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浅谈分类讨论及解题应用

摘要：分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验，还是在日常的生活中，都常常需要用到它。初中数学中的分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想．分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

关键词：数学思想，分类讨论,数学应用

前言
人们在观察、分析、研究问题时，当被研究的问题出现多种可能情形并难以同时处理时，往往需要按照某种标准分成若干种情况，然后一一解决，从而得到各种情况的相应结论，这就是分类讨论。在数学研究中，当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对他们一概而论的时候，迫使我们必须按所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们叫做分类讨论思想。
主体
学习并掌握分类的思想方法，不仅仅是学习数学的需要，也是学习其它学科和今后工作的需要。在初中数学教学中，经常会遇到需分类讨论的问题，这就要求我们必须要弄清楚分类讨论的动因、原则、讨论步骤等，进而正确、准确的运用分类思想对问题进行研究，以解决问题。
一、初中数学分类讨论的动因[1]
初中数学分类讨论的动因要由具体的问题情境所决定，我们在教学时必须要认真把握，及时渗透分类讨论思想。
1、由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。
在初中数学中，常见的分类讨论题型大致可分为以下几类：
（1）、问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如︱a︱的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型。
例如：已知︱x︱=3，︱y︱=2，xy＜0，求x+y的值。
分析，因为题目告诉了x、y的绝对值，所以我们在求解时，必须考虑到x、y的分类取值，但又要考虑到xy＜0的条件正确求解。
解：∵︱x︱=3，∴x=±3，同理，y=±2
又∵xy＜0，∴x=3、y=-2，或x=-3、y=2
∴x+y=1或x+y=-1
（2）、问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.
例如：已知一次函数y=kx+b，当－３≤ｘ≤１时，对应ｙ的值为１≤ｙ≤９.则ｋ·ｂ的值（ ）
（Ａ）１４ （Ｂ）－６
（Ｃ）－６或２１ （Ｄ）－６或１４
解这个题目时，因为事先不知道k值的正负性，所以函数的增减性也就不知道，那就需要分类讨论，假如k＞0，则y随ｘ的增大而增大，即ｘ取－３时，ｙ取１；ｘ取1时，ｙ取9，由此求得ｋ·ｂ=14。而当k＜0时，y随ｘ的增大而减小，即ｘ取－３时，ｙ取9；ｘ取1时，ｙ取1，由此求得ｋ·ｂ=－６。所以答案选D。
（3）、解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论.这称为含参型.
例如：已知A＝a ＋2，B＝a 2－a＋5，C＝a 2＋5a－19，其中a＞2．
求证：B－A＞0，同时指出A与C哪个大？说明理由．
解: B－A＝（a－1）2+2 ＞0 ∴B＞A
C－A＝（a＋7）(a－3)
∵a＞2， ∴a＋7＞0
∴当2＜a＜3时， A＞C
当a＝3时， A＝C
当a＞3时， A＜C
2、由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论。
例如：求函数y=(k-1)x2+kx+1与x轴的交点坐标。
本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明。有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数。所以要分为二类：(1) 当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴交点为(-1，0) ；(2) 当此函数为二次函数时，k≠1，△=(k-2)2 ，①△>0，即k≠2时，有两个交点(-l，0) 、(1/(1-k) ，0) ；②△=0，即k=2时，有一个交点(-1，0) ；③△<0，即(k-2)2<0，不存在k的取值。综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：k=1时，与x轴交点为(-1，0) ；k≠1且k≠2时，与x轴交点为(-1、0) 、(1/(1-k) ，0) ；k=2时，与x轴交点为(-1，0) 。
由以上的例题，我们知道解此类问题的关键是审清题意。审题是解题的重要一环，在教学中应强调审题的重要性。教师在讲解例题时，应作出认真审题的示范并要求学生养成认真审题的习惯。学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结论中的不定因素而急于解题所造成。只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解。
3、由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对
其进行分类讨论。
例如：已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x(k≠0)
（1）、k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？
