浅谈初中数学建模和应用性问题的教学.doc

浅谈初中数学建模和应用性问题的教学高明学校：黄志峰摘要：为了正确认识和进行数学建模与应用性问题教学。让所有的学生学到有价值的、富有挑战性的数学！让所有的学生学会数学地思考，并积极地参与数学活动。本文结合自己的初中数学的教学实践，浅谈了数学建模教学的具体做法和体会，阐述了数学建模对提高学生的数学思维能力的重要性和必要性。努力让学生学会从实际问题中获取信息，建立数学模型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力。关键词：应用性问题 建模教学 数学能力 情景 实践数学建模就是通过对实际问题的抽象简化，确定变量和参数，并应用某些规律建立起来的关于变量、参数关系间的确定数学问题，求解该数学问题、解释、验证所得到的过程。它是一种数学思维方式，是对“现实的现象通过心智活动构造出能抓其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示”。培养学生具有从实际问题中获取信息，建立数学模型，分析问题与解决问题的基本能力是数学教学的重中之重。数学中的不等式、方程（组）、函数及几何模型等都能反映现实世界的数学模型。举个例子：对于方程，如代数中的工程问题、行程问题、浓度问题等；几何中的解直角三角形问题、翻折问题、圆中的求边问题等，都是利用方程建立数学摸型来解决问题。数学建摸的问题的解决，基本上是从实际问题出发，将其转化为数学问题再引入数学模型，并通过所建模型的性质解出答案，最后必须将所得的结果回到实际背景中去考虑是否符合。因此现在的数学课堂必须融入大自然、现代社会、学生的生活实际等等。拓宽他们的知识面，从而让学生在解这类问题是能得心应手。一、数学建模和应用性问题教学的意义1、数学建模就是建立数学模型的过程，是解决现实生活中的实际问题的过程。渗透数学中的建模教学是培养学生应用意识和数学思想、思维的有效途径；是数学服务于社会、生活的一种体现。新的课程标准中明确指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等各方面均得到进步与发展”。由此可见，学生数学建模能力培养的意义不仅仅在于解决一个具体的实际问题，也不仅仅在于获得一个数学规律的认识，而恰恰在于通过经历将实际问题抽象成数学模型的过程，锻炼学生的应用与创新的能力、抽象概括能力。同时使他们形成了终生受益的学习方法和态度。其次，通过建立数学模型来解决实际问题的过程中，学生探索知识的经历和获得新知的体验是一个人的学习、生存、生长、发展、创造所必须经历的过程，也是一个人的能力、智慧发展的内在需求。它是一种不可量化的“长效”，一种难以言说的丰厚回报。这样，对于学生来说所形成的知识结构更牢固，所形成的思维能力、解决问题的能力更具有灵活性。由于数学建模是一个不断的信息搜索、判断、筛选、反馈的过程，所以更需要学生在立体信息交流中进行。除了教师与学生的对话交流，更重要的是学生之间的信息交流。我们都知道，学生的数学学习过程是经历体验知识发生、发展的过程，是生动活泼、主动和富有个性的过程。之前，教师只注重把前人总结的或课本上现成的知识以结构的形式教给学生，而对这些知识的发展、发展过程并不够重视，这样，不利于学生的发展，更不能适应新课标提出的“努力使学生乐意并有更多的精力投入的现实的、探索性的数学活动中去”的要求。我们应注重的是引导学生通过自主探索和合作交流，真正理解和掌握数学知识和技能、数学思想和方法，学生在体验科学探索过程的同时，也形成了自主、探索、创新的意识和习惯。再则，在把实际问题转化为数学问题，并建立确当的数学模型时，可以先根据教学内容选编一些具有典型特征的应用题对学生进行建模训练。从而培养学生的建模能力，让学生学会掌握数学建模的方法。同时，通过这些练习更要让学生明白学习数学知识的目的在于应用。知识的应用过程，既是抽象的数学知识与学生的生活实际相联系的过程，也是丰富学生数学经验的过程。在知识的应用过程，知识作为思维中的一个整体，一个“具体对象”，参与新的思维活动，解决新的问题。正是在其应用过程中，新知识与学生已有的经验、新知与具体实际间的联系得以加强、增多，新知识的意义又得到深化。这不仅仅是知识的简单的应用，而是需要对其数学认知结构中的各种要素进行重新加工、组合。这一应用过程，是学生解决问题，建构数学知识活动的深化。因此，能够运用所学知识解决实际问题，使学生形成应用数学的意识，这是把数学教育转到提高学生的素质教育轨道的一个重要措施。