们在讲立体几何的时候，讨论点、线、面的属于关系的时候，包含关系的时候，哪些地方要用到集合的语言。讲到解析几何里，我们一个突出的点，就是平面点集的表示，后来到必修三，统计还是要对数据进行分类，我们还要用到集合的语言。到必修四，我们要学到数列，要学到三角函数，有三角函数的特殊点，有三角函数的单调区间，还有三角函数的周期等等，都要持续地用到集合的语言。我们学到数列里，又有很多集合语言的载体，到必修五，比如说我们学简单的线性规划问题，不等式问题等等，这些我们都会不断地使用集合语言，我们把这些都写清楚，我想这也是一个经验，等到你们 高二的老师，再教这部分内容的时候，大家心里都有数了，我们就知道，集合语言是需要通过一个过程帮助学生来提升符号语言表达数学问题的能力的。逐渐把它积淀成为我们学校教学的一个特色，然后我们跟其他学校进行交流，提供别人做一个借鉴。 张：我看两个理解，现在的考生，我觉得这些高考定义在什么位置，就定义在我们现在所讲的位置。 王：后面一些用集合语言表达的一些问题，我想是非常重要的。有时候我们编造了很多集合的题目，觉得实在意义不是很大，我说一个极端的例子，就是哥德巴赫猜想，哥德巴赫猜想是什么呢-即没有这样的偶数，它大于等于四，并且不能表示成两个素数的和，用集合的语言来描述是什么问题呢？就是这样一个集合，偶数的集合，是大于等于四的偶数集合，而且不能表示成两个素数之和的集合，这样的集合是不是空集，那有什么意义？对于解决哥德巴赫猜想没有任何意义，所以并不是说我们生拉硬套，造出一些带有参变量的集合的题目解决理解数学的一种好办法。数学是要把难的东西变得容易，而不是要把容易的东西弄的别人不懂，所以我觉得19中提供了一个很好的案例，希望你们继续做下去。把这个写清楚，将来我们提供给更多的老师作为参考，我们也希望就这些问题 和老师们有一个更好的交流，一起来探索怎么样教好集合这一部分的内容。 张：好！在这个案例里面整体的把握课程，对于一个基层老师来说，是做好教学设计的前提，为了使大家对于我们高中新课程中具体的主线、能力有一个比较清楚的层次，我们下面请两位老师来具体的对六条主线，逐一进行一个分析，我们先请张老师对于函数主线做一个介绍和分析。 张：函数这个概念，现在变成是数学一个中心概念，它现在越来越成为数学里不可缺的一部分，过去我们在中学里面，在我们的念书的时候，那个时候是 50年代或者是 60年代，那个时候中学是以方程为主线，是以计算求解方程为主线的，但是，随着时代的变化，克莱因提出来函数概念以后，就把函数这样变量之间的依赖关系成了我们整个的数学教育的一条主线，这个概念，在小学的时候的就开始有所渗透，然后是到了初中以后，我们给出了变量和变量依赖关系这种概念，然后到了我们高中，是必修第一册的一开始就要学、要掌握的概念，我们是要求通过大量的具体事例让学生体会到函数这个概念。从概念上来说我们首先对这个概念的认识是一步一步深化过来的，我们特别强调这样变量依赖的关系，特别对我们的高中阶段是一个核心的内容，然后到最后我们把它抽象设置为映射这种概念，这样一种概念发展，实际上我们知道这个概念一直到大学来发展，都始终是一个核心概念。 王：到中学阶段，还需要强化对函数图形的认识，函数图形是一个整体认识，给定一个函数图形就是等于给了一个函数，什么叫相同的函数呢？就是意味函数图形应该是重合的，所以我想刚才张老师给我们叙述了三个基本概念，理解的角度，一个是变量的依赖关系，一个是用映射来刻划这个我们所谓抽象的函数定义，再有一个就是函数图形。 张：这样一种概念实际上到了后来的大学里面，除了咱们学的分析外，实变、复变、包括泛函、算子就是这个概念一系列来讲，始终是数学里一个核心概念，而且在中学里面，我们学了很多很多都是和这个概念密切联系的，比如说我们在考虑不等式的时候，在我们讨论方程的时候，在我们讨论计算的时候，算法里的赋值变量，在概率随机变量，包括我们像线性规划这个多元函数，就是说我们在中学里涉及到的几乎都离不开函数，都和我们的函数紧密相关的，包括我们对函数的认识，图形的认识，作为函数始终贯穿始终，而且所有的概念几乎都跟它有紧密联系，有些东西虽然我们不一定很明确，但是它都暗含着思想。