高中数学教学方案.doc

课题：正弦定理
科目： 数学
教学对象： 高二学生
课时：一课时
提供者：申云
单位：长治市第十七中
一、教学内容分析
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神
二、教学目标
1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。 2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。 3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。 4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、学习者特征分析
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。
四、教学策略选择与设计
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
五、教学重点及难点
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
（一）结合实例，激发动机
教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？

教师：若已知测得，，要计算A、B两地距离，你有办法解决吗？（图1）

老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？

师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

教师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

解：过作于
在中，

，

在中，

教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若，，能否用、、表示呢？
教师：引导学生再观察刚才解题过程。

教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？

教师：引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，
，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？

学生：思考提出测量角A，C

学生：思考交流，画一个三角形，使得为6cm，，
，量得距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为
490m。

学生：思考，交流，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。

学生：发现，

学生：发现即然有，那么也有，。

兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。

（二）数学实验，验证猜想
教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。（学生回答它们相等）
（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：，对应角的正弦值分别为，，1；（学生回答它们相等）

（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：：2，对应角的正弦值分别为，，1。（学生回答它们相等）（图3）

（图3）
教师：对于呢？

教师：那么任意三角形是否有呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。）

教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、、值仍然保持相等。
我们猜想：==

学生：思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
则有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，

学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。

让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。

（三）证明猜想，得出定理
教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）

教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。

学生：思考得出
①在中，成立，如前面检验。
②在锐角三角形中，如图5设，，
作：，垂足为
在中，

在中，

同理，在中，

③在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，
作交的延长线于
在中，

在中，

同锐角三角形证明可知

经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
（四）利用定理，解决引例
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

学生：马上得出
在中，

利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。
（五）了解解三角形概念
教师：一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性
（六）运用定理，解决例题
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流

用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；

②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。

学生：反馈练习（教科书第5页的练习）

自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
（七）尝试小结
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。

学生：思考交流，归纳总结。

通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（八）作业设计

作业： 1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；
2、思考：证法五与证法一有何联系？
3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？
4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。

为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的准备。
七、教学评价设计
1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？
2、从本课中你学到了哪些知识和方法？
八、板书设计
1、推导余弦定理及其推论
2、例3、例4
3、练习指导
4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识