2、各行各业的各种问题都可能数学建模，归结为数学问题的求解，因此进行数学建模和应用性问题的教学的意义是十分重大。二、应用性问题与数学建模的教学的目的1、发展学生的观察、实验、比较、猜想、分析、综合抽象和归纳的能力。2、激发学习兴趣，培养学生的积极性和参与性：著名物理学家杨振宇说过：“成功的真正的秘诀是兴趣。”学习兴趣不会自发产生，需要引发和调控。那怎样才能激发学生的兴趣呢？笔者认为：只要做到“三化”趣味化、生活化、交流化。比如说做一些有关奥运、环保、商店、乡村、城市、探险、金融等方面的问题。这些问题都是热点问题，学生都知晓且有讨论的价值，学生愿意交流了，兴趣自然就被调动起来了。那怎样来培养学生的积极性和参与性呢？笔者认为：教师不能再做课堂上的主宰，教师的角色必须发生改变。教师应是真正的导师和引路人，并要创造一些数学活动，如：可设计一些关于学生的数感、空间观念、统计思想、估计意识等方面的实践活动问题来激发学生的兴趣，从而调动他们的积极性和参与性，让学生真正成为课堂上的主人。3、因材施教：结合学生实际水平，分层次逐步推进，部分学生在获取知识时屡屡失败，这会对学习丧失学习信心，因此，必须根据学生的个性差异确定问题的难度，让他们感受到“跳一跳就能摘到桃子”的乐趣，创造合适的机会，让不同层次的学生感受到成功的喜悦。三、初中应用性问题中常见的建模数学建模就是将具有实际意义的应用问题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决，建模活动包括以下四个主要步骤：(1)问题分析：了解问题的实际背景材料，从具体问题中抽象出数学问题。(2)数学建模:使用数学符号和语言，建立等量关系式。(3)建模求解:根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法对模型进行求解.(4) 验证修改:检验建模的解是否符合实际，并对它做出解释.其基本思路是：实际问题数学模型数学问题的解决抽象解答解释（检验）1、建立几何模型：诸如台风、航海等应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。例1：一艘油轮以每分钟240米的速度向正北方向航行，行驶到A处测得一灯塔C在它的北偏西30的小岛上，油轮继续向北航行，5分钟后到达B处，又测得灯塔C在它的北偏西45方向上，根据有关资料记载，在距灯塔C为中心1500米范围内有暗礁试问这艘油轮不改变前进方向继续向北行驶是否有触礁的危险？为什么？分析：本题是关于航海问题首先 C D 要画出示意图（即建立几何模型），将实际问题转化为数学问题如图1：有没有触礁 45B的危险？就是比较点C到AD的距离与1500 30米的大小，若CD1500米，则无触礁的危险， A若CD1500米，则有触礁的危险 图（1）ALB图（2）P例2：足球赛中，一球员带球沿直线L逼近球门AB，在什么地方起脚射门最为有利？分析：这是几何定位问题，画出示意图，如图(2)：根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线L上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P，使APB最大，为此过A、B两点作圆与直线L相切，切点P即为所求，当直线L垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利，可见“临门一脚”的功夫现应包括选取起脚射门的最佳位置2、建立方程（组）模型：诸如：行程问题、工程问题、浓度问题、折叠问题、翻折问题等常需要建立方程（组）的模型来解决。例1：如图，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长ADEBFC分析：由图形折叠易知ADEAFE，从而AD=AF，DE=FE。若设CE=xcm，则EF=DE=（8x）cm在RtEFC中，可由勾股定理列方程求出x图形折叠问题是近几年各地中考的热点问题，通过勾股定理建立方程模型，从而解决此类问题。例2：夏季，为了节约用电，常对空调采取高设定温度和清洗设备两种措施，某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1后两种空调每天各节电多少度？分析:本题所建立的数学模型是方程组,在两种状态下,列出两个相等的关系式即可.解:设只将温度调高1后,甲种空调每天节电x度,乙种空调每天节电y度.