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高二年级上期第一次月考试题（数学卷）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 ( )
A．一个圆台，两个圆锥 B．两个圆台，一个圆锥
C．两个圆台，一个圆柱 D．一个圆柱，两个圆锥
2.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．

(第2题) （第8题）
3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

(A) (B) (C) (D)
4.如图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）
A． B．
C． D．
5.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6.过点的圆的切线方程为（ ）
A． B． C．或 D．
7.两条直线与平行，则它们间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的是(　　)

A．①② B．①③
C．②③ D．①④
10.圆上与直线的距离等于的点共有（ ）
A．个 B．个 C． 个 D．个
11.不论为何值，直线恒过的一个定点是（　 ）
A． B． C． D．
12．空间四边形中，线段AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、R、S，则在下面的命题中：（1）P、Q、R、S四点共面；（2）PR与QS互相平分；（3）当AC=BD时，四边形PQRS是菱形；（4）当AC⊥BD时，四边形PQRS是矩形。正确命题的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.若一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则这个圆锥的侧面积与表面积之比为
14．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____. 删

（第14题） （第19题）
15.已知圆系方程（为参数），这些圆的公切线方程为

16. 设定点，点是圆上一动点，则线段的中点的轨迹方程是
此题更为14题，16题后面补充
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17．(10分)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．
A
C
B
D
P

（第17题） （第18题）
18．（本题满分12分） 如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点到平面的距离．第二问更为：求三棱锥P-ABC中底面ABC的高
19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、分别为、、的中点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积
20.（本小题满分12分）已知圆
（1）若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的最小值.
21．(12分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．
22.（本小题满分12分）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

O
M
N
A
B

（第21题） （第22题）

2、 下列说法错误的是（ ）
A．若直线a//平面，直线b//平面，则a不一定平行于b
B．若平面不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于β
C．若平面α垂直平面γ，平面β垂直平面γ，α∩β=l，则l一定垂直于平面γ
D．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于β
注意：此题换第2题

16、如图所示，在正方体中，是正方形的中心，是棱（包括端点）上的动点，现给出以下命题：
①对于任意的点，都有
②存在点，使得平面
③存在点，使得异面直线和所成角的余弦值是
④对于任意的点，三棱锥的体积为定值.
其中正确命题的编号是______________.（写出所有正确命题的编号）

注意：此题换第16题

D
B
C
E
B1
C1
A
A1
19. （本题满分12分）如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,为底边的中点,为侧棱的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面;

19、(2011·山东)如

图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.证明：
(1)AA1⊥BD；
(2)CC1∥平面A1BD.
证明　

(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥D1D，
取AB的中点G，连接DG，
在△ABD中，由AB＝2AD得，
AG＝AD，
又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形．
因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，
又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，
故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°
所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，
所以BD⊥平面ADD1A1，又AA1⊂平面ADD1A1，
故AA1⊥BD.
(2)连接AC，A1C1，设AC∩BD＝E，连接EA1，

因为四边形ABCD为平行四边形，
所以EC＝AC，
由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知，
A1C1∥EC且A1C1＝EC，
所以四边形A1ECC1为平行四边形，
因此CC1∥EA1，
又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，
所以CC1∥平面A1BD.

22、如图,在三棱柱中,,且平面,是的中点.
（I）求证：平面；
（II）试在棱上确定一点,使平面,并在此条件下,求直线与平面所成角的正弦值.
注意：此题换第22题（理科要求）

解：（I）连接于交于点，则为中点.
∵为中点，∴.
又平面,平面.
∴平面.
（II）当是棱的中点时，平面平面.
由,,,得△全等于△.
所以，则
所以.又平面，则,故平面
则平面平面. .............8分
不妨设，解得,.
设点到平面的距离为，由.
得，解得 .........10分
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为...12分

一选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
B
B
B
C
D
C
C
C
C
D

1.答案　D
2【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为的正方体与一个底面边长为，高为的正四棱锥的组合体，故其体积为.故选C.
3．【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为，故选B.
8.【答案】C
【解析】四棱锥的直观图如图所示：

由三视图可知，平面，是四棱锥最长的棱，
，故选C.
9.答案　C

二、填空题
13. 14．
【解析】
试题分析：根据三视图画出此四棱锥的直观图：

其中 底面，根据此四棱锥的特征可知，最长棱可能为或,因为,所以最长棱为PD ，长度为.
考点：空间几何体的三视图.
15. 16.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17.解　几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，
∵S锥表＝πR2＋πRl＝4π＋8π＝12π，
S柱侧＝2πrl＝2π·DG·FG＝2π，
∴所求几何体的表面积为
S＝S锥表＋S柱侧＝12π＋2π＝2(6＋)π.

19解：（1）平面，平面
正方形中，,又,所以平面
又分别是的中点
所以平面，而平面，所以平面平面………6分
（2） ，………11 分
20. 解：（1）若切线过原点，则设切线方程为，则
切线方程为……………………2分
若切线不过原点，则设切线方程为，则或
切线方程为或……………………5分
综上知所求切线方程为或或…………6分
（2） …………9分
………………………………12分
21.解　(1)直观图如图所示．

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的.
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1，则AA1EB是正方形，
∴AA1＝BE＝1.
在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，∴BB1＝.

＝1＋2×(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2
＝7＋(m2)．
∴几何体的体积V1＝×1×2×1＝(m3)．
∴该几何体的表面积为(7＋) m2，体积为 m3.

22. 解：（1）设圆心，则或（舍）
所以圆………………………………5分
（3） 当直线轴，则轴平分
当直线斜率存在时设直线方程为，，
……………9分
若轴平分，则
………11分
当点，能使得总成立. …………12分