高中数学复习专题—特殊数列求和及求通项.doc

高中数学复习专题特殊数列求和及求通项一、考点自练：1已知数列an满足a10，an1(nN*)，则a20_2已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_ 3设，nN*，则数列bn的通项公式= 4数列an满足a11，且，则数列的前10项和为 二、典例剖析：例1 正项数列an的前项和Sn满足：（1）求数列an的通项公式an；（2）令，数列bn的前项和为证明：对于任意的，都有例2 已知等差数列an中，前项和为且满足条件：（）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn的前项和为，且有（），证明：数列是等比数列；又，求数列cn的前n项和Wn例3已知数列an和bn满足a1a2a3an（nN*）若an为等比数列，且a12，b36b2（1）求an与bn（2）设cn（nN*）记数列cn的前n项和为Sn（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n均有SkSn例4 已知数列an满足，是数列an的前n项和（1）若数列an为等差数列（）求数列的通项；（）若数列bn满足，数列cn满足，试比较数列bn 前项和Bn与cn前项和Cn的大小；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围数列作业1已知数列an中，an1且a7，则a5_2已知数列an满足a11，an1an2n（nN*），则a10_314916(1)n1n2等于_4函数，若数列an满足，则a2013+ a2014=_5已知数列an：满足a11，ana1a2an1(n2，nN*)，若an100，则n_6设数列an的前项和为，且，为等差数列，则_ 7数列an满足，并且，则数列an的第100项为 8数列an满足，则的前60项和为 9已知Sn和Tn分别为数列an与数列bn的前项和，且a1e4，SneSn+1e5，an（nN*）则当Tn取得最大值时，n的值为_10已知数列an的通项公式为，记为此数列的前n和，若对任意正整数n，恒成立，则实数的取值范围是 11数列an中,且，则的通项公式为 12设为数列an的前n项和,（nN*），则（1）_；（2）_ 13已知数列an的首项为，（1）证明：数列是等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t使m，s，t成等差数列，且成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由14已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.15已知数列an中，（1）是否存在实数l，使数列a2nl是等比数列？若存在，求l的值；若不存在，请说明理由；（2）若Sn是数列an的前n项和，求满足Sn0的所有正整数n高中数学复习专题（教师版）特殊数列求和及求通项一、考点自练：1已知数列an满足a10，an1(nN*)，则a20_解：由a10，an1(nN*)，得a2，a3，a40，由此可知：数列an是周期变化的，且循环周期为3，所以可得a20a22已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_n13设，nN*，则数列bn的通项公式= 2n+1 解：由条件得2bn，且b14所以数列bn是首项为4，公比为2的等比数列，则bn42n12n+14（2015年江苏高考11）数列an满足a11，且，则数列的前10项和为 解：由题意得：所以，二、典例剖析：例1 正项数列an的前项和Sn满足：（1）求数列an的通项公式an；（2）令,数列bn的前项和为证明：对于任意的，都有（1）解：由，得由于an是正项数列,所以于是，时，综上，数列an的通项（2）证明：由于则 例2 已知等差数列an中，前项和为且满足条件：（）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn的前项和为，且有（），证明：数列是等比数列；又，求数列cn的前n项和Wn解：（1）（），当n1时，即又，a22da2a11，ana1+(n1)dn数列an的通项公式为ann（2）由可得Tn+1bn+1Tn+bn，Tn+1Tn2bn 1，bn+12bn 1，即bn+112(bn1)，是等比数列且b112，公比q2，bn1(b11)qn122n12nbn2n+1 cnWnc1+c2+cn3+5()2+7()3+(2n+1)()n 利用错位相减法，可以求得Wn5例3（2014浙江卷）已知数列an和bn满足a1a2a3an（nN*）若an为等比数列，且a12，b36b2（1）求an与bn；（2）设cn(nN*)记数列cn的前n项和为Sn（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意n均有SkSn解：（1）由题意a1a2a3an，b3b26，知a38又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以数列an的通项为an2n(nN*)所以，a1a2a3an()n(n1) 