爆炸荷载下混凝土构件动力方程的差分解.pdf

7 6 四川建筑科学研究 S i c h u a n Bu i l d i n g S c i e n c e 第 3 7卷第 2期 2 0 1 1 年 4月 爆炸荷载下混凝土构件动力方程的差分解 孙 文彬 ( 淮阴工学院建筑工程学院 ， 江苏 淮安2 2 3 0 0 1 ) 摘要： ： 爆炸荷载下混凝土构件的动力方程为非齐次偏微分方程， 通常采用数值法迭代求解， 迭代过程需同时考虑材料非线 性和应变率效应。采用差分法求解爆炸荷载下构件的动力方程， 同时考虑弯曲变形和剪切变形， 将材料非线性和应变率效应 融入差分迭代过程 ， 应用分层法模型计算节点弯矩 ， 考虑混凝土开裂引起的截面弯曲刚度退化和变形的非线性变化， 这些改 进步骤， 提高了分析的严密性和精确度。差分结果与他人实验数据吻合良好， 与 L S D Y N A有限元分析具有相当的精度。 关键词： 爆炸荷载； 混凝土构件； 应变率效应 ； 动力响应； 差分法 中图分类号 ： T U 3 7 5 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1 0 0 8 1 9 3 3 ( 2 0 1 1 ) o 2 0 7 6 0 4 S o l u t i o n t o t h e d y n a mi c a l e q u a t i o n s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e e l e m e n t s u n d e r b l a s t l o a d s wi t h t h e fin i t e d i f lf e r e n c e me t h o d S UN We n b i n ( S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e r i n g a n d A r c h i t e c t u r e ， H u a i y l n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ， H u a i a n 2 2 3 0 0 1 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ： T h e d y n a mi c a l e q u a t i o n s o f t h e r e i n f o r c e d c o n c r e t e u n d e r b l a s t l o a d s we r e t h e n o n - h o mo g e n e o u s p a r t i a l d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ， i t w a s u s u a l l y i n v e s t i g a t e d n u me r i c a l l y b y a n i t e r a t i v e me thod ， i n t h e me an t i me ， t h e n o n l i n e a r of ma t e ria l b e h a v i o r a n d th e s t r a i n r a t e e ff e c t s h o u l d b e t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e i t e r a t i v e p r o c e s s A f i n i t e d i f f e r e n c e me t h o d wa s u s e d t o s o l v e n u me ri c a l l y t h e d y n a I n i c a l e q u a t i o n s o f s t r u c t u r al c o n c r e t e e l e me n t s u n d e r b l a s t l o a d s ， i t c a n s i mu l t a n e o u s l y a c c o mmo d a t e fle x u r al a n d s h e a r d e f o r ma t i o n s ， i n c o r p o r a t e d t h e n o n l i n e a r o f ma t e rial b e h a v i o