教学设计：六年级上册《尝试与猜测——鸡兔同笼》.docx

案 例 展 示
【案例信息】
案例名称：北师大版 实验教材小学数学六年级上册《尝试与猜测——鸡兔同笼》
讲课教师：王立生（东北师范大学附属小学，小学高级教师）
【教学设计】
教学目标：
1 ．使学生经历尝试与猜测的过程，理解“鸡兔同笼”问题的数量关系，在探究的过程中提高学生分析问题解决问题的能力。
2 ．学会用列表法解决问题，能 对数据进行再认识、再分析，优化列表的过程，渗透化繁为简的思想。
3 ．在活动和学习中培养学生 的探究精神和合作意识，积累一定的数学活动经验。
教学重点 ：学会用列表的方法解决问题，优化列表的过程。
教学难点： 如何优化列表过程。
教学准备： 多媒体和信纸
教学过程：
一、创设问题情境
师： 这是你们用的数学书吗？（出示北师大版数学书）
生：是的。
师：这是谁用的数学书？（出示 《孙子算经》）
生：这是古人用的数学书。
师：这书的内容可是非常古老的，大约有 1500 年的历史了。古人的数学书里写了些什么哪？想知道吗？
生：想。
师：第 23 页有这样一个经典问题，老师对个别文字处理了一下：
“ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
师：谁来给一读下。
生：…
师：这道题可挺有意思，每句都是 6 个字的，像古诗一样。谁能像古人那样再读一遍。
生：读题。
师：什么意思？挺难懂！谁来给解释一下？
生：鸡兔在同一个笼子里，一共有 35 个头， 94 条腿，求鸡和兔各有多少只？
师：鸡兔同笼说明什么？
生：笼子里有鸡有兔。
师：谁知道这是什么问题？
生：鸡兔同笼问题。
师：你们在哪见过这样的问题？
生：我在课外班学过。
师： 1500 多年前的问题，现在还有人研究，说明这个问题一定挺有意思！这节课我们就来研究“鸡兔同笼”问题好不好？板书（鸡兔同笼）
为了研究方便，我们先来研究一个简单的鸡兔同笼问题。
设计意图 ：从介绍数学书入手，使学生感到我国的数学文化是比较厚重的，利用他们的好奇心，激发他们求知的欲望。
二、引入新课
1 ．独立尝试
出示问题 ：
鸡兔同笼，一共有 14 条腿，可能有几只鸡？几只兔？
读题 ： 谁来给读一下
学习指南： 请选择你自己喜欢的方法独立解决问题，思考清楚自己的方法准备全班交流。
2 ．汇报交流。
师：谁愿意汇报一下自己的方法和结论？请到前面来说一说。（卡片放在实物投影仪上，人对着屏幕说）
生： 14 ÷ 4=3 （只）…… 2 （条）； 2 ÷ 2=1 （只）说明有 3 只兔子， 1 只鸡。（师板书 3 只兔子， 1 只鸡）。
师：这位同学非常理性地通过计算给定了兔子的只数，然后再算出鸡的只数。
师：谁和他做的是一样的？谁还有不同的方法？
生：我是先给定 1 只兔子，然后算出有几只鸡，再给定 2 只兔子，算出有几只鸡，再给定 3 只兔子，看有几只鸡。
兔 / 只
1
2
3
鸡 / 只
5
3
1
腿 / 条
14
14
14
师：他是怎么做出来的？
生：试的。（师板书“试”）
师：他是怎么试的？
生：先给定一个答案，然后算出另一个。（板书：给定）
师：他的方法我明白了，先给定一个答案，然后再算出另外一个答案，再给定一个答案，再算出另一个答案，直到找出所有答案后，列成了表格。
师：这是把什么过程列成表格了？
生：试的过程。
师：我们根据条件列成了几栏？
生：三栏。
师：这三栏分别是腿、鸡的只数和兔的只数
师：对比两种办法你有什么想法？
生：列表的方法更清楚，一目了然。
师：既然列表法有这么多好处，现在我们就用列表的方法来解决 1000 多年前的经典鸡兔同笼问题。
（出示：笼子里有鸡和兔，共有 20 个头， 54 条腿，鸡和兔各有多少只？）
设计意图 ：通过解决只有 14 条腿的鸡兔同笼问题，对他们已有的知识经验产生撞击，促使他们想办法，给定个答案试一试，逐步尝试与猜测，解决问题，产生列表的需要，感受到列表是有效的策略。