依题意得: xy=27 解得： x=207 x+1.1y=405 y=180 答:只将温度调高1后,甲种空调每天节电207度,乙种空调每天节电180度总之，建模时要能根据题意准确地判断建什么模型？是方程还是方程组，最后还要能依据实际情况确定未知数的取值。3、建立函数模型：诸如：调运问题、经营问题等一些实际问题需要建立函数（一次函数、反比例函数、二次函数）模型来解决。例1：正在建设中的某会议大厅的地面约500m2，现要铺地板砖(1)所需地板砖的块数n与每块地板砖的面积s有怎样的函数关系？(2)为了使地面装饰得美观，决定使用蓝、白两种颜色的地板砖组合成蓝、白相间的图案，每块地板砖的规格为8080cm2，蓝、白两种地板砖数相等，则需这两种地板砖各多少块？分析：（1）由于ns=500，故n与s成反比例函数关系,即n=; (2)此时s=8080cm2=0.64m2,由此可推算出所需地板砖的块数n.解：（略）本题首先根据实际问题中变量之间的关系列出关系式后,显然是反比例函数关系（即建立了函数模型）,在求n的值时,采用进一法取近似值更符合实际意义。例2：A、B校各有旧电脑12台和6台，现决定送给C校10台，D校8台，已知从A校调运一台电脑到C校、D校的运费分别为40元和80元，从B校调运一台电脑到C校、D校运费分别是30元和50元，试求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？分析：可设由A校运往C校的电脑为x台，运费为y元。本题要求最低运费可先找出运费y与x的函数关系（即建立函数模型）然后再根据实际意义求出x的取值范围，最后利用函数的基本性质来确定y的最小值（即最低运费）。4、建立不等式模型：对现实生活中广泛存在的不等量关系：如投资决策等可挖掘实际问题隐含的数量关系，转化为不等式（组）的求解，再利用函数的性质结合未知数的取值范围，最终确定题目的解。例1：某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元，甲商场称：每购买一张餐桌增送一把餐椅；乙商场规定所有餐桌椅均按报价八五折销售。那么，什么情况下到甲商场购买更优惠？分析：设购买x把餐椅,到甲、乙两商场的购买费用分别为y甲、y乙。则y甲=1800+50x，y乙=2040+x.题目说到甲商场购买更优惠，说明到甲商场的费用比到乙商场的费用少，即y甲y乙。所以就有1800+50x2040+x,解得x32.即当购买的餐椅少于32把时,到甲商场购买更合算.例2:光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得租金y元,求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不少于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来;(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理化建议. 分析:(1)先用含x的式子表示甲、乙两型收割机派往A、B两地区的台数，再结合租赁价格表求出租金y（元）与x（台）之间的函数关系式；（2）依据租金总额不低于79600元，结合（1）与函数关系式列出关于x的不等式，并借助（1）中x的取值范围，重新确定x的取值范围，再在次基础上设计出相应方案；（3）可依据一次函数的性质，并结合所求的函数关系式及x的取值范围求解。 本题在第（2）题中关键在于建立不等式组的模型，而组成不等式组的两个不等式分别是由（1）中根据实际意义所求得关于x的不等式10x30和（2）中租金总额不低于79600元而得的不等式200x+7400079600组成的通过以上的几种数学模型的分析不难看到，新课程的一个重要理念就是让学生在学习探索的过程中领会到数学与自然及人类社会的密切联系，体会到数学的价值，学会运用数学的思维方式去解决日常生活中的问题，增进对数学的体验和理解以及应用数学的信心，进而具有勇于探索、勇于创新的科学精神。为了构建应用性问题的数学模型，要求学生对有关数学知识充分理解，有时还涉及到其它自然科学知识；要求学生具备敏锐的观察力，良好的想象力，较强的抽象思维和创新意识；要求学生具备较强的知识应用能力和实践能力。这就要求教师能让他们能够在学习中经历知识的探索过程，体验数学的学习乐趣。引导学生沟通数学学习与生活的联系，明确生活离不开数学，数学离不开生活。参考文献:（1）袁亚良 中考最新作业本 南京大学出版社 2007（2）沈文选 中学数学建模方法导引与解题技巧 湖南长沙湖南师范大学出版社，1999（3）南通教育研究 2003.3