（2）、设(1)中的两个交点为M、N，试比较∠MON与90°的大小。
本题第(1)小题求得k<16且k≠0；在解第(2) 小题时，由于0<k<16或k<0这两种取值所得反比例函数的图像有两种情况，因此要根据参变量k的不同取值进行分类讨论。0<k<16时，两个交点在第一象限，∠MON<90°；k<0时，两个交点在二、四象限，∠MON>90°。
数学本身的产生与发展充满了朴素的辩证唯物主义思想，揭示了唯物辩证法的许多基本规律，如量变到质变等。本类分类讨论问题就是揭示了唯物辩证法中的量变到质变这一基本规律。在本类问题的教学中，要做到使学生能分析清楚问题中参变量在整个量变过程中会造成哪些质的变化，即参变量的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，把它们一一罗列出来，全面、系统的分类，并能正确求解。这是建立在有良好的知识结构和灵活、开阔的思维基础上的，教学中要注意培养学生一丝不苟的学习精神、严谨的科学态度和辩证唯物主义的观点，充分发挥学生的聪明才智。
4、由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。
例如：半径分别为10、17的两圆相交，公共弦长为16，求圆心距。
本题极易漏解，原因是没有想到本题要分类讨论。实际上本题的图形是不确定的，有两种可能：(1)两个圆心分别在公共弦的两侧；(2)两个圆心在公共弦的同侧。分类画出图形，利用勾股定理，可分别解得圆心距为21或9。
正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形。画图能力和空间想象能力也是数学中的重要能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力，教学中应注意对学生画图能力和空间想象能力的培养，让学生多操作、多思考，提高学生的数学能力。
初中数学中的分类讨论问题主要是以上四种动因的分类讨论。抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，就能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率。
二、初中数学分类讨论的原则[2]
1、同一性原则。
分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。
例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。
事实上，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形，也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。
2、互斥性原则。
分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。
例如：某班有9名同学参加了球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加了田径比赛。如把这9人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类，这就犯了子项相容的逻辑错误，因为必有2人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛。
3、层次性原则。
分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。
4、完全性原则。
分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。
例如：某人把有理数分为正有理数和负有理数两类，这个分类是不相称的，因为子项的外延总和小于母项的外延。事实上有理数中还包括既非正又非负的有理数——零。
三、初中数学分类讨论的步骤[2]
初中数学中用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：
1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；
2、正确选择分类的标准，进行合理分类；
3、逐类讨论解决；
4、归纳并作出结论。
例如：解方程|x+2|+|3–x|=5
对于绝对值的问题，往往要对绝对值的符号内的对象区分为正数、负数、零三种，在每种情形下再分别处理。这一方程里出现了两个数的绝对值，即| x+2 |和|3 –x|，对于| x +2|应分为x= -2，x＜-2，x＞-2；对|3 –x| 应区分为x=3与x＞3，x＜3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分为以下三种情形分别处理：x＞-2，-2≤x≤3，x＞3。得解如下：
当x＜-2时，原方程为 –(x+2)+3-x=5，得x= -2，这与x＜-2矛盾，故在x＜-2时方程无解。
当-2≤x≤3时，原方程为x+2+3-x=5恒成立，故满足-2≤x≤3的一切实数x都是此方程的解。
当x＞3时，原方程为x+2-(3 - x)=5，得x=3，这与x＞3矛盾，故在x＞3时，方程无解。
综上所述，原方程的解为满足-2≤x≤3的任何实数。
四、初中数学解题应用中的分类讨论案例[3]
【案例1】：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的4/3倍。现在甲、乙两人在跑道上相距8米处同时出发，问经过多少秒钟后，两人首次相遇？
本题既不明确甲、乙两人在环形跑道上是同向还是反向跑步，也不知同向跑步时谁在前谁在后，或反向跑步时两人之间的距离是面对面的距离还是背对背的距离，所以解题时应分类讨论，逐一求解：
设经过x秒甲、乙两人首次相遇