给了两点求距离，就是这些东西几何里面都渗着函数这个概念。给了一个几何体求体积等等都有这种概念。所以函数始终是我们一条非常重要的概念，所以我们在这里面要特别强调对函数性质的研究，对函数应用的研究，我们对函数性质研究也始终是我们在这里面，我们大概是从我们在高中来说，一个是代数法开始，我们讨论函数单调性，讨论函数的周期性。然后到了微积分时候，我们开始用导数方法再来研究，研究函数本身的变化和性质，然后是函数的应用，函数应用的问题也是非常非常广的，它既有在数学本身的内部的应用，比如说它处理一些函数极值问题，二分法的解方程问题，解不等式的问题等。在数学有大量的应用，另外有凸显它的实力。我们过去在中学里，对函数的应用是比较欠缺的，现在随着数学建模等对应用的强调，函数的应用被放在一个非常突出的地位。也就是说把函数作为一个模型来讨论，这样的一种思想，就使得我觉得我们这次高中里头，把函数这样一个东西整体的思想，函数的模型的思想都凸显出来，和以前就事儿论事儿讲一个东西相比有很大的不一样。 王：其实刚才 张老师说的很清楚，那么在高中阶段对函数的认识，有四个重要的纬度，第一个就是概念的纬度，从对函数概念的认识，刚才 张老师帮我们总结了三个角度来认识函数，从依赖关系、从图形、从一个严格映射定义，我们不是只满足对一个角度的认识，而是全方位的认识，我觉得刚才 张老师提到我们在高中阶段要强调模型，我们要千方百计把一批模型放在学生的脑子里，这一批模型包括什么呢？包括我们通常所说的简单的幂函数，幂函数又包括我们通常所说的 y=x以及 y=x拓展，就是 y=kx+b这样的线性函数的认识和二次函数，我们是从 y=x 2出发来研究二次函数的，而 y=x 2是最简单的幂函数，拓展到 y=ax 2+bx+c这样的一个模型的认识，这样我们就比较完整的把初中对一元二次函数的认识提升到一个一般的认识，然后还有一个 y=x 3 还有我们所谓反比例函数的一个拓展，因为由 y=x -1我们拓展到 y=a/x这样的一个模式。当然我们还需要讨论一个特殊的 ，就是通常我们说的 ，这些都是简单幂函数的一个拓展，我想对于幂函数我们没有必要在这个基础上再做拓展。 张：不要把一般的幂函数的内容再做拓展了。王：对，这是一类函数，第二类函数就是我们通常所说的，指数函数和对数函数，指数函数和对数函数之所以重要，我想不仅仅是它本身，更重要的是它告诉我们两种非常重要的变化趋势。大家想象对数函数增长非常慢，非常缓慢。但是它在增长，他比多项函数要慢，而指数函数是增长非常快的，我说当 a1的时候，那么它的变化非常迅速，这样一种变化趋势，在我们将来的学习中，是刻画自然界变化规律的最基本的模型，因此，通常我们也把指数函数、对数函数称之为基本初等函数。另外我们还有一类是周期函数，特别是三角函数，作为特殊的周期函数，它在我们整个的高中课程中占有一个明显的位置，我希望我们老师应该看到这样一个变化，在我念书的时候，主要讲的不是三角函数，而是三角，主要是讲的是三角形中的边角关系，但是现在发生了变化，重心做了转移，我们是以研究三角函数为主的一个课程设计，当然也包括对于三角恒等变换或者叫三角运算的认识。所以我觉得这样一种变化我们老师应该清楚！ 张：那您提到这几类非常具体的函数跟原来基本是一样的。但初中还涉及到一些具体的比如说我们这次提的比较多的例子 -分段函数，还有像数列，我们也把它归纳为一种离散函数。 王：当然具体的说有等差数列，等比数列等，这些实际上是我们要在学生脑子里搁住的，它是作为我们思考任何函数问题的基础的函数模型，所以我觉得这是 张老师总结的第二个方面，第三个 方面张老师特别给我们总结了就是研究函数的基本方法，在高中阶段有两种，一种是代数法，通过运算来探索函数的性质，来探索函数的应用，包括我们说的数的运算、多样式的运算、指数运算、对数运算、三角运算，它在我们研究函数中都会发挥作用，这是一种基本的方法，也是学生必须认真掌握的方法。另外一种方法就是我们通常所说微积分的方法，利用变化率来认识函数的变化，这是一个新的角度，这也是牛顿微积分一个核心的内容。那么，第四个 方面张老师刚才不断强化的就是函数的应用。 张：这一点好象是我们这次课程特别突出的一部分，函数是一个工具来解决问题。 