r a n d t h e s t r a i n r a t e e c t s o n t h e s t r e n g t h o f t h e c o n c r e t e a n d s t e e l i n t o t h e e a c h s t e p o f t h e i t e r a t i v e p r o c e s s ， u t i l i z ed t h e l a y e r e d a n a l y s i s mo d e l t o c o mp u t e t h e n o d e mo me n t s ， t o o k o v e r t h e n o n l i n e a r d e g r a d a t i o n o f c r o s s s e c t i o n al fl e x u r al ri g i d a n d t h e n o n l i n e a r v a r i a t i o n o f d e f o r ma t i o n c a u s e d b y c o n c r e t e c r a c k T h e s e i mp r o v e d p r o c e d u r e s u p - g r a d e d the t i g h t n e s s a n d a c c u r a c y o f t h e n u me ri c a l i n v e s t i g a t i o n T h e r e s u l t s f r o m t h e f i n i t e d i ff e r e n c e me t h o d a g r e e d we l l w i t h t h e e x p e ri me n t a l d a t a o b t a i n e d b y o the r i n v est i g a t o r s ， a n d h a d t h e s a l n e a c c u r a c y w i t h the r e s u l t s b y a p p l y i n g t h e L S - DY NA Ke y wo r d s ： b l a s t l o a d； s t r u c t u r al r e i n f o r c e d c o n c r e t e e l e me n t ； s t r a i n r a t e e ff e c t ； d yn a m i c a l r e s p o n s e； fi n i t e d i ff e r e n c e me t h o d 0 引 言 实验表明， 爆炸产生的破坏形式相当的复杂 ， 往 往在整体破坏 的同时伴随局部破坏 。爆炸荷载 下的混凝土构件动力响应分析的方法主要有 ： ( 1 ) 将构件简化为等效 的单 自由度( S i n g l e D e g r e e o f F r e e d o m， S D O F ) 剖的解析法 ； ( 2 ) 数值法， 如有限元法 ( F i n i t e E l e me n t M e t h o d ，F E M) ， 有 限差 分 法 简 称 差 分 法 ( F i n i t e D i ff e r e n c e M e o d ， F D M) 或有限元与差分 的混合 法 ( F E F D M) 9 - 1 0 。 单 自由度 ( S D O F ) 模 型是一种简化 方法， 便于 掌握和应用 ， 被现行设计手册 1 1 - 1 2 广泛地应用于爆 收稿 日期 ： 2 0 0 9 - 0 8 - 0 5 作者简介 ： 孙文彬( 1 9 6 9一) ， 男 ， 江苏泗 阳人 ， 副教 授 ， 博士在 读 ， 江 苏省高校省级优秀青年骨干教师， 主要从事混凝土结构、 钢一 混凝土 组合结构的教学与研究工作 。 E m a i l ： s u n wb 1 9 6 9 1 6 3 c o rn 炸荷载下的建筑构件设计 。但是 ， S D O F模型不考 虑爆炸荷载的空间变化， 无法分析各种荷载效应的 空间变化， 无法同时考虑弯矩变形和剪力变形 ， 只能 得出相对保守的解答。有限元法 ( F E M) ， 例如： L S D Y N A与 A U T O D Y N可以很好地分析结构的爆炸响 应， 复杂的软件代码和高昂的软件价格 ， 设计单位很 少使用 。 爆炸荷载下混凝土受弯构件的动力方程为非齐 次偏微分方程 ， 本文采用差分法求爆炸荷载下构件 动力方程的数值解。 