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高中数学建模竞赛试题
竞赛时间共120分钟，总分150分
高20 级 班 姓名
一、选择题(每题只有一个选项正确，将正确的选择项填入题后的括号内8×7)：
1、三个框中，一个装有苹果，另一个装有柑子，第三个框装有苹果和柑子，装好分别标上“苹果”“ 柑子”“混装”三个标签。后查全都装错了，现在只能打开一个框来纠正三个标签，应该打开哪个框？（ D ）
A、“苹果”标签 B、“ 柑子”标签 C、“混装”标签 D、都可以
2、一批旅游者决定分乘几辆大汽车旅游，每车乘22人时有一人坐不上车；若开走一辆空车，所有的旅游车刚好平均分配到余下的车；而每车最多载32人。则旅游者的人数和汽车的辆数各为（ B ）
A、441，20 B、529，24 C、331，15 D、414，19
3、某县所建水库最大容量为：1.28×立方米，据监测，在山洪暴发中注入的水量与天数n的关系式为：=5000。水库原有水量为8×立方米，泄水闸每天泄水量4×立方米，那么多少天后堤坝有危险（水容量超过最大容量为危险）（ B ）
A、15天 B、9天 C、6天 D、12天
4、下列哪个事件不能构成数学建模的案例？（ C ）
A、学生的作业完成情况。 B、城市饮用水消费情况。
C、学生养成中的违纪案例。 D、老师讲解测量实践案例。
5、一商品进价为80元，销售价为100元；为增加销量，采用每卖出一个商品就赠送一个价值1元的小商品的方法，结果销量增加10%；在实践中，若礼品的价值为n+1元比礼品为n元时销量增加10%。请设计礼品价值为多少元时，利润最大。（ D ）
A、8元 B、9元 C、10元 D、9或10元
6、机器人每前进一步就向左转，则下列哪一次机器人会回到起点？（ B ）
A、10次 B、36次 C、42次 D、55次
7、有一个摊主用4个白子和4个黑子作赌，其摸彩规定：从袋子里8个子中摸4个，要交1元“手续费”，中奖情况为：
摸出4个子中
4个白棋
3个白棋
2个白棋
其它
中彩
20元
2元
0.5元纪念品
同乐一次（无奖）
那么参与者参加一次反而增加1元钱的概率为（ A ）
A、 B、 C、 D、
8、从宣汉到达州的公路两旁有许多的景点，但总是投入不赚钱，你认为应该从下列哪个方向投入为最佳方案（ B ）
A、追加景点 B、打造亮点 C、政府命令 D、广告投入
二、填空（把每题的最后答案填入后面的横线上2×7）
1、老王向银行贷款3万元发展产业，并按银行贷款月利为0.01，且为复利。若半年还完，则每月还款 5176.4510013264426078741354282726 元（等额还款法）。
2、32位学生中仅一个患有阴性基因的传染病，最少用 5 次可找到这位病人。
三、解答论述题（写出完整过程，每题20分）
1、身边有工程任务包含6道工序：A、B、C、D、E、F，各道工序所需时间天数依次是：2、3、4、2、5、3，其关系具体为：A要先开工，B、C、D可以同时进行：然后E、F同时进行。
⑴、画出工序流程图；
⑵、求出完成这项任务至少需要多少天？关键是哪一条线路？

2、超市中的商品在近一月内的每件销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是：
P=，该种商品的日销售量Q（件）与时间t(天)函数关系式是：Q=－t +40 (0＜t≤20，t∈N)或10（20＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售额的最大值。

3、国家西部林场有荒山3250公顷，从1990年开始每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100公顷，以后每一年比上一年多植树50公顷，求：
①到哪一年可将荒山全部绿化？
②新种植的树苗每公顷木材贮量是30立方米，自然生长使木材贮量增长10%，用S表达年底木材总贮量，求S的表达式，并估算约为多少立方米？

4、如图示，铁矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路a千米，B距铁路b千米，现要在铁路上建两座火车站C、D，A处的铁矿石先由公路运到C处，再经铁路运到D处，最后经公路运到B处结束。由A、B向MN作垂线得点E、F,且线段EF长度为m(很长)千米，公路中汽车速度为u千米/小时，铁路中的火车速度为v千米/小时(u＜v)。为使运输时间最短，火车站应建在什么位置？

一、选择题：
DBBC DBAB
二、填空题：5176.4510013264426078741354282726， 5
三、解答题：
1、解：⑴、工序流程图为：

⑵、由题意得，流程线路为：
①A→B→E，用时2+3+5=10天；②A→B→F，有时2+3+3=8天；
③A→C→E。用时2+4+5=11天；④A→C→F，用时2+4+3=9天
⑤A→D→E，用时2+2+5=9天； ⑥A→D→F，用时2+2+3=7天。
所以，完成这项任务至少需要7天；
由于③A→C→E。用时11天；①A→B→E，用时10天；用时相对于7天较多
所以，关键是A→C→E和A→B→E线路。
2、解：由销售价格P与时间t关系为：P=
及日销售量Q与时间t为：Q=－t +40 (0＜t≤20，t∈N)或10（20＜t≤30，t∈N）
所以，日销售额R为：
R=
R=
根据，即t=1、2、3、…、28、29、30
所以，函数y=－20t+800，0＜t≤20中为减函数，t=1时最大值为：－20×1+800=780
函数y=200，20＜t＜25为常数函数，最大最小值都为200
函数y=－10t+1000,25≤t≤30为减函数，最大值为：－10×25+1000=750
所以，在t=1即第一天时，销售额最大为780元。
3、解：①由题意得：
1990年植树100公顷，1991年植树150公顷，1992年植树200公顷，
所以，从1990年开始每年植树的数目构成等差数列
到n年后可将荒山全部绿化，有：
100×n+×50=3250
解之得：n=10或-13（由年数不能为负数，舍去），即n=10
所以，到1999年底之后，可将荒山全部绿化。
②1990年木材贮量为100×30=3000
由每年比上年新增50公顷，也新增木材贮量50×30=1500
所以，由自然生长使木材贮量增长10%，得10后的木材贮量S为：

S=3000×+4500×+6000×+7500×+9000×+ … +16500×
两边同乘以得：
1.1S=3000×+4500×+6000×+7500×+9000×+ … +16500×
两式相减得：
S=3000×+1500×（+++ … +）－16500×
=3000×+1500×－16500×
=180000×－36300=15056.10070998
所以，S=150561.0070998立方米
4、解：由题意得：取EC=x，有：AC=
先简单化问题，只设C站，从A经C到F时间为：
t=+ （x远小于）
化为关于x二次方程：
+( t－)x+－=0并有解
所以得：△≥0，即－[－]≥0
化简有：≥
t－≥
所以取等号时t值最小，最小为：t=+并代入：
+x+－=0并
解之得：x=为所求；
关于C站距离发现x=的值与无关，所以类推D站距离点F为y：
y=为所求
当然由于很大，所以x+y＜
车站C应建立在距离点E有千米；车站D建立在距离点F有千米。