王：包括函数在数学内部的应用，怎么样用函数来看待方程，我们提出了二分法。怎么样用函数来研究不等式，研究一元二次不等式，我们又提出了一元二次不等式的问题。那么又有线性规划问题，本质上说它是一个二次函数极值问题，我们又用函数去研究数列，我们又用函数去研究随机现象，所以我们就建立了随机变量。我们又用函数去研究算法，在算法中非常重要的是所谓循环变量，那么这种变量应该怎么刻画？所以用函数来研究数学内部的问题，应该是老师非常关注的一个脉络，再有就是函数在解决其他学科和日常生活中问题的作用，那么我想这一点我们分了三个层次。 张：第一个是特别希望能把实际问题转变成数学函数模型，这是第一个层次。 王：就是能用函数的语言去描述实际问题，这个我觉得是某种意义上说明我们符号语言的重要性。 张：这个也是我们以前比较欠缺的东西，我们过去是给定了一个函数的模型，然后利用它来研究、解决，就有点像过去的应用题，就是前面说的，把实际问题用函数来描述这个过程是需要强调的！还有一个就是说真正套用。这也是很重要的环节！ 张：它有一个识别的功能，知道这个模型是这个函数。 王：我记得思明做过一个研究，就是在我们老百姓的经济生活中，用到的数学模型基本上是等差数列和等比数列，个别有一点混合用了，那么这就说明我们需要用我们学到的等比数列，去刻画复利问题，等差数列去刻画没有复利的存款问题，贷款问题等等！这是第二个阶段，第三个阶段就是张老师说的，函数是解决实际问题的一个重要模型，所以我们也希望让学生经历一下数学建模这个基本过程，我们在这次培训中有专门一个专题要讨论数学建模和数学探究，在那个专题里要详细说明数学建模和数学探究的意义和作用，以及如何操作。 张：两位老师的分析比如说两位都提到了研究函数的工具，过去我们认识比较窄，比较强调运算的工具，总是把这个工具限定在求函数值，研究的单调性就作差等，不断的练习，这些东西在学习的过程中开始是非常重要的，但是如果我们忘记了还有其他研究函数的工具的时候，比如微积分工具的时候，我们就会把前面的作用夸大，把它难度就提高了。如果我们整体看到函数、看到工具的发展，包括微积分也是一种函数的表现，同时为研究函数提供的工具的话，就可能减少前面的难度和训练不必要，就能提高效率。 王：这就是一个整体的把握。 张：包括值域的求法，你要能够知道后面我们学导数的时候，给出一种通性通法，只要把函数利用导数把极值求出来的话，因为我们函数一般都是连续函数或分段连续函数，把连续函数的极值求出来，最大值、最小值求出来，它的值域就出来了，分段一求并就出来了，那么就不会在前面用八种方法、十种方法来讨论各种各样的值域的求法，到整体来把握这个问题，来认识我们的工具，就知道什么地方是重点，什么是通性通法，什么是我们不应该过分强调的。 王：我想从函数本身来说，一个整体的把握就能使我们更好的提高我们教学的有效性，强调教学的效率，有的时候后面还要讲的东西，那你在前面就要适度，你有一个呼应和一个整体把握，你就知道什么时候我教到什么程度，对学生来说既是容易理解的，也得有效。那么，我们后续怎么跟上，我想这些东西呢，包括对函数概念的认识，我想一步到位都不是一件科学的事情，也不能是一步到位！随着后面我们对函数的认识，我们还会不断的去认识，另外即或到大学我们还需要继续去研究函数，去认识函数。 张：你比如像函数的几个重要性质，比如单调性，其实单调性没什么，就是这个一减的问题，那奇偶性你看花样很多，实际上单调性才是真正重要的，是函数变化的，正是有了单调性后面我们才讨论极值的问题，才有了单调。我们的极值就是依赖单调性，所以它的广泛应用非常非常重要，相反奇偶性问题虽然有一定的意义，他有一定图形的对称性，但是它依赖于坐标的选择，相比之下，像这样的东西要整体来认识数学、整体把握数学就能清楚这个概念为什么重要。 张：重要的是度，就知道它彼此之间看上去都不一样，其实在发挥作用上范围是一样的。 王：这里面有一个对中学研究函数的定位，实际上在中学阶段，我们有几个前提，首先我们研究的都是好函数，也就是说除了个别分段函数以外，我们研究的都是所谓连续的，可导的，光滑的好函数，即或是在大学数学分析里，我们也是以研究好函数为主。所以我