三、自主探索与合作交流
1 ．提出问题
师： 这个问题和刚才已经解决的问题题有什么区别？
生：给了总头数。
师： 20 个头什么意思？
生： 20 个头说明鸡兔一共有 20 只。
师：如果我们列表的话，根据条件应该列出哪几栏？
生：四栏：鸡、兔、头和腿。
师：如果让你给定一个答案，你给几只鸡？
师：老师给定 1 只鸡，会有几只兔子？（板书 1 ）
生： 19 只，（师板书）
师：怎么算出来的？
生： 20 减 1 。（在兔的上面板书“ 20 － ” ）
师：如果给定 2 只鸡，会有几只兔子？
生： 18 只兔子。（师板书）
师：哪个答案对呢？应该再看什么？
生：再看腿数是不是 54 。
师：第一组答案一共有多少条腿？怎么算？
生： 1 × 2+19 × 4=78 （师板书）
师：第二组答案一共有多少条腿？怎么算？
生： 2 × 2+18 × 4=76 （师板书）
师：哪组答案对呢？
生：都不对。
师：看来老师没有找到答案。好了这个任务就交给你们了。能找到吗？
生：能。
学习指南 ：运用列表的方法，独立解决问题， 并与小组同学交流，想清楚自己的方法，等待与全班交流。可以用老师的方法一个一个的试下去，也可以用自己喜欢的数据去试。
2 ．自主探索与合作交流
小组可以讨论一下自己的列表方法。
3 ．汇报
师：谁来汇报一下自己的成果？
列表法
生 1 ：我是这样列表的。（ ① 板书：表格）
头 / 个
20
20
20
20
20
……
20
鸡 / 只
1
2
3
4
5
……
13
兔 / 只
19
18
17
16
15
……
7
腿 / 条
78
76
74
72
70
……
54
师：请说一说每次给定答案算腿总数的算式。（再板书两组算式）
生：。。。。。。
师：边填表，边板书算式，板书几个算式后，就只填表。
师：我们终于找到答案了，给了 13 个答案，才找到结果。你很了不起！
谁是这样做的？
师：这些腿数都是一个一个算完再填的吗？
生：不是。
师：为什么？
生：鸡每增加一只，兔子的只数就减少一只，腿的总数就减少 2 只。鸡越多，腿越少。
设计意图 ：通过逐一给定答案，使学生经历一个完整列表的过程，从中感受因鸡兔只数的变化，引起鸡兔腿总数的变化规律，理解鸡兔同笼的数量关系，渗透函数思想。
师：对这名同学的毅力我是肃然起敬，他能一个不落的逐个给定答案，试出最后的正确答案，很了不起！都哪个小组想汇报这种方法，都哪个同学使用了这种方法？对这种方法你有什么感受？
生：太麻烦了。
师：谁试了几次就找到答案了？
生 2 ：我是这样列的表（板书：表格）
头 / 个
20
20
20
20
20
鸡 / 只
1
10
15
14
13
兔 / 只
19
10
5
6
7
腿 / 条
78
60
50
52
54
师：这种列法挺奇怪，你是怎么想的？
生：先给 1 只鸡， 19 只兔，腿是 78 条，发现腿多了，这是因为鸡太少，所以，我便给 10 只鸡和 10 只兔，腿是 60 条，结果腿少了，说明鸡多了，但很接近了，减少鸡的只数，增加兔的只数，然后慢慢调出正确答案。
师：我明白了，他是在给定答案后，在试的过程中，边试边调整，从而减少了试的次数。
都哪个小组想汇报这种方法，都哪个同学使用了这种方法？
师：谁不是从 1 开始试的？
生 3 ：我是这样列表的。（板书：表格）
头 / 个
20
20
20
20
鸡 / 只
10
15
14
13
兔 / 只
10
5
6
7
腿 / 条
60
50
52
54
两种动物先各给一半，发现腿多了，说明鸡少了；然后增加鸡的数量，鸡 15 只，兔子 5 只；腿少了，说明鸡多了，再往回调。最后就找到答案了。
四、小结收获
师：这三个都是列表，你喜欢哪种？为什么？
生：第一种，可以做到不重复不遗漏，但是比较烦琐；第二种和第三种都能比较迅速的找到答案，但是当条件不充分的时候，容易漏掉答案，就像只给 14 条腿一样的时候。