①若两人同向跑步，且甲在乙的前面8米，则：
4/3×6x–6x=400–8 解得x=196
②若两人同向跑步，且乙在甲的前面8米，则：
4/3×6x–6x=8 解得x=4
③若两人反向跑步，面对面相距8米，则：
4/3×6x+6x=8 解得x=4/7
④若两人反向跑步，且背对背相距8米，则：
4/3×6x+6x=400–8 解得x=28
【案例2】：已知abc≠0，且，那么直线y=px＋p一定通过第几象限？
分析：等比性质的适用范围是a＋b＋c≠0，题目中并没有交代a＋b＋c的具体性质，须按照适用否等比性质进行讨论。
解：当a＋b＋c≠0，p＝2，y＝2x＋2，经过第一、二、三象限；
当a＋b＋c＝0，p＝－1，y＝-x-1，经过第二、三、四象限；
∴直线y=px＋p一定通过第二、三象限
【案例3】：关于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，当m为何值时，方程有实根？
分析：方程有实根，即方程有两个实根或一个实根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次系数须分类讨论。
解：Ⅰ）当m-4＝0，即m＝4时，原方程化为-7x+4=0，此时方程有且只有一个实数根；
Ⅱ）当m-4≠0，即m≠4时，原方程为一元二次方程，其中
，即m≥且m≠4时，方程有两个实根。
综上所述，方程有实数根的条件是m≥
【案例4】：平面上A、B两点到直线k距离分别是与，则线段中点C到直线k的距离是 ；
分析：点A、点B与直线k的位置关系有两种情形：A、B点在直线k的同侧或异侧。
解：Ⅰ）如图，当点A、B两点在直线k的同侧时，设AM⊥k于M，BN⊥k于N，且AM＝，BM＝，C是AB的中点，CP⊥k于P，则CP是梯形AMNB的中位线，∴
Ⅱ）如图，当A、B两点在直线k的异侧时，过B作BR⊥AM的延长线交于R，延长PC交BR于Q，则AM∥CQ∥BN。
∵AC＝BC，∴RQ＝BQ，∴PQ＝BN＝，
CQ=，∴CP=PQ-CQ=
∴线段中点C到直线k的距离是2或
【案例5】：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。如果△ABC是等腰三角形，求m的值
分析：题目告知了△ABC是等腰三角形，但并没有说明哪两条边对应相等时，就应该考虑到AB=AC、AB=BC、AC=BC三种情况，并分别给予讨论。类似的情况还有告知是直角三角形但没有说明哪个是直角；告知是平行四边形但没有说明哪一组是对边等等
解：令，则(mx-)(x-3)=0，x1= x2=3
可知A(3,0)、B(,0)、C(0,4)，得AC＝5、AB＝、BC＝
Ⅰ）当AC＝BC，A、B两点关于y轴对称，即二次函数关于y轴对称，∴m＝
Ⅱ）当AC＝AB，则＝5，m＝或
Ⅲ）当BC＝AB，则＝，m＝
综上所述：m等于或或或。
【案例6】：直线分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9
（1）求点P的坐标；
（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图像上，且点R在直线PB的右侧。作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标。
解：（1）点P的坐标为（2,3）
分析：求△BRT与△AOC相似，就要首先观察这两个三角形的性质，都是直角三角形，但哪两条边为对应边并没有说明，所以就应按对应边的不同进行讨论。
解：（2）可知点R的坐标为（b,）
①当△RTB∽△AOC时，，解方程，得b＝3或b＝－1（舍去）
②当△RTB∽△COA时，，解方程，得b＝或b＝（舍去）
综上所述，点R坐标为（3,2）或
五、如何避免初中数学中不必要的分类讨论
分类讨论解题，要根据题目的意思，认真分析，确要分类的，才能分类讨论，故对数学中的似乎要讨论的题目，应先在解法上作恰当的技术处理，尽可能简化讨论甚至回避讨论。
例如：在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且a、b是方程x2–10x+18=0的两个根，P是斜边AB上的一点，过P作BC、AC的平行线，分别交AC、BC于D、E，设AP=x，矩形CDPE的面积为S，用含x的代数式表示S。
很多学生根据方程x2–10x+18=0求出了a、b的长，再对a、b作分类讨论，从而给解题带来了相当大的麻烦，结果反而弄错了，像这种可以整体处理的问题，不必作讨论。
结论:
分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用，掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大的帮助，它既有利于培养学生的创新精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。因此，教师在教学时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现，要遵照循序渐进、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。

参考文献：
[1]刁卫东：如何运用分类讨论思想解题。《中学数学》
[2]王燕春：学会分类方法，提高分类意识。《中学生数学》
[3]彭林、刁卫东：中考数学命题热点与规律探折。《中小学数学》2001专刊

附录：
[1]二次根式的性质：
=︱a︱，（）2= a
[2]二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标(-,)
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