1 动 力方程及数值解 1 1 受弯构件动力方程 图 1 ( a ) 为爆炸荷载作用下的直梁 ， ( b ) 为梁 微分段上的受力与变形情况。设以 0表示的截面转 动， 选逆时针方向为正； Y为梁横截面形心轴的挠度 12 ( 位移) ； 作用于粱上的惯性力为一 等 ， 惯性转 孙文彬： 爆炸荷载下混凝土构件动力方程的差分解 7 7 矩为 一P ， ， 其 中 P为梁 单位体 积内的质量 ( 密 ot 度) ， ， 为截面惯性矩 ， A为直梁截面积。梁的微分段 平衡方程为 ： - Q ( 雾 t d d 雾一 p x ,t ( 2 ) a a 该方 程 称 为 T i mo s h e n k o梁 方 程 ( T i m o s h e n k o B e a m E q u a t i o n s ) ， 其 中， M( x ， t )与 Q( x ， t )分别 为 截面弯矩和剪力 ， 该动力方程组既考虑 了弯矩引起 的转动 ， 又考虑 了剪力引起 的变形。 P ( ， t )为爆 炸 荷载 。 厂 M(x ， t ) f L D J 图 1 ( a ) 爆炸荷载 下的梁( b ) 隔离体 受 力与 变形 F i g 1 ( a )B e a m s u b j e c t e d t o b l a s t l o a d ( b) I s o l a t ed b o d y d i a g r a m o f a s e g me n t o f d x 1 2动 力方程 的差 分解 爆炸荷载下动力方程为非齐次 的偏微分方程 ， 本文采用差分法求动力方程的数 值解 ， 将连续 构件 离散为一些长度 的分段 ， 如图 2所示。利用中心 差分程序 ， 动力方程( I ) 和( 2 ) 可以转化为如下代数 方 程 ： 0 ( ， t+A t )=2 o ( ， )一0 ( ， t at )一 f 丝( ： j二丝( 二 墅 pl2 一 Q ( ， ) l ( 3 ) r ( x ， t +3t ) =2 y ( x ， t )一y ( x ， t 一 )+ ( A t ) 2 ( 灶 + p ( ， ) 1 ( 4 ) 方程 ( 3 ) ， ( 4 ) 给出节点 在 t+3 t 时刻的转角 和挠度的计算方法 ， 计算 中用到 了该 节点和相邻节 图 2简支梁的差分模型 F i g 。 2 Be a m d i s c r e t i z a t i o n f o r s i mp l e s u p p o r t s i n fin i t e d i ffe r e n c e mod e l 点的之前时刻 的转角和挠度。在端部采用前差分程 序( 如图 2左支座 ) 和后差分程序( 如图 2右支座 ) ， 以图 2所示的简支梁为例 ， 梁被离散为 n段 ， 两端 的 编号相应为 i = 0和 i =n ， 边界 的表达式为 ： Y 0=0， Mo=0 ， 0 0=0 1 ， Q o=2 Q 1一Q 2 1， Y =0， Mn=0， 0 =0 1 ， Q ： 2 Q 一 1一Q 一 2 J 为了保证计算 的稳定性和迭代 的收敛性 ， 时间 步长 参考笔者在文献 4 的建议 ， 不大于爆炸作 用时间与构件 自振周期 中的 1 1 0 。 2方程各变量 的确定 2 1 爆 炸荷 载 尸( ， t ) 典型的爆炸压力时程 曲线一般包括高于大气压 P 。 的正值部分和低于大气压的负值部分。由于绝大 部分能量集中在正值阶段 ， 且对建筑物的冲击作用 也体现在正值 阶段 ， 所 以， 通常只考虑正值阶段并可 以用指数形式表示 ： P( )=P e ( 6 ) 式中P 爆炸波产生的超压峰值 ； 指数 函数的衰减率 ； t 作用时刻。 为了便于计算 ， 通常将式 ( 6 ) 简化为三角脉 冲 荷载 。 ， 式( 7 ) ， 超压峰值 P 。 与作用时间 t 可依 据 T M51 3 0 0_ 1 的相关图表确定 ： P ( )=P ( 1 一 ) ( 7 ) 、 d ， 2 2动力增长系数 D F与应变率 钢筋 与混凝土都是 典型的率敏感材料 ， 高应变 率下应力与强度将 明显提高 ， 称之为应变率效应 ， 通 常在计 算 中引入 动 力增 强 系数 ( D y n a mi c I n c r e a s e F a c t o r ， D I F ) ， 即材料 动力强度与静力强度的 比值。 D I F与应变率 的关 系模型很多 ， 而欧洲规 范 ( C E B F I P MC 9 0 ) 模型 被广泛应用 ， 本文也采用 C E B F I P模型计算 钢筋和混凝土 的动力增强 系数 ( D F) 和动力强度。 