故数列bn的通项为bnn(n1) (nN*)（2）（i）由（1）知cn(nN*)所以Sn（nN*）（ii）因为c10，c20，c30，c40，当n5时，cn，而0，得1，所以，当n5时，cn0综上，若对任意nN*恒有SkSn，则k4例4 已知数列an满足，是数列an的前n项和（1）若数列an为等差数列（）求数列的通项；（）若数列bn满足，数列cn满足，试比较数列bn 前项和Bn与cn前项和Cn的大小；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围解：（1）（）因为，所以，即，又，所以， 又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以； （）an2n1（），0，其前n项和Bn0， 又(16t24t1)bn，其前n项和Cn(16t24t1)Bn，CnBn2(8t22t1)Bn ，当t或t时，CnBn；当t或t时，CnBn；当tt时，CnBn（2）由知，两式作差得，an+2+an+1+an6n+3，an+3+an+2+an+16(n+1)+3，再两式作差得，an+3an6当n1时，ana1x；当n3k1时，ana3k1a2+(k1)63x+6k62n+3x4；当n3k时，ana3ka3+(k1)6149x+6k62n9x+8；当n3k+1时，ana3k+1a4+(k1)61+6x+6k62n+6x7对任意nN*，anan+1恒成立，a1a2且a3k1a3ka3k+1a3k+2，解得故实数x的取值范围为(，)数列作业（教师版）1已知数列an中，an1且a7，则a5_2已知数列an满足a11，an1an2n（nN*），则a10_32314916(1)n1n2等于_(1)n1 4函数，若数列an满足，则a2013+ a2014=_提示：周期为35已知数列an：满足a11，ana1a2an1(n2，nN*)，若an100，则n_解：n2时，ana1a2an1，an1a1a2an，得：an1anan，（n2），由累积法知：ann（n2），又a11，an的通项公式为ann（nN*）an100，n100.来6设数列an的前项和为，且，为等差数列，则_解： 设，有，则，即，当时，所以，即，所以是以为公比，1为首项的等比数列，所以， 7数列an满足，并且，则数列an的第100项为 8数列an满足，则的前60项和为 1830解：由得，即，也有，两式相加得，设为整数，则，于是9已知Sn和Tn分别为数列an与数列bn的前项和，且a1e4，SneSn+1e5，an（nN*）则当Tn取得最大值时，n的值为_4或510已知数列an的通项公式为，记为此数列的前n和，若对任意正整数n，恒成立，则实数的取值范围是 解：由数列的通项公式，利用错位相减法，两式相减得，代入，整理得， 时，11数列an中,且，则的通项公式为 解： 时，,为常数列，所以 又也满足上式， 的通项公式为（或者用迭乘法）12设为数列an的前n项和, （nN*），则（1）_；（2）_； 解：，即，即，解得当是偶数且时，又，所以因此，所以，即偶数项的和为零，所以13已知数列an的首项为，（1）证明：数列是等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t使m，s，t成等差数列，且成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由解：（1） ， ， ，又，数列是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）知，即， 假设存在互不相等的正整数满足条件，则有,所以化简得，即， 因为，所以得.但是，当且仅当时等号成立，这与互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数满足题给的条件14已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前项和.解：（1）设的公差为，则解得，所以 所以 当两式相除得因为当适合上式，所以 （2）由已知，得则 当为偶数时， 当为奇数时， 综上： 15已知数列an中，（1）是否存在实数l，使数列a2nl是等比数列？若存在，求l的值；若不存在，请说明理由；（2）若Sn是数列an的前n项和，求满足Sn0的所有正整数n解：（1）设，因为 若数列是等比数列，则必须有（常数），即，即， 此时，所以存在实数，使数列是等比数列（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，故，即， 由，得，所以， ，显然当nN*时，单调递减，又当n1时，当n2时，所以当时，S2n0；，同理，当且仅当n1时，S2n10综上，满足Sn0的所有正整数n为1和2