这三种方法各有优势，他们有什么共同之处呢？
师：我们是怎么验证我们给定的答案是否正确哪？
生：看腿的条数是不是得 54
师：我们看一下算式，有什么共同的特点？
生：都是乘 4 和乘 2 。（师板书 4 ， 2 ）
师：为什么？
生：因为兔子有 4 条腿，鸡有 2 条腿。
师：什么乘 4 ？什么乘 2 ？
生：兔子的只数乘 4 ，鸡的只数乘 2 。
师：如果用 X 表示鸡的只数（在鸡的只数上板书字母），兔子可以怎么表示哪？（指着表头上的 20 －）
生： 2 × x +4 ×（ 20 － x ）
师：等于多少呢？
生： 54 。
师：我们给定一个答案，试来试去，找到了答案也就找到了方程的解。
设计意图 ：通过对不同列表方法的学习与评价，运用鸡兔同笼的数量关系和变化规律，逐步优化列表过程，向学生渗透化繁为简的思想。通过方程关系的确定，渗透函数思想。
师： 今天解决鸡兔同笼的方法和你们在课外学的方法一样吗？
生：不一样，以前用的是假设法，今天的是列表法。
生：以前都是列算式算出来的，今天是通过给定一个答案，试一试的办法试出来的？
五、历史渊源简介
对于鸡兔同笼问题，有着悠久的历史。
1. “ 鸡兔同笼 ” 问题出自我国古代数学名著《孙子算经》一书中。距今已有 1500 多年，原书记载是： “ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何 ？ ”
其中的解法也是非常奇特。 94 ÷ 2=47 （只），这时，鸡只有一条腿，兔也只有 2 条腿。 47 － 35=12 （只），这就是兔子的只数。 35 － 12=23 （只）这就是鸡的只数。
2 ．鸡兔同笼问题传入日本以后，日本对鸡兔同笼问题也进行了研究，日本人称这样的问题为“龟鹤问题”。
六、巩固练习。
师：在实际生活中还有很多类似鸡兔同笼的问题，同学们有信心运用学到的知识来解决实际问题吗？
屋里有 3 条腿的桌子和 4 条腿的凳子共 14 个，一共有 51 条腿，桌子和凳子各有多少个？
桌子和凳子总数 / 个
桌子 / 个
凳子 / 个
腿 / 条

学习指南： 独立完成卡片，然后请教师检查。合格的同学完成发展卡，不合格的同学，学会以后完成补充卡。
七、发展提高
除了列表法，你还有什么方法可以解决这个鸡兔同笼问题，试着自己独立解决它，并与同学交流，到答案区自己核对答案。
【课后反思】
对于“尝试与猜测——鸡兔同笼”这节课，我进行教学设计时主要关注了以下几个方面。
第一，精心设计，明确思路。
第一部分是引入部分。使学生在文化的氛围中进入知识的学习，利用 14 条腿，使学生产生列表的需要，以及如何列表，并体验到列表是一个不错的解决问题的策略。第二部分是新授部分，使学生在列表解决问题的过程中如何利用表格解决问题，并对列表进行优化。
第二，渗透数学思想和方法，学出数学味道。
使学生获得一些基本数学思想，应该是我们数学教师的较高的追求。在逐一列表过程中，理解鸡兔同笼的数量关系，渗透了函数思想。在对列表学习和评价中，渗透了优化思想。通过尝试与猜测以及如何整理自己解决问题的过程，使学生获得一些必要的解题策略。
第三，从学生的实际出发，提高学生可持续发展能力。
这部分内容不是仅仅使学生学会鸡兔同笼问题，而是通过这种问题，使学生获得解决问题的策略，渗透数学思想，影响数学观念。假设法是特殊方法只对特殊问题有效，但是，并不是每个同学都能学会。我做过调查，大约有 45% 的学生学了这种方法；能够用方程的方法解决这个问题的学生就只有 16% ；使用列表法解决这个问题，是 100% 。基于此，从学生的身心水平来看，学习一种解决问题的大策略——列表，是必要的，也是能够学会的策略。在学习过程中丰富儿童的数学活动经验，获得一些必要的数学思想方法，能在学习数学的道路上走地远一些。同时也鼓励学生在学会基本策略的同时，寻求其他策略方法，使不同的学生得到不同的发展。