但是 ， 爆炸荷载在混凝土结构诱发 的应变率 比 标准材性实验的应变率高出数千倍 ， 远超 出现有 实验技术范围。通常采用两种简化方法处理 ： 一种 假设应变率( ) 为定值 ， 如文献 6 的 1 0 S ； 另 一 种就是 K r a u t h a mm e r 等人 采用加载率 间接替代 7 8 四川建筑科学研究 第 3 7卷 应变率 ， 其应变率计算式与构件的自振周期无关 ， 有 悖结构动力学的基本常识 ， 他们还假设钢筋与混凝 土的应变率相同， 假设计算式适用于爆炸过程中与 结束后及构件的全长。本文采用笔者先前提出的爆 炸荷载下混凝土结构中钢筋与混凝土应变率解析解 的计算法 J ， 钢筋与混凝土应变率具有不同的计算 表达式， 表达中包含构件 自振周期， 允许应变率沿构 件长度的变化 ， 而且考虑应变率沿截面高度变化。 2 3 节点弯矩 M( 。 t ) 与截面弯曲刚度 E ， 动力分析需考虑材料非线性及应变率效应 ， 得 出转角 0之后， 节点弯矩 ( ， t ) 采用笔者在文献 4 应用的分层法求解。截 面被分为 n层 ， 如图 3 所示 ， 层厚一般不大于钢筋直径 ， 每一层 的应变、 应 变率和应力均为常量 ； 不计混凝土拉应力 ； 由截面转 角和材料本构关系计算每一个层混凝土和钢筋的应 力 ； 确定混凝土和钢筋的动力增长系数 。然后 ， 计算 每层混凝土和钢筋对中性轴 的力矩 ， 总和即为节点 弯矩 ( ， t ) 。应用 Mi c r o s o f t O f f i c e E x c e l ， 可以方便 完成截面弯矩计算。 I _ 图 3 截面弯矩分层法分析模型 Fi g 3 La y e r e d a na l y s mo de l f o r t he c r o s s - s e c t i o na l m o m e nt 实验证明D -2 ， 爆炸荷载作用下混凝土构件的受 拉面很快就出现裂缝 ， 随后迅速发展 ， 伴随混凝土碎 屑喷射和脱落 ， 导致弯曲刚度急剧退化 ， 弯曲变形快 速增加 ， 不断增加的曲率加剧了混凝土开裂和碎屑 的喷射与脱落。因此 ， 钢筋混凝土构件在爆炸响应 过程 中， 随着开裂深度的变化 ， 截面弯曲刚度具有明 显的非线性 ， K r a u t h a mm e r 却在文献 8 中将其处理 为常量。根据文献 1 3 ， 本文采用下式计算每个截 面不同时刻的弯曲刚度， 考虑弯 曲刚度的退化与弯 曲变形的非线性变化 ： ( )： ( 8 ) 9，-d x 2 4爆炸荷载 Q( ， ) 爆炸作用下 ， 混凝土构件在振动时 ， 同一截面上 不同高度处 的剪切角并不相同， 但为了简化 ， 取统一 的剪切角 y， 并假设截面在振动过程中仍保持平面。 此时 ， 剪切变形 、 梁截面转角与挠曲线的倾角不再相 等， 截 面 0 ， O y O x与梁 微分段剪 切角 y有 如下关 系 ： y= 以 ay +0 ( 9 ) y 以 + L y 因此 ， 有 ： Q ( x , t )： ( + ) ( 1 o ) x 0 式 中G 混凝土剪切模量； 考虑截面上剪应力分布不均匀的修正 系数 ， 与截面形状有关。 3差分分析结果对 比 应用上述差分法对文献 1 6 的 3块简支板进 行数值分析 ， 计算爆炸响应的跨 中最大位移 ， 所得的 数值分析结果将与文献 1 6 的实验数据进行对 比。 3块简支板 ， 如图 4所示 ， 双层双向配筋 ， 钢 筋直径 1 2 m m， 中心 间距 1 0 0 m m， 保 护层厚度 1 0 m m。材料强度 ： 钢筋屈服强度 6 0 0 M P a ， 弹性模量 2 0 0 G P a ； 混凝土为 圆柱体抗压强度 3 9 5 M P a ， 抗拉 强度 8 2 MP a ， 弹性模量 2 8 3 G P a 。表 1为爆炸实 验的其他主要参数， 跨中挠度的实验数据见表 2 。 r A A i 匿 J 卜 二 j 二 一 图4钢筋混凝 土板 F i g 4 Re i n f o r c e d c o n c r e t e t e s t i n g s p e c i me n s 表 1 爆炸实验的主 要参数 Ta bl e 1 Pa r a m e t e r s o f th e e xpe r i me n t a l bl a s t pr o g r a m 简支板沿跨度方 向离散为 2 2段 2 3个节点 ， 时 间步长选择爆炸作用时问的十分之一 ， 迭代过程采 用 M i c r o s o f t O f fi c e E x c e l 完成 ， 计算过程和计算结果 显示 ， 满足迭代收敛的要求， 分析结果见表 2 。 