反函数概念教学设计.doc

课 题：2.4.1 反函数（一）
教学过程：
一、复习引入：
我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,定义域t 0,值域s 0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s 0,值域t 0.
又如，在函数中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR. 我们从函数中解出x，就可以得到式子. 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR.
综合上述，我们由函数s=vt得出了函数；由函数得出了函数，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.
二、讲解新课：
反函数的定义
一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成
开始的两个例子：s=vt记为，则它的反函数就可以写为，同样记为，则它的反函数为：.
探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？
反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数来说，不一定有反函数，如,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，,有反函数是
探讨2：互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域（如下表）：

函数
反函数
定义域
A
C
值 域
C
A
探讨3：的反函数是？
若函数有反函数，那么函数的反函数就是，这就是说，函数与互为反函数
三、讲解例题：
例1．求下列函数的反函数：
①； ②；
③； ④.
解：①由解得
∴函数的反函数是，
②由解得x=,
∴函数的反函数是
③由y=+1解得x=,
∵x0，∴y1.
∴函数的反函数是x= (x1);
④由解得
∵xc{xR|x1}，∴y{yR|y2}
∴函数的反函数是
小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明
⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到
⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射
例2．求函数（）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像
解：由解得
∴函数的反函数是，
它们的图像为：
例3求函数
（-1<x<0）的反函数
解：∵ -1<x<0 ∴0<<1 ∴0<1 - < 1
∴ 0 << 1 ∴0 < y <1
由： 解得： (∵ -1< x < 0 )
∴(-1<x < 0)的反函数是：(0<x<1 )
例4 已知= -2x(x≥2),求.
解法1：⑴令y=-2x，解此关于x的方程得，
∵x≥2，∴，即x=1+--①,
⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0--②,
⑶由①②得=1+（x≥0，x∈R）；
解法2：⑴令y=-2x=-1，∴=1+y，
∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1=--①,即x=1+,
⑵∵x≥2，由①式知≥1，∴y≥0,
⑶∴函数= -2x(x≥2)的反函数是=1+（x≥0）；
说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域.
四、课堂练习：课本P63练习：已知函数，求它的反函数
（1） （x∈R） （2） (x∈R，且x≠0)
（3） （x≥0） （4） (x∈R，且x≠)
五、小结 本节课学习了以下内容：
反函数的定义及其注意点、求法步骤
六、课后作业：课本第64习题2.4：1
七、板书设计（略）
八、课后记：