表 2 差分结果对比 Ta b l e 2 Co mp a r i s o n o f th e F DM p r e d i c t i o n s 为 了进一步验证差分法结果的可靠性， 应用商 业软件 L SD Y N A对上述 3个试样 进行有 限元分 析， 选 择 块 体 单 元 ( S o l i d B r i c k E l e m e n t ) ， 划 分 孙文彬 ： 爆炸荷 载下 混凝土构件动力方 程的差分解 7 9 4 0 0 0 0 0单元 ； 混凝土 材料模 型选择 Ma t P S E U D O T E N S O R， 极限应 变定 为 O 0 1 ； 钢筋 材 料模 型选 择 Ma t PL AS TI CK I N E MA T I C ， 极限应变定 为 0 1 。分 析结果 见 表 2 。 图 5差分 结果对 比 曲线 Fi g 5 Co m p ar i s o n o f t he FDM pr e di c t i o ns 图 5为 3种方法结果 的对 比曲线。曲线显示 ， 差分法结果与他人实验数据吻合 良好 ， 与 L SD Y N A的有限元分析结果具有相当的精确度。 4 与 K r a u t h a mme r 等人 差 分过 程对 比 与 K r a u t h a m me r 等人 的差分过 程相 比， 上述 差分过程具有以下明显的改进和完善 ： ( 1 ) 同时考虑弯曲变形和剪切变形。 ( 2 ) 将应变率效应直接并人结构爆 炸响应 的迭 代全过程。K r a u t h a m me r 等人采用加 载率间接替 代 混凝土构件的应变率 ， 应 变率计算式与构件的 自振 周期无关 ， 有悖结构动力学的基本常识 ； 他们还假设 钢筋和混凝土的应变率相 同， 假设其 计算公式适用 于爆炸过程中与结束后及构件的全长 ； 这些成为文 献 8 中明显 的理论上不足。本文采用笔者先前提 出的应变率解析解的计算方法 J ， 钢 筋与混凝土应 变率具有不同的计算表达式 ， 表达 中包含构件 自振 周期 ， 允许应变率沿构件长度的变化 ， 而且考虑应变 率沿截面高度变化。 ( 3 ) 采用分层法计算梁的截面弯矩 ， 然后 ， 计算 各微分段的截面刚度， 考虑了混凝土开裂引起的截 面弯曲刚度退化和变形 的非线性变化 。 5 结 论 本文 的差分过程不仅考虑 了应变率效应 ， 还 考 虑了材料非线性及混凝土开裂 引起 的构件弯曲刚度 退化和变形 的非线性变化 ， 分析结果与他人实验数 据吻合 良好 ， 与 L SD Y N A具有相当的精确度。 采用 中心差分法计算爆 炸荷载下混凝土结构的 动力响应 ， 具有迭代步骤少、 精度高 的特点， 且迭代 收敛条件易于保证等优点。 与 S D O F相 比， 具有较 高的计算 精度 ； 与 F E M 法相比， 无需复杂的单元划分， 无需掌握特殊的软件 代码 ， 计算 过 程可 以应 用 Mi c r o s o f t O f f i c e E x c e l 完 成。 参 考 文 献： 1 孙文 彬 钢筋 混凝 土对 边 简支板 的爆 炸试 验 J 力学 与实 践 ， 2 0 0 8， 3 0 ( 4 ) ： 5 8 - 6 0 2 孙文彬 ， C h e n g q i n g Wu 碳纤维加 固钢 筋混凝 土板的爆炸 实验 研究 J 混凝土 ， 2 0 0 7 ( 1 1 )： 6 5 -68 3 K r a u t h a mm e r T， B a z e o s N， H o l m q u i s t T J Mo d i fi e d S D OF a n al y s i s o f R C b o x ty p e s t ruc t u r e s J J o u r n a l o f S t r u c t u r a l E n g i n e e ri n g ， 1 9 8 6， 1 1 2 ( 4 ) ： 7 2 6 _ 7 4 4 4 孙文彬 爆炸荷载下 R C单向简支板的能量法优化设计 J 力 学与实践 ， 2 0 0 8 ， 3 0 ( 6 )： 6 8 -7 2 5 孙 文彬 ， 王冰 ， WU C 爆炸荷载下混凝土粱中混凝 土和钢 筋 应变 率研究 J 混凝土 ， 2 0 0 8 ( 1 2 ) ： 3 5 - 3 7 6 O D a n i e l J L ， K o u d e l a K L ， K r a u t h a mm e r T N u me ri c a l s i mu l a t i o n a n d v a l id a t i o n o f d i s t ri b u t e d i m p a c t e v e n t J I n t e rna t i o n al J o u r - n a l o f I mp a c t En g i n e e rin g，2 0 0 5，31： 1 0 1 3- 1 0 3 8 7 方秦 ，柳锦春 ， 张亚栋 ，等爆炸荷 载作用 下钢筋混凝土梁 破坏形态有限元分析 J 工程力学 ， 2 0 0 1 ， 1 8 ( 2 ) ： 1 - 8 8 K r a u t h a mm e r T， S h a n a a H M， A s s a d i AR e s p o n s e o f s t r u c tur a l c o n c r e t e e l e m e n t s t o s e v e r i m p u l s i v e l o a d s J C o mp u t e r s S t r u c t u r e s ， 1 9 9 4， 5 3 ( 1 ) ： 1 1 9 1 3 0 9 K r ant h a mm e r T， K u C K A h y b ri d c o mp u t a t i o n al a p p r o a c h f o r t h e a n a l y s i s o f b l a s t r e s is t a n t c o n n e c t i o n s J C o m p u t e r s S t r u c t u r e s ， 1 9 9 6 ， 6 1 ( 5 ) ： 8 3 1 -84 3 r 1 O Kr a u t h a mme r TB l ast r e s i s t a n t s t r u c t u r a l c o n c r e t e a n d s t e e l c o n n e c t i o n s J I n t e rna t i o n al J o u rnal o f I mp a c t E n g i n e e ri n g ， 1 9 9 9 ， 2 2：8 8 7 - 9 1 0 1 1 T M 51 3 0 0 T h e d e s i g n o f s tr u c t u r e s t o r e s i s t t h e a ff e c t s o f a eei d e n t a l e x p l o s io n s US Te c h n i c a l Ma n u a 1 US De p a r t me n t o f t h e Ar my，Na v y，a n d Ai r F o r c e，W a s h i n g t o n DC， 1 9 9 0 1 2 A m e ri c a n S o c i e t y o f C i v i l E n gin e e ri n g D e s i g n o f b l a s t res i s t a n t b u i l d i n g s i n p e t r o c h e mi c a l f a c i l i t i e s ， AS CE， US A， 1 9 9 7 1 3 赵光恒 结构动力学 M 北京 ：中国水 利水 电出版社 ， 1 9 9 6： 8 7 8 9 1 4C o mi t 6 E u r o I n t e r n a t i o n al d u B 6 t o n ， C E B F 1 P M o d e l C ode 1 9 9 0 Red wo o d B o o k s ， T r o wb r i d g e， W i h s h i r e， UK ， 1 9 9 0 1 5 过镇 海 钢筋混凝 土原 理 M 北京 ：清华 大学出版社 ，1 9 9 9： 3 2 6 1 6 C o p p o l a R， J o n e s J ， Ma r k s S R e s i s t a n c e a g a i n s t e x p l o s i v e l o a d i n g o f u l t r a h i g h s t ren g t h a n d e x t e rn a l l y b o n d e d F RP r e t r o fi t t e d RC s t r u c t u r a l me mb e r s D A d e l a i d e ： t h e U n i v e rs i t y o f A d e l ai d e ， Au s t r ali a， 2 0 0 7